(para funciones $F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ sujeto a una curva de nivel $g^{-1} (0)$)
Sean $f : A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, $ con $A$ abierto, y
$ g : A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
con derivadas parciales continuas.
Supongamos que para todo $ (x, y) \in g^{-1} (0)$ se cumple que $\nabla g (x, y) \neq \vec{0}$ entonces, si $ f $ restringida a $g^{-1} (0)$ alcanza un valor máximo ( o mínimo) en un punto $(x_0 , y_0)$ se cumple que
$\nabla f (x_0, y_0) = \lambda \nabla g (x_0, y_0)$ para algún $ \lambda \in \mathbb{R}.$
Justificación:
Bajo la hipótesis de que $\nabla g (x, y) \neq (0, 0)$ para todo punto $(x, y)$ tal que $g(x, y) = 0$ se tiene que la ecuación $ g (x, y) = 0 $ define una curva de nivel.
Si $\dfrac{\partial g}{\partial y} (x, y) \neq 0 $ existe $h$ tal que $g (x, h(x) ) = 0$, donde $y = h (x)$ es una función implícita definida por la ecuación $g (x, y) = 0$.
Encontrar los valores extremos de $f (x, y)$ sujeta a $g (x, y) = 0$ se traduce a encontrar los valores extremos de $K (x) = f (x, h (x) ).$
Derivando $K (x)$ tenemos que:
$\begin{align*}K’ (x) &= \dfrac{\partial f}{\partial x} (x, h (x) ) \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial y} (x, h (x) ) h’ (x) \\ \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x} (x, h (x) ) \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial y} (x, h (x) ) \Bigg( \, – \, \dfrac{\dfrac{\partial g}{\partial x} (x, h (x)}{\dfrac{\partial g}{\partial y} (x, h (x)} \Bigg) \end{align*}$
Igualamos a cero, entonces
$f_x \, – \, \dfrac{f_y g_x}{g_y} = 0$
multiplicando por $g_y$ tenemos que:
$f_x g_y \, – \, f_y g_x = 0$
entonces
$\begin{vmatrix} f_x & f_y \\ g_x & g_y \end{vmatrix} = 0$
y sabemos que un determinante es igual a cero si y sólo si sus vectores renglón son linealmente dependientes, por lo que, como $K’ (x) = 0 \; \iff \; \nabla f (x, y) $ y $\nabla g (x, y) $ son linealmente dependientes; si y sólo si son colineales; si y sólo si uno es múltiplo del otro, es decir,
$$\nabla f (x, y) = \lambda \nabla g (x, y) \; \; _{\blacksquare}$$
Analicemos el siguiente problema
Encontrar el rectángulo de mayor área, entre los rectángulos que tienen perímetro igual a 4.
La función a maximizar es la función que representa el área: $f (x, y) = xy$; sujeta a la condición de que el perímetro sea igual a 4, es decir,
$g (x, y) = 2x \, + \, 2y = 4$
$g (x, y) = x \, + \, y = 2$
$\nabla f (x, y) = (f_x , f_y) = (y, x)$
$\nabla g (x, y) = g_x , g_y) = ( 1, 1)$
Luego, como $ \nabla f (x, y) = \lambda \nabla g (x, y) $, tenemos la siguiente expresión:
$\begin{pmatrix} y \\ \\ x \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 1 \end{pmatrix}$
de donde se tienen las ecuaciones
$ y = \lambda$ . . . (1)
$ x = \lambda$ . . . (2)
y además tenemos que $g (x, y) = 0$ está dada por la ecuación $ x \, + \, y \, – \, 2 = 0$ . . . (3)
Las ecuaciones (1), (2) y (3) forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que al ser resuelto se obtiene que
$$\lambda = 1$$
$$x = 1$$
$$y = 1$$
Luego el único punto a analizar es el punto $(x_0, y_0) = ( 1, 1)$