Sea $K \subseteq \mathbb{R}^n$, $K$ es compacto si y solo si $K$ es cerrado y acotado.

(*) Compacto $\Longrightarrow $ cerrado y acotado. (proposición anterior).

Ahora probamos (**) Cerrado y acotado $\Longrightarrow $ compacto.

Siguiendo el texto de Spivak, la demostración consistirá de los siguientes pasos:

(1) El intervalo cerrado $[a, b] \in \mathbb{R} $ es compacto.

(2) Si $x \in \mathbb{R}^n , \, B\subseteq \mathbb{R}^m , \, B$ compacto; entonces $ \{x\} \times B $ es compacto.

(3) Más aún: Para toda cubierta abierta de $\{x\} \times B$ existe un abierto $U\subseteq \mathbb{R}^n$ tal que $x \in U$ y $U \times B$ es cubierto por un número finito de elementos de la cubierta dada.

(4) Si $A \subset \mathbb{R}^n$ y $B \subset \mathbb{R}^m$ son compactos entonces $A \times B \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ es compacto.

(5) Si $A_1, A_2, \dots , A_k $ son compactos, entonces $A_1 \times A_2 \times \dots , A_k$ es compacto.

(6) Todo conjunto cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n$ es compacto.

Demostración:

(1) $[a, b] \subset \mathbb{R} $ es compacto. (con la topología usual)

[ por demostrar: para toda cubierta abierta $\{U_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ de $[a, b]$ existe una subcubierta finita ]

Sea $\mathcal{O} = \{U_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ una cubierta abierta de $[a, b].$

Sea $A = \{ x \in [a, b] \mid [a, x] $ es cubierto por un número finito de elementos de $\mathcal{O}\}$

[ por demostrar: $A = [a, b]$ ]

[ por demostrar: $b \in A$]

Sea $\alpha = sup A$

¿Cómo sabemos que existe $\alpha$?

$A$ es acotado.

$A \neq \emptyset $ pues $a \in A$, $[ a, a] \{a\}$, $a \in U_{\lambda}$ para alguna $\lambda \in \Lambda$

[ por demostrar: $\alpha = b$ y $A$ es cerrado ]

Observación: $\alpha > a $

$a \in U_{\lambda}$ para algún $\lambda$, como $U_{\lambda}$ es abierto entonces existe $( a-\epsilon, a + \epsilon) \subseteq U_{\lambda}$

Tomamos $x =\frac{a+\epsilon}{2}$

$[ a, x] \subseteq ( a-\epsilon, a + \epsilon) \subseteq U_{\lambda} $

$[ a, x]$ se puede cubrir con un número finito de elementos de $\mathcal{O}.$

$x \in A$

$x > a$

$\alpha = sup A \geq x > a$

$\therefore \alpha \in (a, b] $

Afirmación: Si $x \in (a, \alpha)$ entonces $x \in A.$

Razón: $\alpha$ es el supremo de $A.$

CASO 1: $\alpha \in A$, $[ a, \alpha] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \Rightarrow [ a, x] \subseteq [ a, \alpha]$

CASO 2: $\alpha \neq A \Rightarrow \forall \, \epsilon > 0 , \exists \, \tilde{x} \in A $ tal que $\alpha – \epsilon < \tilde{x} \leq \alpha + \epsilon$

En particular, para $\epsilon = \frac{ \alpha – x }{2}$ $$ x < \tilde{x} \leq \alpha$$

$$[ a, x] \subseteq [ a, \tilde{x}] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots , U_m$$

$\therefore x \in A$

Afirmación: $\alpha \in A$

Supongamos que $\alpha \notin A$

Regresamos al CASO 2.

Sabemos que $ \alpha \in [ a, b]$

$$ \alpha \in U_{\mu} \text{ para alguna } \mu \in \Lambda$$

$$ \tilde{x} < \alpha , \; \; \tilde{x} \in A$$

Entonces $[ a, \tilde{x}] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \Longrightarrow [ \tilde{x}, \alpha] \subseteq U_{\mu}$ $$[ a, \alpha] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \cup U_{\mu}$$ $$\therefore \alpha \in A$$

[ por demostrar: $\alpha = b$ ]

Supongamos que $ \alpha \neq b$, entonces

$ \alpha \in U_{\mu} $ para alguna $U_{\mu} \in \mathcal{O}$ entonces, existe $x’ \in ( \alpha, b) $ con $ x’ \in U_{\mu}$

entonces como $\alpha \in A$

$[ a, \alpha] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n$

$[ \alpha, x’] \subseteq U_{\mu}$

$[ \alpha, x’] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \cup U_{\mu}$

por lo que $x’ > \alpha = sup A$ y $x’ \in A$ (CONTRADICCIÓN)

entonces, $ \alpha = b$ pero como $ \alpha \in A$ entonces $b \in A$

$[ a, b] = U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n$

$\therefore [ a, b]$ es compacto.

(2) Si $x \in \mathbb{R}^n , \, B\subseteq \mathbb{R}^m , \, B$ compacto;

entonces $ \{x\} \times B $ es compacto.

$\{x\} \times B \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$

Sea $\mathcal{O} =\{U_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ una cubierta abierta de $\{x\} \times B.$

$U_{\lambda} \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ abierto.

Plan: construir una cubierta abierta de $B \subseteq \mathbb{R}^m $ para usar que $B$ es compacto.

Sea $y \in B$

$(x, y) \in \{x\} \times B$

$(x, y) \in U_{\lambda}$ para algún $U_{\lambda} \in \mathcal{O}$

Consideramos $U_{\lambda} \cap H_x $ donde $ H_x \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m $ y $ ( a, b) \in H_x \iff a = x \; $; $H_x$ es un hiperplano.

$U_{\lambda} \cap H_x = \{x\} \times V_{\lambda} $ para algún $ V_{\lambda} \subseteq \mathbb{R}^m$

Entonces $U_{\lambda}$ es abierto en $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ entonces $U_{\lambda}$ es abierto en $\mathbb{R}^m$

$\{ V_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ es una cubierta abierta de $B \subset \mathbb{R}^m$ pero $B$ es compacto, entonces existe un número finito tal que $$B \subseteq V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_s$$ $$\{x\} \times B \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s$$

Entonces $\{x\} \times B$ es compacto.

(3) Más aún: Para cada cubierta abierta de $\{x\} \times B$ existe un abierto $U\subseteq \mathbb{R}^n$ tal que $U \times B$ se puede cubrir con un número finito de los elementos de la cubierta abierta.

$$\mathcal{O} = \{U_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$$

Hipótesis:

* Cada $U_{\lambda} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ es abierto.

* $\{x\} \times B \subseteq \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$

Sabemos que $\{x\} \times B$ es compacto, entonces existe $U_1, U_2, \dots , U_s \in \mathcal{O}$ tales que $$ \{x\} \times B \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s $$

Para cada $y \in B$ el punto $(x, y) \in U_i $ para alguna $i.$

Entonces $(x, y) \in A_y \times B_y \subseteq U_i $ para cada caja abierta, $ A_y \times B_y \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m $ con $ A_y \subset \mathbb{R}^n $ y $ B_y \subset \mathbb{R}^m.$

$\{B_y\}_{y \in B}$ es una cubierta abierta de $B$ compacto entonces, existe una subcubierta finita.

Así, todo $(x,y) \in A_i \times B_i$ para algún $i = 1, 2, \dots, n$

Sea $U = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_r $ abierto.

$ U \times B \subset U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s$

Sea $(x,y) \in U \times B $ entonces $x \in A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_r$

$$ \Longrightarrow (x, y) \in A_i \times B_i \subseteq U_i $$ $$\Longrightarrow (x, y) \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s$$

(4) Si $A \subset \mathbb{R}^n$ y $B \subset \mathbb{R}^m$ son compactos entonces $A \times B \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ es compacto.

[ por demostrar: $A \times B$ es compacto. ]

Demos una cubierta abierta de $A \times B.$

Para cada $\vec{x} \in A$ existe una abierto $U_x \subset \mathbb{R}^n$ tal que $$ U_x \times B$$ puede ser cubierto con un número finito de elementos de la cubierta de $A \times B$, esto es por el inciso (2).

Entonces $\{U_x\}_{x \in A}$ es una cubierta abierta de $A$, pero como A es compacto entonces, existe una subcubierta finita de $A.$

Es decir, existen $U_1, U_2, \dots, U_k$, abiertos, subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ tales que $A \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_k$

$$ A\times B \subseteq (U_1 \times B) \cup (U_2 \times B) \cup \dots \cup (U_k \times B)$$

Sea $\{W_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$

$U_1 \subset W_{{\lambda}_{1,1}} \cup W_{{\lambda}_{1,2}} \cup \dots \cup W_{{\lambda}_{1,n}}$

$U_2 \subset W_{{\lambda}_{2,1}} \cup W_{{\lambda}_{2,2}} \cup \dots \cup W_{{\lambda}_{2,n}}$

$\vdots$

$U_k \subset W_{{\lambda}_{k,1}} \cup W_{{\lambda}_{k,2}} \cup \dots \cup W_{{\lambda}_{k,n}}$

$A \times B \subseteq \bigcup W_{i,n_i}$ unión finita de abiertos.

$$W_{i,n_i} \in \{W_{\lambda}\}$$

$$\therefore A \times B \text{ es compacto}$$

(5) Sea $A_k = [a_k, b_k]$ compacto.

En particular $[a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \dots \times [a_n, b_n]$ es compacto.

(6) Sea $K$ un conjunto cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n.$

Sea $\mathcal{O}$ una cubierta abierta $\{U_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ de $K.$

[ por demostrar: existe una subcubierta finita $\{U_1, U_2, \dots, U_m\}$ tal que $K\subset U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m\, $]

Existe una caja $\mathcal{C} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n]$ rectangular que contiene a $K.$

Sea $\tilde{\mathcal{O}} = \mathcal{O} \cup \{\mathbb{R}^n \setminus K\}$

Como la caja es cerrada, $\mathbb{R}^n \setminus K$ es abierto, por lo que $\tilde{\mathcal{O}}$ es una cubierta abierta de la caja $\mathcal{C}$; pero $\mathcal{C}$ es compacta, entonces existe una subcubierta finita de $\tilde{\mathcal{O}}$

$U_1, U_2 , \dots , U_m$ y quizas $\mathbb{R}^n \setminus K$ que cubre a $\mathcal{C}$, entonces $\mathcal{C} \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m \cup (\mathbb{R}^n \setminus K)$

• Si $(\mathbb{R}^n \setminus K)$ no es necesaria, ya acabamos, pues $$K \subseteq \mathcal{C} \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m$$ por lo que $\{U_1, U_2 , \dots , U_m\}$ sería subcubierta de $\mathcal{O}$ que cubre a $K.$
• Sin embargo, esta no es el caso.

También $K \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m.$

Sea $x \in K \subseteq \mathcal{C}$ entonces $x \in U_i$ para algún $i=1, 2, \dots, m$ o $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$, este último no se da.

Entonces $x \in U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m.$

Por todo lo anterior, se concluye que para $K \subseteq \mathbb{R}^n$, $K$ es compacto si y solo si $K$ es cerrado y acotado.