Recordemos, en $\mathbb{R}$, sea $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de números reales, es decir una función $$x : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}.$$
Notación: $$x (1) = x_1$$ $$x (2) = x_2$$ $$x (3) = x_3$$ $$\vdots$$
Geométricamente, puntos en la recta $\mathbb{R}$.
Ejemplo: sucesión $\{ \frac{1}{n} \}$ para $n \in \mathbb{N}$.
https://www.geogebra.org/m/gwet39b2
En $\mathbb{R}^2$; una sucesión de puntos en $\mathbb{R}^2$ es una función $$\vec{x} : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}^2$$
Notación: $$\vec{x}(1) = \overrightarrow{x_1} = (x_1, y_1)$$ $$\vec{x}(2) = \overrightarrow{x_2} = (x_2, y_2)$$ $$\vec{x}(3) = \overrightarrow{x_3} = (x_3, y_3)$$ $$\vdots$$
Geométricamente, vectores en el plano.
https://www.geogebra.org/classic/jyzgsg63
Decimos que un número $L \in \mathbb{R}$ es el límite de la sucesión $\{x_n\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $|x_n – L| < \epsilon$.
Decimos que $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^2$ es el límite de la sucesión $\{\overrightarrow{x_n}\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n > N$ se cumple que $\| \overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L}\| < \epsilon.$
Teorema: Si una sucesión tiene dos límites $\overrightarrow{L_1}$ y $\overrightarrow{L_2}$ entonces $\overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2}.$
Demostración:
Sea $\{\overrightarrow{x_n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $\mathbb{R}^2$ supongamos que tiene dos límites $\overrightarrow{L_1} \neq \overrightarrow{L_2}.$
Sea $\epsilon_0 = \frac{\overrightarrow{L_1}-\overrightarrow{L_2}}{2}$.
Como $\overrightarrow{L_1}$ es límite entonces a partir de un momento $N_1$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} (\overrightarrow{L_1}).$
De igual modo, $\overrightarrow{L_2}$ es límite entonces a partir de un momento $N_2$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} (\overrightarrow{L_2}).$ (CONTRADICCIÓN) ya que todas las bolas son ajenas.
$$\therefore \; \overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2} \; _{\blacksquare}$$
Teorema: Sea $\{(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n})\}_{n\, \in \mathbb{N}}$ una sucesión de puntos en $\mathbb{R}^2$. Esta sucesión converge a un punto $(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M})$ si y sólo si los límites de las coordenadas convergen. Es decir, $$\{\overrightarrow{x_n}\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\{\overrightarrow{y_n}\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$
Demostración:
[$\Rightarrow$] Si $(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n}) \longrightarrow (\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M})$ entonces $$\overrightarrow{x_n} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\overrightarrow{y_n} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$
[por demostrar: $\{\overrightarrow{x_n}\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$]
Sea $\epsilon > 0.$
$\exists \, N > 0$ tal que $n \geq N \Rightarrow |\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L}| < \epsilon$.
Como $\{ (\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n})\} \longrightarrow (\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M})$ para $\epsilon > 0$ dada existe $n \geq Ñ \Rightarrow \| (\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n}) – (\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M}) \| < \epsilon$ entonces $$\sqrt{(\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L})^2+(\overrightarrow{y_n} – \overrightarrow{M})^2 } < \epsilon$$ $$|\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L}| \leq \sqrt{(\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L})^2+(\overrightarrow{y_n} – \overrightarrow{M})^2 } < \epsilon$$ $$\Rightarrow |\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L}| < \epsilon$$
Entonces $N=Ñ$ sirve.
Análogamente la sucesión de $\{\overrightarrow{y_n}\}_{n \, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$.
[$\Leftarrow$] Si las sucesiones $\{\overrightarrow{x_n}\} \Longrightarrow \overrightarrow{L}$ y $\{\overrightarrow{y_n}\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ entonces la sucesión $\{(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n})\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow (\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M})$.
Sea $\epsilon > 0$
[por demostrar: existe $N$ tal que si $n > N$ entonces $\| (\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n}) – (\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M})\| < \epsilon$]
Dada la circunferencia $(x-L)^2+(y-M)^2=\epsilon^2$, queremos saber cuales son las coordenadas del cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados que está inscrito en la circunferencia.
Como $\{\overrightarrow{x_n}\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_1$ tal que $n \geq N_1 \rightarrow |\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L}| < \delta$…..$(1)$
Como $\{\overrightarrow{y_n}\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_2$ tal que $n \geq N_2 \rightarrow |\overrightarrow{y_n} – \overrightarrow{M}| < \delta$…..$(2)$
Por $(1)$ y $(2)$, para $n \geq máx \{N_1, N_2\}$ tenemos que $$|\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L}| < \delta \wedge |\overrightarrow{y_n} – \overrightarrow{M}| < \delta \Longrightarrow (\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n}) \text{ está en el cuadrado con vértices} (\overrightarrow{L}\pm \delta , \overrightarrow{M} \pm \delta)$$
Entonces $(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n})$ está en el círculo.$_{\blacksquare}$