Existen diversos fenómenos naturales que se comportan con el paso del tiempo, de manera similar al modelo de interés compuesto, y justamente por esa razón es posible hacer uso para poder realizar diferentes análisis de cada uno de ellos. Algunos, por ejemplo, serían el crecimiento de alguna planta, de una población, el crecimiento de cultivos de una bacteria, etc. Sin embargo, no es la única rama del conocimiento en el que se puede aplicar, también diversas situaciones demográficas, por ejemplo, hacer mediciones, y esto es sólo por hacer mención de alguna otra área.
Por lo anterior, en esta sección se hará uso del modelo de interés compuesto para resolver algunos fenómenos de diferentes áreas como las ciencias naturales, la administración, le demografía, entre otras.
Aplicación en la administración
En la administración de empresas, el modelo de interés compuesto, tiene su uso para resolver problemas de índole económico, pero también para modelar situaciones como: el crecimiento de la producción, la evolución de las ventas, el incremento de salarios, la variación de los costos de producción, etc.
Ejercicios resueltos
Una empresa fabrica una cantidad de 30 millones pantalones al año. Durante el año de 1996, la producción y las ventas de la empresa alcanzó los \$16 millones y en el año 2001, vendió \$22 millones. De continuar así su crecimiento, se requiere saber cuánto se debe de incrementar la capacidad de la fábrica a fin de contar con los recursos suficientes para hacer frente a la demanda.
Solución
para resolver éste problema, primeramente, se tiene que encontrar la tasa de crecimiento anual promedio de la producción para el periodo 1996-2001. Posteriormente se debe calcular el tiempo que se alcanzará el 100% de la capacidad de la empresa.
Para calcular la tasa de crecimiento se obtiene de la siguiente forma:
$22=16(1+i)^5$, de donde se obtiene que $i=0.06576$
Ahora para obtener el tiempo, se calcula:
$30=22(1+0.06576)^t$, de donde se obtiene que $t=4.86$ años
Aplicación en la demografía
Es utilizado para predecir el crecimiento de la población, sin embargo, esta algo limitado, dado que actualmente existen otros modelos que permiten medir de mejor forma en comparación al modelo de interés compuesto. Sin embargo, es posible hacer uso de éste, para obtener la tasa neta de crecimiento de una cierta población, para determinar su tamaño que podrá alcanzar en un futuro.
Ejercicios resueltos
Supongamos que en el año 2000 la población de un país es de 89.5 millones de habitantes, registrando una tasa de crecimiento poblacional del 2.5% promedio anual para los últimos 10 años. El gobierno necesita saber, en qué momento la población llegará a ser de 140 millones de habitantes
Solución
Planteando la siguiente ecuación se puede obtener la respuesta:
$140=89.5(1+0.025)^t$ $t=18.11$
De dónde se obtiene que será dentro de 18.11 años
Aplicación en las ciencias naturales
En este apartado se considera a las ciencias naturales, la botánica y la biología, así como otras ramas afines tales como la medicina, la agricultura, ganadería, etc. dónde el modelo de interés compuesto se aplica para resolver casos relacionados con el crecimiento de microorganismos, velocidad de reproducción de un virus o una bacteria, velocidad con la que crece una planta, tasa de reproducción de un ganado, productividad de las semillas, etc.
La aplicación es muy semejante a las áreas que ya se trabajaron, ya que todos los ejemplos y casos mencionados tiene en común, analizar el comportamiento de «algo» con el paso de cierto tiempo.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. El peso de un recién nacido es de 3.300 kg, midió 49 cm y tiene actualmente 25 días de nacido. Su peso al día de hoy es de 4.200 kg y mide 54 cm. De continuar creciendo en la misma proporción que tuvo durante sus primeros 27 días de haber nacido hasta cumplir los 18 años, ¿Cuánto pesaría y cuánto mediría?
Solución
Primero es necesario conocer las tasas de crecimiento del peso y de la estatura, las cuales se obtienen de la siguiente manera:
$4.2=3.3(1+i)^{27}$, de donde $i=0.008972$ que corresponde al peso
$54=49(1+i)^{27}$, de donde $i=0.003605$ que pertenece al crecimiento
Haciendo uso de los datos obtenidos, se calcula que:
$P=4.2(1+0.008972)^{6570-27}=100999$ trillones de toneladas de peso
$E=54(1+0.003605)^{6543}=907508000000$, centímetros de estatura.
Más adelante…
De toda operación financiera los derechos y obligaciones del acreedor como del deudor, deben ser iguales, a lo largo de la duración de la transacción. La idea de plantear ecuaciones es para garantizar que haya equidad entre ambas partes involucradas. En el siguiente tema se establecerá el concepto de ecuación de valor, y será el principal objeto de estudio.
La forma en que se acumula el dinero tiene dos formas de abordarse, una de ellas es la que se define como tasa efectiva de interés, que tiene que ver con la siguiente expresión: $\frac{(M-K)}{K}.$
y la otra que considera la proporción de los intereses devengados en relación con el monto, es decir, la tasa de descuento, la cual se denota por: $\frac{(M-K)}{M}.$
De dicha expresión se presenta un nuevo modelo, el de descuento compuesto.
Construcción del modelo de descuento compuesto
En temas anteriores se han abordado fenómenos de acumulación, cuando la tasa de interés incrementa un capital inicial después de haber transcurrido cierto tiempo. De dicho fenómeno se estableció la siguiente expresión:
$$M=K(1+i)^t.$$
Sí suponemos un sólo periodo, la expresión queda: $M=K(1+i).$
Despejando $i$ de dicha expresión, se obtiene: $i=\frac{M-K}{K}.$
En ésa última expresión, nos dice la proporción o el cambio que tendrá un capital, luego de haber transcurrido una unidad de tiempo. En esta sección se construirá un modelo que parte de una tasa o proporción que se aplicará al monto $M$, para obtener el capital invertido $K$, a dicha tasa será llamada tasa efectiva de descuento, misma que será denotada por la letra $d$ y representada por la siguiente expresión:
$$d=\frac{M-K}{M}.$$
Es importante señalar que la tasa de interés, se obtiene como la proporción de los intereses ganados en relación con el capital, mientras que una tasa de descuento parte de la proporción de los intereses en relación al monto.
La siguiente gráfica nos da una representación de éste fenómeno:
Figura1.13 Comportamiento de una tasa de efectiva de interés VS una tasa de descuento. Elaboración propia, basado de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 69.
Partiendo de la ecuación $d=\frac{M-K}{M}$, se va a construir este nuevo modelo. De esta manera se tiene:
$$dM=M-K$$ $$dM-M=-K$$ $$-dM+M=K$$ $$K=M-dM.$$
Por último factorizando $M$, se obtiene:
$$K=M(1-d)$$
donde: $K=$Capital inicial $M=$Monto $d=$Tasa de descuento $D=Md=$Descuento total
Ésta nueva expresión permitirá calcular el capital inicial $K$, quitándole una proporción al monto $M$, ésa proporción es la que va a ser determinada por la tasa de descuento $d$. Otro dato importante que es necesario resaltar es el que el descuento obtenido $D$, se resta al monto para obtener el capital, expresado de la siguiente forma:
$$K=M-dM=M-D.$$
Las reglas con las que opera este modelo de tasa de descuento son las mismas que opera el modelo de interés compuesto, sobre todo en lo que se refiere a la temporalidad de las tasas y su relación con los periodos que involucran a la variable $t$.
Para construir el modelo generalizado para $t$ períodos, es necesario usar las siguientes expresiones:
$M=K(1+i)^t$, $M=K(1+i)$, $K=M(1-d).$
Despejando $M$ de la última expresión, se tiene: $M=K(1-d)^{-1}$ Como las expresiones:
$$M=K(1-d)^{-1}=K(1+i)=K(1-d)^{-1}=K(1+i)$$
$$(1-d)^{-1}=(1+i).$$
Luego, se eleva a la potencia $t$ ambos miembros de la igualdad, para obtener: $(1+i)^t=(1-d)^{-t}.$ Multiplicando por $K$ toda la expresión: $K(1+i)^t=K(1-d)^{-t}=M.$ Donde se obtiene justamente la expresión generalizada que se estaba buscando, la cual es:
$$M=K(1-d)^{-t}.$$
Las reglas que debe cumplir, son las mismas que se establecieron para el modelo de interés compuesto.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Una persona adquirió una deuda hace tiempo, garantizando su pago firmando un pagaré, y el día de hoy desea liquidar. El acreedor le maneja una tasa de descuento por pago anticipado del 8.5% efectivo anual, calcular el valor presente de dicho pagaré, el cual tiene un valor de \$10,000 y cuya fecha de vencimiento es dentro de 9 meses.
Solución
Para encontrar la solución se va a utilizar la siguiente expresión:
$K=M(1-d)^t$ Sustituyendo los datos en la ecuación se tiene: \begin{align*} K&=10000(1-.085)^{\frac{9}{12}}\\ &=10000(0.915)^{\frac{9}{12}}\\ &=9355.474526. \end{align*}
Acumulación y valor presente
Para establecer la relación que hay entre una tasa de interés y una tasa de descuento, se partirá de las siguientes expresiones:
$M=K(1+i)=K(1-d)^{-1}$
dividiendo entre $K$ se tiene: $(1+i)=(1-d)^{-1}$
luego elevando a la potencia $-1$ resulta: $(1-d)=\frac{1}{1+i}$
despejando $d$ se tiene: $d=1-\frac{1}{1+i}$ buscamos un común denominador, con el que se obtiene: \begin{align*} d&=\frac{1+i-1}{1+i}\\ &d=\frac{i}{1+i}\\ \end{align*}
Observe que $v=\frac{1}{1+i}$ luego entonces se tiene: $d=iv.$ Expresión que nos indica que la tasa de descuento es también vista como el valor presente de la tasa de interés.
Ejercicio. Una persona desea invertir $\$100$ a una tasa del $6.5\%$ efectiva anual. Calcular el monto, calcular el valor presente de ésos intereses y comprobar que la tasa resultante es la tasa de descuento.
Solución
Para calcular el monto alcanzado se realiza lo siguiente: $M=100(1+0.065)=100+6.5=106.5.$ Luego el valor presente del monto calculado $(\$106.5)$, es $\$100$ y el valor presente de los $\$6.5$, calculado a la misma tasa de $6.5\%$ es: $d=(0.065)\frac{1}{1+0.065}=\frac{0.065}{1.065}=0.06103.$
Por otra parte si a ésos \$100 sea lo que se desea alcanzar tener dentro de un año, y se quiere saber ¿Cuánto es lo que se debe de ahorrar el día de hoy? Para saberlo se hace lo siguiente:
Se utiliza la ecuación: $K(M-d).$
Luego sustituyendo los valores: $K=100(1-0.06103)=100(0.9389671)=\$93.89$ En conclusión ésos \$93.89 es la cantidad que se tiene que ahorrar el día de hoy para obtener \$100 a una tasa del 6.5 de interés anual luego de haber transcurrido un año. $M=93.89(1+0.65)=\$100.$ Con esto queda comprobado que una tasa de interés efectiva anual del 6.5% es equivalente a una tasa de descuento efectiva anual, del 6.103%.
En la siguiente imagen se muestra el comportamiento de ambos conceptos
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, Pag.73
Ejercicio. Usando el mismo ejemplo, calcular para dos años.
Solución
$93.89(1+0.65)^2=\$106.4923$, cantidad que se acumula por dos años. $106.4923(1-0.06103)^2=93.89$, que resulta ser el capital que se tiene que invertir por dos años con una tasa de descuento.
Gráficamente queda:
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag.73
Tasas nominales de descuento
Recordando un poco lo que se ha estado trabajando, una tasa efectiva de descuento por periodo se aplica al monto, luego de haber transcurrido cierto número de periodos $t$, con la finalidad de obtener el capital inicial $K$. Para ésta sección se trabajará con una tasa nominal de descuento denotada por $d^{(m)}$, la cual se caracteriza por ser dividida entre $m$, lo que implica que se descuenta $m$ veces al año, con la misma intención para obtener el capital inicial $K$.
Como se puede apreciar, el comportamiento de las tasas de descuento es análogo al de las tasas nominales de interés, con la diferencia que ésta es descontable $m$ al año. Por lo anterior, se va a estar usando el siguiente modelo:
$$K=M\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^m.$$
En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de ésta expresión.
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag.76
Es importante señalar que, cuando las tasas nominales de descuento, adquieren los siguientes valores:
$d^{(0)}$= no está definido $d^{(1)}$= es una tasa de descuento efectiva anual $d^{(\infty)}$=$\delta$ se trata de una tasa de descuento instantánea
Análogamente aplica lo anterior para las tasas de interés.
La relación que tiene las tasas efectivas de descuento con las tasas nominales de descuento, se describen a través de la siguiente expresión:
Calcule el valor presente de un pagaré con un valor de \$8000 y vencimiento dentro de 3 años 3 meses, entrando en vigencia el día de hoy, con una tasa nominal de descuento pagadera semestralmente del 10%, para el primer año, y del 12% nominal de descuento convertible mensualmente que aplicara para el segundo año, y del 7% nominal de descuento pagadero diariamente para el resto del plazo.
Solución
Se va a hacer uso del modelo:
$$K=M\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^{mt}$$
Para obtener el valor presente se tiene: \begin{align*} X&=8000\left(1-\frac{0.07}{365}\right)^{365(1+\frac{3}{12})}\left(1-\frac{0.12}{12}\right)^{(12)(1)}\left(1-\frac{0.1}{2}\right)^{2}\\ X&=8000\left(1-\frac{0.07}{365}\right)^{365+91.25}\left(1-\frac{0.12}{12}\right)^{12}\left(1-\frac{0.1}{2}\right)^{2}\\ &=8000(1-0.000191780082)^{456.25}(1-0.01)^{12}(1-0.05)^{2}\\ &=8000(0.9162111832)(0.8863848717)(0.9025)\\ &=5863.47.\\ \end{align*}
Algunos datos importantes de resaltar son: Que el primer factor pertenece al último periodo del plazo, ya que siempre es recomendable, comenzar con el periodo más lejano, el cual está dado por una tasa pagadera diaria, lo que implica que está dada por $\frac{0.07}{365}$ y como es efectiva diaria, tiene que ser elevada a la potencia $365+(\frac{3}{12})(365)$, es decir $365+91.25=456.25$ días que corresponde al periodo de 1 año con 3 meses
Dicha cantidad es multiplicada por el segundo factor, en el que se está aplicando una tasa de descuento pagadera mensual del 12%, durante el segundo año, por tal motivo dicho factor se trabajara la tasa denotada por el cociente $\frac{.12}{12}$, para luego ser elevada a la potencia 12, porque es mensual y en un año hay 12 meses.
Por último, el tercer factor está dado por una tasa pagadera semestral, misma que por su naturaleza tendrá que ser dividida entre 2, y elevado dicho factor a la potencia 2, porque un año tiene 2 semestres.
Relación entre las tasas de descuento efectivas, nominales, instantáneas, tasas equivalentes
De forma análoga, como fue construido con las tasas de interés, aplicando la triple igualdad se establece lo siguiente:
Haciendo uso de dicha expresión, se puede obtener cualquier tasa equivalente, partiendo de otra ya conocida.
Elaboración propia, basado en Fundamentos de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 84.
Ejercicios resueltos
Calcule la tasa de descuento efectiva anual que sea equivalente a una tasa instantánea descuento del 7.5%.
Solución
Haciendo uso de la ecuación de la triple igualdad se tiene:
$K=1$
$(1-d)^{-t}=e^{\delta t}.$
Sustituyendo los valores de dicha ecuación:
$(1-d)^{-t}=e^{(0.075)(1)}$ $(1-d)^{-t}=1.077884$
despejando a $d$ se tiene:
$d=(1-(1.077884)^{-1})=1-0.927743=0.0722565.$
Esto nos dice que la tasa de descuento efectiva anual a una tasa instantánea de descuento del 7.5% es aproximadamente del 7.22%.
Relación entre las tasas de interés y tasas de descuento
El fenómeno que se ha estudiado, es la forma en que un capital inicial se va transformando con el paso del tiempo a una cierta tasa de interés, de esta forma fue desarrollado el modelo $M=K(1+i)^t$, del cual se desprende el modelo para calcular la tasa de interés: $I=\frac{M-K}{K}.$
Cuando la relación se toma con el monto en vez del capital, se obtiene el concepto de tasa de descuento, el cual es denotado por: $d=\frac{M-K}{M}$, del cual se obtiene el modelo análogo pero con tasa de descuento, el cual es representado por: $M=K(1-d)^{-t}.$
Como se puede observar, los modelos que se han estado usando, parten todos del modelo original, ahora se va a estudiar la relación que existe entre las tasas de interés y las tasas de descuento.
Por lo expuesto anteriormente, se puede construir la siguiente tabla:
Relación de tasas, elaboración propia basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 92
Más adelante…
Se abordarán la aplicación de éstos modelos a otras disciplinas, se mostrará cómo los modelos que se han trabajado, también pueden describir fenómenos naturales, biológicos, demográficos, etc.
En muchos lugares del mundo ocurre el siguiente fenómeno: el día de hoy puedo comprar 10 productos, sin embargo, dentro de un año, por ejemplo, sólo me alcanza para comprar sólo 9 de esos mismo productos, esto se debe a diversas causas, sin embargo; el hecho innegable es que con el mismo dinero que se tenía un año atrás, al año siguiente con la misma cantidad ya no alcanza a comprar los mismos productos. A esto es a lo que se le conoce como inflación. Al incrementarse los precios de bienes y servicios, trae como consecuencia que ya no se puede adquirir las mismas cantidades de antes con los mismos recursos económicos, dicha situación se puede exhibe el cómo de cierta forma el dinero pierde valor, justamente ésta es la primera consecuencia que tiene el fenómeno de la inflación, la pérdida del poder adquisitivo o poder de compra de las personas.
Inflación
El concepto de inflación tiene una estrecha relación con el modelo de interés compuesto que se ha estado trabajando, y esto se debe a que, por un lado, se tiene a un inversionista que decide poner su dinero en un banco, para que éste luego de un tiempo pactado, le pague una determinada cantidad de intereses, de rendimientos, sin embargo; si dentro del país en que se lleva a cabo dicha operación, hubo algún fenómeno de inflación, por consiguiente, en cierta forma, no va a poder ganar los intereses generados, en otras palabras, al capital que le otorguen junto con los intereses o rendimientos, hay que quitarle cierto porcentaje que corresponde a la inflación, que se calcula con una tasa de inflación. En los casos que se han estado estudiando, hay un supuesto que no se ha considerado, el cual es que todos los cálculos que se han realizado, se han obtenido del supuesto de una tasa de inflación igual a cero.
En nuestro país, ésa tasa de inflación es un crecimiento generalizado de los precios, se calcula a partir de una «canasta» de bienes y servicios, que representan el consumo de los habitantes. Dentro de estos bienes y servicios, están contenidos alimentos, artículos electrodomésticos, autos, y en los servicios se consideran por ejemplo el transporte, consumo de luz, servicios de salud, educación, actividades de esparcimiento, etc. La institución encargada de realizar y llevar el control de ésta tasa de referencia, es el Banco de México y las calcula los días 15 y último del mes. A la variación porcentual de ésta tasa se le conoce también como índice de precios al consumidor o tasa de inflación. Por lo anterior, es importante señalar que dicha tasa se establece como un porcentaje que aplica durante un cierto periodo de tiempo.
De manera general, esto es una primera impresión que se tiene acerca del comportamiento de la tasa de inflación y algunos ejemplo del porqué afecta nuestro modelo de interés compuesto así como la forma de resolver las necesidades económicas de cada persona, al disminuir su poder de compra o poder adquisitivo.
Ejercicios resueltos
Suponiendo que la inflación de México fue del 8.4%, lo cual significa que los precios se elevaron 8.4% del 1 enero al 31 de diciembre del ése año, veamos los siguientes ejercicios:
La canasta de bienes y servicios al consumidor a nivel nacional, al día 30 de mayo, adquirió un precio de $\$2547$, y luego de haber transcurrido 15 días obtuvo un precio de $\$2597$.
Solución
A partir de éstos datos se puede construir el índice de precios al consumidor, para ello se hace uso de una regla de 3, de la siguiente manera:
$2547$ es a $100$ como $2597$ es a $X$ de donde se obtiene que el valor de $X=\frac{(2597)(100)}{2547}=101.96309.$ De lo anterior, se puede interpretar que el valor de $100$ y $101.96309$ representan el índice de precios al consumidor durante 15 días, concluyendo que los precios se elevaron un $1.96309\%$, mejor conocida como tasa de inflación.
Del resultado anterior se puede utilizar para obtener el valor de $i$, haciendo la sustitución de los valores obtenidos, en el modelo $M=K(1+i)^t$ igualando al valor que se obtuvo luego de haber transcurrido los 15 días, esto es: $2597=2547(1+i)^t$, donde $t=1$ toda vez que sólo transcurrió un periodo $i=\frac{2597}{2547}-1=0.0196309.$ Una importante observación es que es la misma tasa de que se obtuvo en el cálculo de la regla de 3, $i=1.96309\%.$
Este resultado también nos dice que el dinero ha perdido su valor, ya que ahora se necesita más para poder hacer la compra de la misma canasta de bienes y servicios. Una interpretación más simple es que ahora se necesitan $1.96309\%$ más para poder hacer la compra.
Otro ejemplo, si se tiene un capital de $\$300$ al día 30 de Mayo, y la inflación al 15 de junio es de $d=0.0980748\%$, el valor real del dinero sería obtenida realizando el siguiente cálculo:
Resultado que se interpreta como: el valor deflactado de los $\$300.$
Más adelante
Se hará uso de este concepto para poder obtener la tasa real de interés, la cual es interpretada como la tasa de interés que nos dice el verdadero rendimiento que se tuvo en una inversión, porque como ya se vio en este tema, la inflación afecta de forma general los rendimientos que una inversión puede dar, ya que al final de la operación hay que realizar alguna resta entre los montos obtenidos para obtener éste resultado, situación que será analizada a detalle más adelante.
Hasta este momento se han abordado los modelos de interés simple y compuesto, y dentro de éstos, se ha introducido el concepto de tasas de interés efectivas, y nominales pagaderas $m$ veces al año.
En este apartado se profundizará un poco más el modelo de interés compuesto a través del estudio de la tasa de instantánea de interés o también conocido como fuerza de interés, el cual nos dice la forma en que varía el capital a cada instante.
Tasa instantánea de interés o fuerza de interés
Figura 1.11. Representación gráfica de una tasa instantánea de interés. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 50.
En la imagen anterior se describe el comportamiento de una tasa instantánea de interés, donde:
El eje de las $X$ representa el tiempo, mientras que el eje de las $Y$, es el monto.
$t$ es el tiempo que le corresponde un $f(t)$ el cual puede ser interpretado como capital inicial.
Después de un tiempo de tamaño $h$, $t+h$ es el capital que ha ganado intereses y que en ése momento se convierte en un monto $M$.
Por otra parte, si se quiere calcular los intereses que se generaron a través del tiempo, lo que se tiene que hacer es: $I=M-K$ lo que es equivalente a realizar con una notación de funciones: $I=f(t+h)-f(t)$.
Luego, para calcular la tasa de interés efectiva en el segmento de tiempo h es:
$i=\frac{M-K}{K}$, o su equivalente escrito como funciones: $\frac{f(t+h)-f(t)}{f(t)}.$
De esta forma, se ha denotado el monto con la expresión $f(t+h)$, expresión que puede ser interpretada como la cantidad de dinero inicial más el lo que se acumula luego de haber transcurrido un tiempo $h$. $h>0$. Debido a lo anterior es que no es posible igualar a $i$, de la misma forma en que se hizo con la expresión obtenida cuando se manejó una tasa efectiva por periodo, la cual es:
$$i=\frac{M-K}{K}.$$
Suponiendo $h=1$ se está analizando una situación en particular, en cuyo caso se tendría lo siguiente:
Habría que dividir la expresión $f(t+h)-f(t)$ entre $h$ con la finalidad de obtener la variación de la función por unidad de tiempo (esto por dividir haber divido entre $h$ así como por unidad de capital (por haber dividido también entre $f(t)$. De esta forma se obtiene: $$\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}.$$
Al realizar un análisis puntual de éste fenómeno, es necesario hacer uso de las herramientas del cálculo diferencial e integral. Con esto el segmento obtenido $h$ para hacerlo infinitamente pequeño, para así conocer qué sucede en cada punto de la curva, dicha situación es lo que representa o modela cada instante. En términos de matemáticas financieras, se estaría obteniendo la tasa instantánea de interés también conocida como fuerza de interés, la que nos muestra la variación que tiene el capital invertido en un lapso muy pequeño.
Partiendo de lo anterior y usando el concepto de limite, se puede hacer que $h$ tienda a cero se tiene la siguiente expresión: $$lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{hf(t)}.$$
Otra herramienta, que es necesaria para este tema es el concepto de derivada como límite, el cual está dada por la siguiente expresión:
Se utiliza la siguiente propiedad al resultado anterior: $$\frac{d lnU}{dx}=\frac{dU}{dx}\frac{1}{U}=\frac{D_xU}{U}$$ da como resultado: $$\frac{1}{f(t)}lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}=\frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}$$ $$=\frac{d ln f(t)}{dt}=\delta(t).$$
El resultado que se obtiene, es la función $\delta(t)$ la cual es la que va a denotar la tasa instantánea de interés. $$\delta(t)=\frac{d ln f(t)}{dt}$$ de ésa expresión se despeja $dt$, lo cual resulta: $$d ln f(t)=\delta(t) dt.$$
Al resolver ésta ecuación diferencial, se está considerando el momento en que el capital inicial $K$ no ha ganado intereses, a un momento en el que ha transcurrido un tiempo $t$, momento en el que ya ha ganado intereses y se convierte en la variable $M$.
Nótese que si se hace a $\delta(t)$ constante, ésta no depende de $t$, entonces al resolver la ecuación se tiene: $$\int_0^{t}d lnf(t)=\delta\int_0^tdt.$$ Aplicando lo siguiente: $\int\frac{df(x)}{dx}=f(x)$ a la última expresión obtenida da como resultado:
$$ln(a)-ln(b)=ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ se tiene:
$$ln\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)=\delta t.$$ Por último, recordemos que la función exponencial es la función inversa del logaritmo, aplicándola al último resultado, se tiene:
$f(0)$ es el capital inicial, equivalente a la variable del modelo de interés compuesto $K$.
$f(t)$ vendría ser el monto $M$.
Ahora, se va a sustituir dichas variables en el modelo con las expresiones que se acaban de obtener, esto es: $M=K\exp^{\delta t}.$
Es importante señalar que, aunque el nombre de la tasa de interés instantánea, hace referencia que se paga cada instante, esto no funciona así. Para dar respuesta a éste dilema, es necesario hacer uso de lo que en matemáticas financieras se conoce como la triple igualdad, que consiste en la siguiente expresión:
Al hacer uso de esto, se pueden encontrar el valor de cualquiera de las tasas que se han trabado (efectivas, nominales e instantáneas), partiendo de conocer el valor de alguna de ellas.
Es necesario establecer algunas reglas para su correcta aplicación:
M y K se escriban en unidades monetarias.
El valor de $\exp=2.718282$ será tomado con 6 decimales.
El valor de $\delta$, se determina en tanto por ciento y su valor en la ecuación se maneja al tanto por uno.
$t$, se mide en años y con esas unidades se sustituye en el modelo.
La triple igualdad, también sirve para calcular tasas equivalentes de la misma temporalidad o periodicidad, esto es cualquier tasa efectiva a partir de una tasa efectiva, lo mismo para tasas nominales, sólo es necesario no olvidar que la periodicidad de la tasa indica la unidad en la que se va a trabajar $t$.
Cabe hacer mención que, la tasa instantánea de interés, no tiene aplicación en la vida real, sólo fue utilizada con fines didácticos, sobre para poder establecer la relación que existe entre todas las tasas de interés que hasta este momento se han revisado, tema que a continuación será abordado.
Relación entre las tasas efectivas de interés, nominales, instantáneas, tasas equivalentes.
Con la expresión de la triple igualdad, se puede calcular cualquier combinación posible entre las tasas que se han estudiado, se puede ver de forma más clara en la siguiente imagen:
Figura 1.12. Relación entre las Tasas de Interés. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 54.
Cabe hacer mención que, la única forma en que no se puede calcular una tasa equivalente es en el caso de las tasas instantáneas, no es posible obtener equivalencia entre una tasa instantánea y otra, debido a que su periodicidad sería la misma.
Una tasa es equivalente a otra si produce el mismo resultado, sin importar que su periodicidad de pago no sea la misma, considerando claro un mismo capital, un mismo monto, y un mismo tiempo.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Calcule la tasa efectiva mensual equivalente a 10% anual.
Solución
Se toma un capital de $K=\$1$, el cual lo acumulamos durante un mes, esto es: $M=1.00(1+i)=1+i.$ Al trabajar con un monto de $\$1$, simplifica las expresiones, sobre todo el álgebra utilizada. Se sabe que $M$ debe ser igual al monto que se obtenga a una tasa del 10% anual durante un mes, considerando que la tasa es anual, implica que la variable $t$ debe ser medida en años, lo cual significa que $t=\frac{1}{12}$, porque deben de tener el mismo periodo de acumulación. $M=(1+0.1)^{\frac{1}{12}}=1.007974.$ Luego se igualan ambas expresiones obtenidas, esto es: $1+i=(1+0.1)^{\frac{1}{12}}$ $1+i=1.007974$ despejando $i$ se tiene: $i=1-1.007974=0.007974$, lo cual nos dice que la tasa efectiva mensual es de 0.79% equivalente a una tasa efectiva anual del 10%. Dicho resultado puede comprobarse de la siguiente forma: $t$=1 año y medio $K=\$250$ $250(1+0.1)^{1.5}=288.422433$
$250(1+0.007974)^{18}=288.422433$ Como ambos resultados coinciden, eso demuestra que ambas tasas son equivalentes.
Ejercicio. Calcule la tasa nominal pagadera 3 veces al año, equivalente a una tasa efectiva anual del 20%.
Solución
De forma análoga al ejercicio anterior, tomando como monto \$1.00, luego sustituimos datos en nuestra ecuación ya conocida
Posteriormente igualamos con la ecuación: $$\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^3=1.2$$ $$\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^{\frac{(3)}{3}}=(1.2)^{\frac{1}{3}}.$$
Despejando $i^{3}$ se tiene: $$i^{3}=3((1.2)^{\frac{1}{3}}-1)=3(1.062658-1)$$ $$=3(0.062658)=0.187975$$
Eso es igual a 18.1879%
Es en este momento que se aplica el modelo de la triple igualdad, al relacionar las tasas efectivas con las tasas nominales. De esta forma se tiene la siguiente expresión: $M=1(1+0.2)^t=1(i+\frac{i^{(3)}}{3})^{(3)(1)}$ al igual que hace un momento, se despeja $i^{(3)}$, donde al realizar los cálculos indicados, se llega al mismo resultado.
Ejercicio. Calcule la tasa instantánea equivalente de una tasa efectiva del 20% anual.
Solución
De igual forma se toma el capital de $\$1$ el cual se sustituye en los modelos que ya se han presentado, lo cual queda de la siguiente manera: $M=\exp^{\delta(t)}$
En el otro modelo quedaría: $(1+i)=(1+.2)=1.2$ De esta forma se obtiene:
$\exp^{\delta}=1.2.$ Aplicando propiedades de los logaritmos $\delta=ln 1.2=0.182321$ lo cual implica que $\delta=18.2321\%.$
Más adelante…
En temas posteriores, se irán describiendo temas que poco a poco van a hacer que los conceptos que se han estado trabajando comiencen a fusionarse, para comenzar a generar cálculos más sofisticados que son muy importantes en las Matemáticas Financieras, por su gran aplicación para poder resolver muchos problemas en la práctica, algunos de ellos son las tasas de descuento, las anualidades, el valor presente, el concepto de amortización etc.
Son el tipo de tasas de interés que tienen una estrecha relación con los periodos anuales, ya que el periodo anual es de suma importancia en una gran variedad de fenómenos económicos, financieros, así como en muchas actividades del ser humano.
Tasas nominales de interés
Dichas tasas de interés se caracterizan por:
a) Hacen referencia al año, sin embargo no son tasas efectivas anuales b) Permiten conocer cada cuándo, se van a pagar los intereses de dicha tasa y a cuánto ascienden dentro del periodo de un año. c) Muestran la tasa de interés que se recibirá dentro del transcurso de un año, si los intereses no se reinvierten. (Esto aplica porque el inversionista puede decidir si retira sus intereses o los deja para que se reinviertan. d) Se denotan como: $i^{(m)}$ y se lee «$i$ de $m$»para que no se confunda cuando se esté trabando con alguna potencia. En dicha expresión $m$ representa el apellido de la tasa, además de ser la variable que nos indicará el número de veces que se paga la tasa, (a este proceso será también mencionado como: pagadera, convertible o capitalizable) dentro del periodo de un año.
Por ejemplo, una tasa $i^{(2)}$ será pagadera semestralmente, una tasa $i^{(12)}$ será capitalizable mensualmente, $i^{(6)}$ bimestralmente, etc., todo dependerá del periodo que esté indicado. Nótese que $m$ puede tomar cualquier número entero. Éste tipo de tasas fueron creadas para hacer más fácil la comprensión de la forma en que se realiza el pago o cobro de los intereses dentro de una operación.
Ejemplo. Una persona desea invertir en un banco que le ofrece pagar una tasa del 24% pagadero 12 veces al año, lo que implica que los pagos serán de forma mensual. Para poder saber cuál es la tasa mensual que le estará pagando el banco al inversionista se hace lo siguiente: $\frac{i^{12}}{12}=\frac{24%}{12}=.02$. lo cual implica que la tasa que el banco pagará de forma mensual es del 2%. Cabe hacer mención que con esto, no se debe interpretar que una tasa del 24%, con una tasa $i^{12}$, implica que el banco no va a pagar el 24% de interés cada mes, sino más bien el interés «real» que estará pagando el banco será del 2% mensual. Aunado a lo anterior si el inversionista desea al término de cada mes hacer el retiro de sus intereses, al término del año pactado el inversionista habrá recibido el 24% de intereses prometido por el banco. Y como es de esperarse, dicha operación que se acaba de calcular corresponde al modelo de interés simple, así tal cual estuvo descrita. Ahora bien, recordando que el modelo que se utiliza para hacer cualquier transacción es el modelo de interés compuesto, entonces se van a estar reinvirtiendo los intereses. Por otra parte, para fines prácticos se estará manejando la siguiente notación:
$${\frac{i^{(m)}}{m}=i_{m}}.$$
Retomando el ejemplo anterior, si ahora el inversionista desea no retirar los intereses y reinvertirlos, en tal caso se estaría usando el modelo de interés compuesto, y la tasa se estaría tomando efectiva, por lo que tomando en cuenta un capital de \$3000, y reinvertir sus intereses por un periodo de 7 meses, entonces tendrá un capital acumulado de:
\begin{align*} M&=3000\left(1+\frac{i^({12})}{12}\right)^7\\ &=3000\left(1+\frac{0.24}{12}\right)^7\\ &=3000(1+0.02)^7=3446.0570. \end{align*} Lo anterior, muestra que al estar utilizando el modelo de interés simple, si el inversionista tiene un capital de \$1, sólo obtendrá con una $i^{(12)}$ un rendimiento del 1% mensual, lo que vendría a ser la suma aritmética, sin embargo; al usar el modelo de interés compuesto, estará ganando un rendimiento de $12.68%$, éste resultado es obtenido de la siguiente forma:
\begin{align*} M&=1.00\left(1+\frac{i^(12)}{12}\right)^{12}\\ &=1.00\left(1+\frac{0.01}{12}\right)^{12}\\ &=1.00(1+0.01)^{12}=1.1268. \end{align*} De esta forma, se está introduciendo un nuevo concepto, que se llama tasas de equivalencia, su nombre se debe a que a partir de una tasa nominal se puede obtener su tasa equivalente mensual, como fue calculado en el ejemplo anterior. Siguiendo ésta idea, se puede incorporar al modelo de interés compuesto las tasas nominales, proceso que será expuesto en el siguiente gráfico.
Fig. 1.9 Comportamiento del modelo de interés compuesto con tasas nominales durante el primer año. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 44.
Tomando como base el modelo anterior, se obtiene el monto alcanzado del m-ésimo periodo, se calcula para el segundo año, los siguiente:
Fig. 1.10 Comportamiento del modelo de interés compuesto con tasas nominales durante el primer año. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 44.
De forma análoga, observando el último término del primer año, con el último término del segundo año, se puede obtener la expresión para el periodo t-ésimo año, el cual queda: $$M=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}.$$
Para éste modelo es necesario establecer que la unidad de medición de $t$ es en años, debido a la forma en que se construyó, lo anterior es de suma importancia ya que recordemos que el modelo de interés compuesto, $t$ se medía de acuerdo al «apellido» de la tasa, el cual no necesariamente eran años. $m$ indica el número de veces que la tasa se va a pagar durante el año.
Ejemplo. Suponga que en una operación se está trabajando con una tasa nominal $i^{12}=60\%$, lo que equivales a decir: $i_{12}=\frac{i^{12}}{12}=\frac{0.60}{12}=0.05.$
Esto es una tasa efectiva mensual del 5%. Por lo tanto, si tenemos un capital de \$1 y se quiere calcular el monto a dicha tasa, después de un año y 6 meses, esto es un plazo de 18 meses, el monto será de: $M=1.00(1+i_m)^{18}=1.00(1+0.05)^{18}=\$2.4066.$ Es pertinente hacer mención que la tasa $i_m$ es mensual, por ése motivo $t$ debe de ser escrito de en meses, que en este caso son 18.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Un banco ofrece un rendimiento con una tasa de interés del 4.68% pagadera diariamente. Calcular el monto de que se obtendrá luego de haber transcurrido cinco meses, con un capital inicial de \$1500.
Solución
Como la tasa es pagadera diariamente, eso implica que se trata de una tasa nominal $i^{365}$, aplicando el modelo de tasa nominal se tiene: $\frac{i^{365}}{365}=\frac{0.0468}{365}=0.0012821$, esto es equivalente a una tasa efectiva $i_{365}$ de 0.12821%. También es necesario tomar en cuenta que para fines prácticos, los meses se toman en general con 30 días, por lo que en 6 meses hay 180 días. Por consiguiente el valor de $t$ es el siguiente: $t=\frac{180}{365}.$ Sustituyendo cada variable en el modelo, se tiene: \begin{align*} M&=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}\\ M&=1500\left(1+\frac{i^{(365)}}{365}\right)^{365(\frac{180}{365})}\\ &=1500\left(1+\frac{0.0468}{365}\right)^{180}\\ &=1500(1+0.0012821)^{180}\\ &=1500(1.259393)\\ &=1889.0901. \end{align*}
Ejercicio. Una persona tiene 2 tarjetas de crédito; una bancaria con un saldo a la fecha de \$30,000 y la otra emitida por una tienda de ropa con un saldo de \$25,000. La tarjeta bancaria está cobrando comisión con una tasa de interés del 25% pagadero mensualmente, mientras que la tarjeta de ropa maneja una tasa del 4% efectivo mensual. Al día siguiente ésta persona se entera que una tienda de autoservicio está manejando una tarjeta de crédito con una tasa del 20% anual pagadero diariamente. Se desea saber si conviene o no adquirirla. Explique el ¿por qué?
Solución
Lo importante en ésta situación, es determinar cuál de las opciones tiene el menor costo, esto es la menor tasa de interés. Sin embargo, como todas tienen diferente periodicidad, no es posible realizar una comparación entre ellas de forma directa, luego entonces, se van a calcular las tasas equivalentes que permitan compararlas. Para ello se va a tomar como base, la tasa pagadera mensual del $25\%$ que pertenece al banco. Esto implica una tasa $i^{12}=\frac{0.25}{12}=0.02083$ lo que quiere decir que es una tasa efectiva mensual del $2.083\%$, cantidad que es mayor a la tasa de la tienda de ropa que es del $4\%$. Por lo tanto conviene más la tarjeta de la tienda de ropa que la bancaria. Por último se calculará la tasa que ofrece la tienda de autoservicio que es de $20\%$ pagadero diariamente, la cual se representa: $i^{365}=20$ lo que es igual a una tasa efectiva diaria: $i_{365}=\frac{20}{365}=0.0005479452$. Lo que sería una tasa del $0.0547945\%$ pero como su periodicidad es diaria, es necesario convertirla a su tasa equivalente mensual. Esto se hace de la siguiente forma: $M=1.00(1+0.0005479452)^{30}=1.016569$. De ésta forma se acaba de calcular la tasa equivalente mensual, que es igual al $1.6569\%$ que resulta ser menor que la tarjeta de crédito bancaria y menor que la tarjeta de crédito de la tienda de ropa. Por lo tanto, la tasa que más conviene es la de la tienda de autoservicio.
Es importante resaltar que las tasas pueden ser pactadas fijas durante la duración de la operación, sin embargo; también hay ocasiones en las que algunos contratos de crédito, por ejemplo, manejan tasas de referencias, en México, dichas tasas pueden ser la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE), la tasa que da los Certificados de la Tesorería (CETES), el Costo Porcentual Promedio (CPP), etc., todas ellas regularmente son tasas nominales pagaderas diariamente.
Más adelante…
Se abordarán temas en los que se analiza cómo se va dando la relación de las tasas de interés, incluso se estudiarán los métodos en que pueden ser equivalentes aunque sean de distinta periodicidad.
