Nota 2. Subconjuntos

Por Julio César Soria Ramírez

Introducción

Considerar los conjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto ya dado, nos permitirá el estudio por partes del conjunto que los contiene, siendo sus partes también conjuntos, y por ende objetos de estudio de la teoría de los conjuntos. Esta nota está dedicada a la idea de subconjunto y algunas propiedades que se derivan de ella. Se intenta explicar a detalle cómo es que se hace una prueba por lo que es conveniente que prestes a ello mucha atención.

Definición.

Dados $A$,$B$ conjuntos, decimos que $A$ es un subconjunto de $B$ si todo elemento de $A$ es un elemento de $B$, es decir si para toda $z$, $z\in A$ implica que $z\in B$.

$A\subseteq B \Longleftrightarrow$ para toda $z$, $z\in A$ implica que $z\in B$

En este caso decimos que $A$ está contenido en $B$ o que $B$ contiene al conjunto $A$.

Nota que $A$ no está contenido en $B$, si existe al menos un $z$, tal que $z\in A$, pero $z\notin B$.

Notación:

Se escribe: $A\subseteq B$ si $A$ está contenido en $B$.

Se escribe: $A\nsubseteq B$ si $A$ no está contenido en $B$.

Si $A$ está contenido en $B$, pero $B$ no está contenido en $A$, decimos que la contención es propia y se denota por $A\subsetneq B$ (en este caso si $z\in A$, entonces $z\in B$, pero existe al menos un $z\in B$ tal que $z\notin A$).

Ejemplos

En cada uno de los ejemplos verifica que se cumplen las siguientes contenciones.

$1.$

$\set{1,2,3}\subseteq \set{1,2,3}$

$\set{1,2,3}\subseteq \set{1,2,3,4}$

$\set{1,2,3}\subsetneq \set{1,2,3,4}$

$\set{1,2,3}\nsubseteq \set{1,2,3}$

$2.$

$\set{\set{1,2}}\subseteq \set{\set{1,2},3}$

$\set{\set{1,2}}\subsetneq \set{\set{1,2},3}$

$\set{1,2}\nsubseteq \set{\set{1,2},3}$

$3.$

$\set{4,5,\set{4}}\subseteq \set{4,5,\set{4},6}$

$\set{4,5,\set{4}}\subsetneq \set{4,5,\set{4},6}$

$\set{4}\subseteq \set{4,5,\set{4},6}$

$\set{5}\subseteq \set{4,5,\set{4},6}$

$\set{\set{4}}\subseteq \set{4,5,\set{4},6}$

$\set{\set{5}}\nsubseteq \set{4,5,\set{4},6}$

Proposición

Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos

  1. Dado un conjunto cualquiera $A$ entonces $A\subseteq A$, observa que cada conjunto se contiene a sí mismo.
  2. Si $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$ (intuitivamente podemos pensarlo del siguiente modo: si en una bolsa hay una canica, y la bolsa se echa a la mochila, entonces la canica también está dentro de la mochila).
  3. Dado un conjunto cualquiera $A$ entonces $\emptyset\subseteq A$. El conjunto que no tiene elementos es subconjunto de cualquier conjunto.

Fíjate muy bien cómo se hace una prueba. Vamos a suponer una hipótesis y probaremos su consecuencia.

Demostración de 1
En este primer caso:
La hipótesis es que $A$ es un conjunto cualquiera.
Y la consecuencia o lo que queremos demostrar es que $A\subseteq A$
Demostración:
Como queremos probar que un conjunto es subconjunto de otro, entonces tenemos que verificar que la definición de subconjunto se satisface, recuerda que

$A\subseteq B \Longleftrightarrow$ para toda $z$, $z\in A$ implica que $z\in B$,

pero en nuestro caso $B=A$. Así, sea $z\in A$, entonces $z\in A$ lo que muestra que $A\subseteq A$.

$\square$

Demostración de 2

La hipótesis ahora es que $A,B$ y $C$ son conjuntos, con $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$
y lo que se tiene que demostrar es que $A\subseteq C$
Demostración:
Dado que queremos probar que $A\subseteq C$, debemos ver que cualquier elemento en $A$ es también un elemento de $C$. Así, consideremos $z\in A$ y verifiquemos que $z\in C$. Como $A\subseteq B$ y $z\in A$, entonces por la definición de subconjunto $z\in B$, y como $B\subseteq C$, nuevamente por la definición de subconjunto $z\in C$. Con ello hemos verificado que para toda $z$, $z\in A$ implica $z\in C$ lo cual es la definición de que $A\subseteq C$, que es exactamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Demostración de 3

De nuevo la hipótesis es que $A$ es un conjunto cualquiera.
Y lo que queremos demostrar es que el conjunto vacío es un subconjunto de $A$, i.e. $\emptyset\subseteq A$.
Demostración:
Esta prueba la haremos por un método llamado contradicción, el cual consiste en negar la conclusión a la que queremos llegar, manteniendo las mismas hipótesis, y llegar a una contradicción de los teoremas o axiomas de la teoría que se está construyendo.
Primero neguemos la conclusión:

Existe algún conjunto $A$, tal que $\emptyset\nsubseteq A$.

Después se procede a encontrar la contradicción:

Si esto sucediera, es decir si $\emptyset\nsubseteq A$, entonces existiría al menos un elemento en el conjunto $\emptyset$, que no sería elemento del conjunto $A$, pero eso es dar por hecho que el conjunto $\emptyset$ tiene elementos lo cual está en contradicción con el axioma de conjunto vacío visto en la nota anterior.

$\square$

Ahora procederemos a dar dos axiomas mas, el primero establece cuando dos conjuntos serán considerados iguales, y el siguiente nos permite elegir elementos de un conjunto dado que tienen cierta característica en común.

Axioma de extensionalidad

Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos. Es decir, si $A$ y $B$ son conjuntos:

  • $A=B$ significa que $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$.
  • $A\neq B$ significa que $A\nsubseteq B$ o $B\nsubseteq A$.

Axioma de separación o de compresión

Dado $A$ un conjunto y $P$ una propiedad, $\set{\,x\in A\mid\,x\,cumple\,P\,}$ es un conjunto.

Tarea Moral

1. Considera el conjunto $B=\set{1,\set{2},\set{1,2}, \set{3},3}$

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) $\set{1}\subseteq B$

b) $\set{1,2}\nsubseteq B$

c) $\set{3,\set{3}}\subseteq B$

d) $\set{\set{1,2},\set{1}}\subsetneq B$

e) $B\subsetneq B$

f) $\set{\set{1,2},\set{3},3}\subseteq B$

2. Considera el conjunto $E=\set{\emptyset,\set{1, \emptyset },\set{1},1}$, determina si los siguientes objetos son elementos o subconjuntos de $E$:

a) $\emptyset$

b) $\set{ \emptyset }$

c) $\set{1,\emptyset }$

d) $\set{\set{1,\emptyset}}$

e) $1$

f) $\set{1}$

3. Intenta hacer las pruebas de las proposiciones tú solo.

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos del complemento de un conjunto y deduciremos propiedades básicas pero muy importantes asociadas a este concepto.

Entradas Relacionadas

Nota anterior del curso. Nota 1 Noción de conjunto.

Nota siguiente del curso: Nota 3 El complemento de un conjunto.

Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.

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