En esta entrada vamos a hacer lo siguiente:
- Deducir la regla de correspondencia analítica de la inversión con respecto a la circunferencia unitaria, a partir de la definición usada en los cursos de geometría moderna.
- Deducir algunas de sus propiedades geométricas, en particular como son las imágenes de las rectas y las circunferencias bajo la inversión.
- Finalmente veremos que la inversión es anticonforme, es decir, que preserva las magnitudes de los ángulos entre curvas, pero invierte el sentido de los mismos.
1. Regla de correspondencia de la inversión:
$ f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0) \} \rightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0) \}$
$\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 1$
$P \rightarrow {P \, }’$ tal que:
(1) ${P \, }’$ está en el rayo $\overrightarrow{OP}$.
(2) $O{P \, }’ \cdot OP = r^2 = 1$
Sea $ P = (x, y)$, ${P \, }’ = (u, v)$.
${P \, }’ $ en el rayo $\overrightarrow{OP}$ significa que $(u, v) = \lambda (x, y)$, con $\lambda > 0$.
Para saber la regla de correspondencia basta con determinar $\lambda$.
Además, de (2) se tiene que:
$\sqrt{u^2 + v^2} \sqrt{x^2 + y^2} = 1$
$(u^2 + v^2) (x^2 + y^2) = 1$
$({\lambda}^2x^2 + {\lambda}^2y^2) (x^2 + y^2) = 1$
${\lambda}^2(x^2 + y^2)^2 = 1$
${\lambda} (x^2 + y^2) = 1$
${\lambda} = \dfrac{1}{(x^2 + y^2)}$
Luego $u = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$ y $v = \dfrac{y}{x^2 + y^2}$
2. Propiedades geométricas
(*) $f$ lleva rayos que emanan del origen en rayos que emanan del origen pero, los recorre en sentido contrario.
$\alpha (t) = \big( t \cos {\theta}_0, t \sin {\theta}_0 \big)$ es la recta parametrizada con $t \in (0, \infty)$
Si $x = t \cos {\theta}_0 \; \Rightarrow \; x^2 = t^2 \cos^2 {\theta}_0$
$y = t \sin {\theta}_0 \; \Rightarrow \; y^2 = t^2 \sin^2 {\theta}_0$
entonces $x^2 + y^2 = t^2$
Luego $u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} = \dfrac{t \cos {\theta}_0}{t^2}$ entonces $ u = \dfrac{1}{t} \cos {\theta}_0 $
Análogamente, $ v = \dfrac{1}{t} \sin {\theta}_0 $
En el siguiente enlace puedes observar la animación de como se desplaza un punto sobre una circunferencia y el sentido en el que se desplaza el punto que resulta de la inversión.
https://www.geogebra.org/classic/wtmhq2d2
(*) $f$ lleva circunferencias de radio $r_0$ con centro en el origen en circunferencias de radio $\frac{1}{r_0}$ con centro en el origen. Se deja como ejercicio al lector comprobar esta propiedad.
3. $f$ es anticonforme
Vamos a ver que $f$ es anticonforme en el punto $a = (2, 0)$
Consideremos dos curvas que pasan por $a$
$\alpha (t) = (2, 0) + t (1, 0)$ con $t \in ( \, – \, 2 , \infty)$, y
$\beta (t) = (2 \cos t , 2 \sin t)$ con $t \in \mathbb{R}$
Las dos curvas efectivamente pasan por $a$ cuando $t=0$. Pues $\alpha (0) = a $ y $\beta (0) = a $. Sin embargo, $\alpha’ (0)= (1,0)$ y $\beta’ (0)=(0,2)$. Estos dos vectores son ortogonales, y se va del primero al segundo en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Ahora vamos a calcular la diferencial de $f$ en el punto $a$.
$u = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$, $v = \dfrac{y}{x^2 + y^2}$
$df = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{y^2 \, – \, x^2}{(x^2 + y^2)^2} & \dfrac{\, – \, 2xy}{(x^2 + y^2)^2} \\ \\ \dfrac{\, – \, 2xy}{(x^2 + y^2)^2} & \dfrac{x^2 \, – \, y^2}{(x^2 + y^2)^2} \end{pmatrix}$
En el punto $a = (2, 0)$ la matriz $df$ es:
$\begin{pmatrix} – \, \dfrac{4}{16} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{4}{16} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} $
Entonces $df_{\vec{a}} ({\alpha \, }’ (0) ) = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} \\ \\ 0 \end{pmatrix}$
Este vector está anclado en $f(\alpha(0))=f(2,0)=(\dfrac{1}{2},0)$.
Análogamente,
$df_{a} ({\beta \, }’ (0) ) = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
Este vector está anclado en $f(\beta(0))=f(2,0)=(\dfrac{1}{2},0)$.
Observamos que $df_{a}(\alpha'(0))$ y $df_{a}(\beta'(0))$ resultaron ser vectores ortogonales. Además, para ir del primero al segundo hay que ir en el sentido de las manecillas del reloj. Aquí estamos viendo que se preserva la magnitud del ángulo pero se invierte el sentido.
Observamos que la matriz $df_{a}$ es diagonal y en la diagonal tiene el mismo número salvo signo. Esta matriz es el producto de una matriz diagonal con el número $\frac{1}{4}$ en la diagonal, por una matriz que en la diagonal tiene $1$ y $-1$. Entonces es el producto de una homotecia con factor $\frac{1}{4}$ seguida de una reflexión. La homotecia preserva los ángulos y la reflexión invierte su sentido.
En el siguiente enlace puedes observar la animación correspondiente a este análisis.