La inversión con respecto a la circunferencia unitaria

$f:{\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$

$\mathcal{C}:x^2+y^2=1$

$P\to P^{\prime }$ tal que:

(1) $P^{\prime }$ está en el rayo $\overrightarrow{OP}$.

(2) $O{P}^{\prime }\cdot OP=r^2=1$

Sea $P=(x,y)$, $P^{\prime }=(u,v)$, donde $u=\lambda x$ y $v=\lambda y$.

$P^{\prime }$ en el rayo $\overrightarrow{OP}$ significa que $(u,v)=\lambda (x,y)$, con $\lambda >0$.

Para saber la regla de correspondencia basta con determinar $\lambda$.

Además, de (2) se tiene que:

$\sqrt{u^2+v^2}\sqrt{x^2+y^2}=1$

$(u^2+v^2)(x^2+y^2)=1$

$({\lambda }^2{x}^2+{\lambda }^2{y}^2)(x^2+y^2)=1$

${\lambda }^2(x^2+y^2{)}^2=1$

$\lambda (x^2+y^2{)}^2=1$

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{(x^2+y^2{)}^2}}$

Luego $u={\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}$ y $v={\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}$

Propiedades geométricas

(*) $f$ lleva rayos que emanan del origen en rayos que emanan del origen pero, los recorre en sentido contrario.

$\alpha (t)=(t\cos {\theta }_0,t\sin {\theta }_0)$ es la recta parametrizada con $t\in (0,\mathrm{\infty })$

Si $x=t\cos {\theta }_0\Rightarrow x^2=t^2{\cos }^2{\theta }_0$

$y=t\sin {\theta }_0\Rightarrow y^2=t^2{\sin }^2{\theta }_0$

entonces $x^2+y^2=1$

Luego $u={\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}={\displaystyle \frac{t\cos {\theta }_0}{t^2}}$ entonces $u={\displaystyle \frac{1}{t}}\cos {\theta }_0$

Análogamente, $v={\displaystyle \frac{1}{t}}\sin {\theta }_0$

(*) $f$ lleva circunferencias de radio $r_0$ con centro en el origen en circunferencias de radio $\frac{1}{r_0}$ con centro en el origen.

$$

Luego podemos concluir que …..

$$

Consideremos el punto $\overrightarrow{a}=(2,0)$

Consideremos dos curvas que pasan por $\overrightarrow{a}$

$\alpha (t)=(2,0)+t(1,0)$ con $t\in (–2,\mathrm{\infty })$, y

$\beta (t)=(2\cos t,2\sin t)$ con $t\in \mathbb{R}$ tales que

$\alpha (0)=\overrightarrow{a}$ y

$\beta (0)=\overrightarrow{a}$

Comprobamos con las cuentas

$u={\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}$, $v={\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}$

Calculemos la $d{f}_{\overrightarrow{a}}$

$df=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{y^2–x^2}{(x^2+y^2{)}^2}}& {\displaystyle \frac{–2xy}{(x^2+y^2{)}^2}}\\ \\ {\displaystyle \frac{–2xy}{(x^2+y^2{)}^2}}& {\displaystyle \frac{x^2–y^2}{(x^2+y^2{)}^2}}\end{array}\right)$

En el punto $\overrightarrow{a}=(2,0)$ la matriz $df$ es:

$\left(\begin{array}{cc}–{\displaystyle \frac{4}{16}}& 0\\ \\ 0& {\displaystyle \frac{4}{16}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}–{\displaystyle \frac{1}{4}}& 0\\ \\ 0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)$

Entonces $d{f}_{\overrightarrow{a}}({\alpha }^{\prime }(0))=\left(\begin{array}{cc}–{\displaystyle \frac{1}{4}}& 0\\ \\ 0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}–{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ \\ 0\end{array}\right)$

Análogamente,

$d{f}_{\overrightarrow{a}}({\beta }^{\prime }(0))=\left(\begin{array}{cc}–{\displaystyle \frac{1}{4}}& 0\\ \\ 0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Entonces el $det{f}^{\prime }(\overrightarrow{a})=–{\displaystyle \frac{1}{16}}$ es el factor de proporcionalidad.

El área de los rectángulos son $2$ y $\frac{1}{8}$.

Luego $2\times \frac{1}{16}=\frac{1}{8}$.