La inversión con respecto a la circunferencia unitaria

$ f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0) \} \rightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0) \}$

$\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 1$

$P \rightarrow {P \, }’$ tal que:

(1) ${P \, }’$ está en el rayo $\overrightarrow{OP}$.

(2) $O{P \, }’ \cdot OP = r^2 = 1$

Sea $ P = (x, y)$, ${P \, }’ = (u, v)$, donde $ u = \lambda x$ y $ v = \lambda y$.

${P \, }’ $ en el rayo $\overrightarrow{OP}$ significa que $(u, v) = \lambda (x, y)$, con $\lambda > 0$.

Para saber la regla de correspondencia basta con determinar $\lambda$.

Además, de (2) se tiene que:

$\sqrt{u^2 + v^2} \sqrt{x^2 + y^2} = 1$

$(u^2 + v^2) (x^2 + y^2) = 1$

$({\lambda}^2x^2 + {\lambda}^2y^2) (x^2 + y^2) = 1$

${\lambda}^2(x^2 + y^2)^2 = 1$

${\lambda} (x^2 + y^2)^2 = 1$

${\lambda} = \dfrac{1}{(x^2 + y^2)^2}$

Luego $u = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$ y $v = \dfrac{y}{x^2 + y^2}$

Propiedades geométricas

(*) $f$ lleva rayos que emanan del origen en rayos que emanan del origen pero, los recorre en sentido contrario.

$\alpha (t) = \big( t \cos {\theta}_0, t \sin {\theta}_0 \big)$ es la recta parametrizada con $t \in (0, \infty)$

Si $x = t \cos {\theta}_0 \; \Rightarrow \; x^2 = t^2 \cos^2 {\theta}_0$

$y = t \sin {\theta}_0 \; \Rightarrow \; y^2 = t^2 \sin^2 {\theta}_0$

entonces $x^2 + y^2 = 1$

Luego $u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} = \dfrac{t \cos {\theta}_0}{t^2}$ entonces $ u = \dfrac{1}{t} \cos {\theta}_0 $

Análogamente, $ v = \dfrac{1}{t} \sin {\theta}_0 $

(*) $f$ lleva circunferencias de radio $r_0$ con centro en el origen en circunferencias de radio $\frac{1}{r_0}$ con centro en el origen.

${}$

Luego podemos concluir que …..

${}$

Consideremos el punto $\vec{a} = (2, 0)$

Consideremos dos curvas que pasan por $\vec{a}$

$\alpha (t) = (2, 0) + t (1, 0)$ con $t \in ( \, – \, 2 , \infty)$, y

$\beta (t) = (2 \cos t , 2 \sin t)$ con $t \in \mathbb{R}$ tales que

$\alpha (0) = \vec{a} $ y

$\beta (0) = \vec{a} $

Comprobamos con las cuentas

$u = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$, $v = \dfrac{y}{x^2 + y^2}$

Calculemos la $df_{\vec{a}}$

$df = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{y^2 \, – \, x^2}{(x^2 + y^2)^2} & \dfrac{\, – \, 2xy}{(x^2 + y^2)^2} \\ \\ \dfrac{\, – \, 2xy}{(x^2 + y^2)^2} & \dfrac{x^2 \, – \, y^2}{(x^2 + y^2)^2} \end{pmatrix}$

En el punto $\vec{a} = (2, 0)$ la matriz $df$ es:

$\begin{pmatrix} – \, \dfrac{4}{16} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{4}{16} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} $

Entonces $df_{\vec{a}} ({\alpha \, }’ (0) ) = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} \\ \\ 0 \end{pmatrix}$

Análogamente,

$df_{\vec{a}} ({\beta \, }’ (0) ) = \begin{pmatrix} – \, \dfrac{1}{4} & 0 \\ \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

Entonces el $det \, {f \, }’ (\vec{a}) = \, – \, \dfrac{1}{16}$ es el factor de proporcionalidad.

El área de los rectángulos son $2$ y $\frac{1}{8}$.

Luego $2 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$.