Curvatura de una curva

La curvatura de una curva $\alpha : [a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ en un punto $\alpha(t_0)$ es la curvatura de la circunferencia osculatriz (osculadora), «la que más se parece a la curva cerca del punto».

• ¿Cuál es la curvatura de una circunferencia?

• De todas las circunferencias que pasan por el punto, ¿cuál es la que más se parece a la curva?

Definamos la curvatura de una circunferencia de radio $r$ como el número $\textcolor{RoyalBlue}{\mathcal{K} = \frac{1}{r}}$

Observación «física»:

Supongamos que tenemos una circunferencia parametrizada con rapidez constante 1.

$\alpha (s)$ nos da la posición.

${\alpha}’ (s)$ nos da la velocidad.

${{\alpha}’}’ (s)$ nos da la aceleración.

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\| = 1$

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\|^2 = 1$ constante.

Como la aceleración es perpendicular a la velocidad, se cumple que $ \langle {\alpha}’ (s) , {{\alpha}’}’ (s) \rangle = 0$

$ \langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}’ (s) \rangle \equiv 1$ derivando $ \langle {{\alpha}’}’ (s) , {\alpha}’ (s) \rangle + \langle {\alpha}’ (s) , {{\alpha}’}’ (s) \rangle \equiv 0$

¿Cuál es la relación que hay entre $\mathcal{K}$ y ${{\alpha}’}’ (s)$ ?

Circunferencia de radio $1$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = (\cos (t), \sin (t))$

${\alpha}’ (t) = ( – \sin (t) , \cos (t))$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 1$

Circunferencia de radio $2$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = 2 (\cos (t), \sin (t))$

${\alpha}’ (t) = 2 ( – \sin (t) , \cos (t))$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 2$

Reparametricemos

$t = h(s)$ inyectiva, creciente, derivable.

$\beta (s) = \alpha (h(s))$

Tal que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

Como $\beta (s) = \alpha (h(s))$ entonces, ${\beta \, }’ (s) = {\alpha}’ (h(s)) h’ (s).$

Luego, $ \big\| {\alpha}’ (h(s)) \big\| h’ (s) = 1 $

$2 h’ (s) = 1$

$h’ (s) = \frac{1}{2}$

Entonces, nos sirve la función $h(s) = \frac{1}{2}s $

$\beta (s) = 2 \big(\cos \big(\frac{1}{2} s \big), \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = \big( – \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

${{\beta \, }’ \, }’ (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big), – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {{\beta \, }’\, }’ (s) \big\| = \frac{1}{2}$

Circunferencia de radio $r > 0$

$\alpha (s) = r \big(\cos \big(\frac{1}{r}s \big), r \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${\alpha}’ (s) = \big(- \sin \big(\frac{1}{r}s \big), \cos \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${{\alpha \, }’ \, }’ (s) = \big( – \frac{1}{r} \cos \big(\frac{1}{r}s \big), – \frac{1}{r} \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

$\big\| {{\alpha \, }’ \, }’ (s) \big\| = \frac{1}{r}$ es la «curvatura».

En general, dada una curva $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ si ${\alpha \, }’ (t_0) \neq \vec{0}$, podemos definir «el» vector tangente unitario como $$\textcolor{ForestGreen}{\vec{T} (t_0) = \frac{{\alpha \, }’ (t_0) }{ \big\| {\alpha \, }’ (t_0) \big\|}}$$

Si la curva está parametrizada con rapidez unitaria $\alpha (s) $ tal que existe ${\alpha}’ (s)$ con $\big\|{\alpha \, }'(s) \big\| = 1$ para toda $s$, se tiene que $$T(s) = {\alpha \, }’ (s)$$

Dada una curva $\alpha (t)$, de clase $\mathcal{C}^1$, podemos reparametrizarla con rapidez unitaria.

Si ${\alpha \, }’ (t) \neq \vec{0} \; \; \forall \, t$; decimos que la curva es «regular».

Buscamos una función $t = h(s)$ tal que $\beta = \alpha \circ h$ y ${\beta \, }’ (s) = {\alpha \, }’ (h(s)) h’ (s)$ y que cumple que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$ entonces $\big\|{\beta\, }’ (s) \big\| = \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\| h’ (s)$, con $h$ una función creciente.

Por lo que $$h’ (s) = \frac{1}{ \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\|}$$

Si además podemos que ${{\alpha \, }’ \, }’ (s) \neq \vec{0}$ entonces, definimos «el» vector normal $N (s)$ como $$\textcolor{NavyBlue}{N (s) = \frac{{{\alpha \, }’ \, }’ (s)}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s) \big\|}}$$

Dada una curva $\alpha (t)$, si ${\alpha \, }’ (t) \neq 0$ y existe ${{\alpha \, }’ \, }’ (t)$ entonces $${{\alpha\, }’ \, }’ (t) = \lambda {\alpha \, }’ (t) + \beta (t) $$

donde ${{\alpha \, }’ \, }’ (t)$ es la aceleración,

${\alpha \, }’ (t)$ es la aceleración tangencial, y

$\beta (t)$ es la aceleración normal.

Es decir $${{\alpha \, }’ \, }’ (t) = \lambda T (t) + N (t) $$

¿Cuál es la circunferencia osculatriz?

El radio está dado por $$\textcolor{BrickRed}{\frac{1}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }'(s_0) \big\|}}$$

El centro de la circunferencia osculatriz es $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}.N(s_0) $$ $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}. \frac{{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0)}{ \big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}$$ $$ \textcolor{BrickRed}{\text{Centro} = \alpha (s_0) + \frac{{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0)}{{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0)} \big\|^2}}$$

En conclusión, la curvatura mide el cambio en la dirección comparado con el cambio en la longitud de arco recorrida.

Teorema 2:

Sean $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

Entonces

(1) $ f + g$ es continua.

(2) $f . g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0) \neq 0, \frac{f}{g} $ es continua.

Demostración:

Primer inciso:

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(1) [ por demostrar: $ f + g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.]

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(g(x_0))…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0) \Rightarrow f(x) + g(x) \in B_{\epsilon}(f(x_0) + g(x_0))$ con $\delta_3 = mín\{ \delta_1 , \delta_2 \}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:

Sumando $ \| f(x) – f(x_0) \| < \frac{\epsilon}{2}$ y $\| g(x) – g(x_0) \| < \frac{\epsilon}{2}$ se tiene que $$\| f(x) – f(x_0) + g(x) – g(x_0) \| \leq \| f(x) – f(x_0)\| + \| g(x) – g(x_0) \|\frac{\epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$

Segundo inciso.

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(2) [ por demostrar: $f . g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.]

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Sea $\delta_0$ tal que si $x \in B_{\delta_0}(x_0)$ entonces $ |f(x)| < 1 + |f(x_0)|$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(g(x_0))…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x) \in B_{\epsilon} (f(x_0).g(x_0)).$

Sea $ \delta_3 = mín \{ \delta_0 , \delta_1 , \delta_2 \}$

[ por demostrar: $ |f(x)g(x) – f(x_0)g(x_0)| < \epsilon.$ ]

$\begin{align*} |f(x)g(x) – f(x_0)g(x_0)| &= |f(x)g(x) – f(x)g(x_0) + f(x)g(x_0) – f(x_0)g(x_0)| < |f(x)g(x) – f(x)g(x_0) | + | f(x)g(x_0) – f(x_0)g(x_0)| \\ \\ &= |f(x)|.|g(x) – g(x_0) | + | f(x) – f(x_0)|.|g(x_0)| \leq |(1 + |f(x_0)|) |g(x) – g(x_0)| + |f(x) – f(x_0)|.|g(x_0)| \\ \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}$

Teorema:

Sea $f : \mathcal{K} \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m.$

Si $f$ es continua en $\mathcal{K}$ y $\mathcal{K}$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $\mathcal{K}.$

Demostración:

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, para cada $x \in \mathcal{K}$ existe $\delta_x > 0$ tal que si $ \| x-y \| < \delta_x $ entonces $\|f(x) – f(y) \| < \frac{\epsilon}{2}$

Como $\mathcal{K}$ es compacto, $\mathcal{K} \subseteq \bigcup\limits_{x \in \mathcal{K}} B_{\frac{\delta_x}{2}}(x)$ es una cubierta abierta de $\mathcal{K}.$

Entonces, existe una subcubierta finita $B_{\frac{\delta_1}{2}}(x_1), \dots , B_{\frac{\delta_l}{2}}(x_l).$

Tomemos $ \delta = mín \{ \frac{\delta_1}{2} , \dots , \frac{\delta_l}{2} \}.$

Si $\| x – y \| < \delta $ entonces $ y \in B_{\delta}(x)$ pero $ x \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x_j) $ para alguna $j$

$$\| x – x_j \| < \frac{\delta_j}{2} \Rightarrow x_j \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x)$$

$$\| f(x) – f(x_j)\| < \frac{\epsilon}{2} $$

Luego, si $\| y – x_j\| = \| y – x + x – x_j \| \leq \| y – x \| + \|x – x_j \| < \delta + \frac{\delta_j}{2} \leq \frac{\delta_j}{2} + \frac{\delta_j}{2} = \delta $

$y \in B_{\delta_j}(x_j) \Rightarrow \| f(y) – f(x_j) \| < \frac{\epsilon}{2}$

En consecuencia,

$$\| f(x) – f(y)\| \leq \| f(x) – f(x_j) \| + \| f(x_j) – f(y) \| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \; _{\blacksquare}$$

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x = x_0$ constante.

$$f(x_0, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x_0} & si & x_0 \neq 0 \\ 0 & si & x_0 = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_0 = 0$

$$f(0, y) = 0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1, y) = \frac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y = y_0$ constante.

$$f(x, y_0) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y_0}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$f(x, 0) = 0$

$$f(x, 0) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwyss

Demostración:

Supongamos que $f(A)$ no es conexo.

Entonces existen $\mathcal{V_1}, \mathcal{V_2} \subseteq \mathbb{R}^m$ abiertos, ajenos, tales que $$f(A) \subseteq \mathcal{V_1} \cup \mathcal{V_2}$$ $$f(A) \cap \mathcal{V_1} \neq \emptyset$$ $$f(A) \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$$

Como $f$ es continua, entonces $f^{-1}(\mathcal{V_1})$ y $f^{-1}(\mathcal{V_2})$ son abiertos.

Afirmación: $f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cap f^{-1}(\mathcal{V_2}) = \emptyset$

Supongamos que la intersección no es el conjunto vacío.

Entonces existe $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cap f^{-1}(\mathcal{V_2})$ por lo que se cumple que $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_1}$ y $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_2}$ por lo tanto $ \mathcal{V_1} \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$ (CONTRADICCIÓN: ya que los supusimos ajenos).

Entonces $A \subseteq f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cup f^{-1}(\mathcal{V_2}).$

Sea $\vec{x} \in A$. Calculamos $f(\vec{x}) \in f(A).$

Entonces $f(A) \subseteq \mathcal{V_1} \cup \mathcal{V_2}$, es decir, se tiene que $\vec{x} \in \mathcal{V_1}$ o $\vec{x} \in \mathcal{V_2}$, por lo tanto $$\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}) \; \text{o} \; \vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_2})$$

Si $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_1}$ entonces $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}).$

Si $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_2}$ entonces $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_2}).$

Por lo tanto, $$\vec{x} \in f^{-1}\mathcal{V_1}\cup f^{-1}(\mathcal{V_2}).$$

Falta ver que $$A \cap f^{-1} (\mathcal{V_1}) \neq \emptyset$$ $$A \cap f^{-1} (\mathcal{V_2}) \neq \emptyset$$

Como $f(A) \cap \mathcal{V_1} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_1} \in A$ tal que $f^{-1}(\vec{a_1}) \in \mathcal{V_1}$ es decir $\vec{a_1} \in f^{-1}(\vec{a_1}) \cap A \neq \emptyset.$

Análogamente, como $f(A) \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_2} \in A$ tal que $f^{-1}(\vec{a_2}) \in \mathcal{V_2}$ es decir $\vec{a_2} \in f^{-1}(\vec{a_2}) \cap A \neq \emptyset.$ $_{\blacksquare}$

Definición:

Sea $A \subseteq \mathbb{R}^n$

Se dice que $A$ es conexo por trayectorias (c.p.t.) si para todo par de puntos $\vec{p}, \vec{q} \in A$ existe una curva poligonal tal que une $\vec{p}$ con $\vec{q}$ y está contenida en $A.$

Ejemplo:

$$A = \mathbb{R}^n \setminus \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq 0, y = 0 \}$$

dibujo A

Ejemplo:

$$\mathcal{C} = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x\neq 0 ; y = \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right\} \cup \; \mathcal{U} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 , -1 \leq y \leq 1 \}$$

dibujo B

$\mathcal{C}$ es conexa pero $\mathcal{C}$ no es conexa por trayectorias poligonales.