Teorema 1:
La composición de funciones continuas es continua.
Demostración:
Usando la definición topológica.
Sean
$ f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$
$ g: D \subseteq \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k$
Tales que $ f(A) \subseteq D $ y con $A$ y $D$ abiertos.
Hipótesis: $f , g$ continuas.
[ por demostrar: $gof$ es continua. ]
Basta ver que la imagen inversa de abiertos en $\mathbb{R}^k$ bajo $gof$ es abierta en $\mathbb{R}^n.$
Sea $ W \subseteq \mathbb{R}^k $ un abierto.
[ por demostrar: $(g of)^{-1} (W) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto.]
Por hipótesis, $g^{-1} (W) $ es abierto en $\mathbb{R}^m.$
Como $f $ es continua, $ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W}))$ es abierto en $\mathbb{R}^n.$
¿Coinciden $ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W}))$ con $ (g of)^{-1}(\mathcal{W})$?
Por un lado tenemos que:
$(g of)^{-1}(\mathcal{W}) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid (g of)(x) \in \mathcal{W}\} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid (g(f(x))) \in \mathcal{W} \} … (1)$
Por otro lado:
$g^{-1}(\mathcal{W}) = \{ y \in \mathbb{R}^m \mid g(y) \in \mathcal{W} \}$
$f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid f(x) \in g^{-1}(\mathcal{W}) \}$
$f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid g(f(x)) \in \mathcal{W} \} … (2)$
Luego como $(1)$ y $(2)$ son iguales se tiene que $$ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = (g of)^{-1}(\mathcal{W}) \; _{\blacksquare}$$
Teorema 2:
Sean $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
Entonces
(1) $ f + g$ es continua.
(2) $f . g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0) \neq 0, \frac{f}{g} $ es continua.
Demostración:
Primer inciso:
Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
(1) [ por demostrar: $ f + g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.]
Sea $x_0 \in A.$
Sea $\epsilon > 0.$
Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$
También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(g(x_0))…….(2)$
Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0) \Rightarrow f(x) + g(x) \in B_{\epsilon}(f(x_0) + g(x_0))$ con $\delta_3 = mín\{ \delta_1 , \delta_2 \}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:
Sumando $ \| f(x) – f(x_0) \| < \frac{\epsilon}{2}$ y $\| g(x) – g(x_0) \| < \frac{\epsilon}{2}$ se tiene que $$\| f(x) – f(x_0) + g(x) – g(x_0) \| \leq \| f(x) – f(x_0)\| + \| g(x) – g(x_0) \|\frac{\epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$
Segundo inciso.
Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
(2) [ por demostrar: $f . g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.]
Sea $x_0 \in A.$
Sea $\epsilon > 0.$
Sea $\delta_0$ tal que si $x \in B_{\delta_0}(x_0)$ entonces $ |f(x)| < 1 + |f(x_0)|$
Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$
También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(g(x_0))…….(2)$
Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x) \in B_{\epsilon} (f(x_0).g(x_0)).$
Sea $ \delta_3 = mín \{ \delta_0 , \delta_1 , \delta_2 \}$
[ por demostrar: $ |f(x)g(x) – f(x_0)g(x_0)| < \epsilon.$ ]
$ |f(x)g(x) – f(x_0)g(x_0)|= |f(x)g(x) – f(x)g(x_0) + f(x)g(x_0) – f(x_0)g(x_0)| < |f(x)g(x) – f(x)g(x_0) | + | f(x)g(x_0) – f(x_0)g(x_0)| = |f(x)|.|g(x) – g(x_0) | + | f(x) – f(x_0)|.|g(x_0)| \leq |(1 + |f(x_0)|) |g(x) – g(x_0)| + |f(x) – f(x_0)|.|g(x_0)| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$
Teorema 3:
Sean $f_1, f_2 , \dots , f_m:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ tal que $x \longrightarrow (f_1(x), f_2(x), \dots , f_m(x))$
$$f \text{ es continua } \iff \text{ todas las funciones } f_1, f_2, \dots , f_m \text{ son continuas}$$
Demostración: