Teorema 2:

Sean $f,g:{\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$ continuas.

Entonces

(1) $f+g$ es continua.

(2) $f.g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0)\ne 0,\frac{f}{g}$ es continua.

Demostración:

Primer inciso:

Por hipótesis, $f,g:{\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$ continuas.

(1) $[$ por demostrar: $f+g:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es continua.$]$

Sea $x_0\in A.$

Sea $ϵ>0.$

Como $f$ es continua, existe ${\delta }_1>0$ tal que si $x\in B_{{\delta }_1}(x_0)$ entonces $f(x)\in B_{\frac{ϵ}{2}}(f(x_0))\dots \dots .(1)$

También, como $g$ es continua, existe ${\delta }_2>0$ tal que si $x\in B_{{\delta }_2}(x_0)$ entonces $g(x)\in B_{\frac{ϵ}{2}}(g(x_0))\dots \dots .(2)$

Luego, si $x\in B_{{\delta }_3}(x_0)\Rightarrow f(x)+g(x)\in B_{ϵ}(f(x_0)+g(x_0))$ con ${\delta }_3=mín\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:

Sumando $\Vert f(x)–f(x_0)\Vert <\frac{ϵ}{2}$ y $\Vert g(x)–g(x_0)\Vert <\frac{ϵ}{2}$ se tiene que $$\Vert f(x)–f(x_0)+g(x)–g(x_0)\Vert \le \Vert f(x)–f(x_0)\Vert +\Vert g(x)–g(x_0)\Vert <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$

Segundo inciso.

Por hipótesis, $f,g:{\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$ continuas.

(2) $[$ por demostrar: $f.g:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es continua.$]$

Sea $x_0\in A.$

Sea $ϵ>0.$

Sea ${\delta }_0$ tal que si $x\in B_{{\delta }_0}(x_0)$ entonces $|f(x)|<1+|f(x_0)|$

Como $f$ es continua, existe ${\delta }_1>0$ tal que si $x\in B_{{\delta }_1}(x_0)$ entonces $f(x)\in B_{\frac{ϵ}{2}}(f(x_0))\dots \dots .(1)$

También, como $g$ es continua, existe ${\delta }_2>0$ tal que si $x\in B_{{\delta }_2}(x_0)$ entonces $g(x)\in B_{\frac{ϵ}{2}}(g(x_0))\dots \dots .(2)$

Luego, si $x\in B_{{\delta }_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x)\in B_{ϵ}(f(x_0).g(x_0)).$

Sea ${\delta }_3=mín\{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\}$

$[$ por demostrar: $|f(x)g(x)–f(x_0)g(x_0)|<ϵ.$ $]$

$\begin{array}{rl}|f(x)g(x)–f(x_0)g(x_0)|& =|f(x)g(x)–f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)–f(x_0)g(x_0)|<|f(x)g(x)–f(x)g(x_0)|+|f(x)g(x_0)–f(x_0)g(x_0)|\\ \\ & =|f(x)|.|g(x)–g(x_0)|+|f(x)–f(x_0)|.|g(x_0)|\le |(1+|f(x_0)|)|g(x)–g(x_0)|+|f(x)–f(x_0)|.|g(x_0)|\\ \\ & \le \frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$