Sea $(V,+,\cdot)$ un espacio vectorial, un producto interior $\langle \; \rangle$ es una función

$$\langle \; \rangle : V\times V \longrightarrow \mathbb{R}$$

tal que cumple que:

• $\langle v,v \rangle \geqslant 0 \; \; \forall \, v \in V$
• $\langle v,v \rangle = 0 \iff 0 \in V$
• $\langle v,w \rangle = \langle w,v \rangle \; \; \forall \, v, w \in V$
• $\langle \lambda v_1 + v_2, w \rangle = \lambda \langle v_1, w \rangle + \langle v_2, w\rangle$

El producto interior de $\mathbb{R}^n$ que usualmente ocupamos es el producto punto.

Sean $x=(x_1, x_2, \dotsc, x_n)$ y $y=(y_1, y_2, \dotsc, y_n)$ entonces

$$\langle x , \; y\rangle = x_1\, y_1 + x_2 \, y_2 + \dotsc + x_n \, y_n$$

Ejemplo:

Sea $x= (x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$, definimos el siguiente producto:

$$\langle x,y\rangle=x_1y_1 + 4 x_2y_2$$

Puedes comprobar que el producto antes definido, cumple con la definición de producto interior.