Definiciones: Sea $\big( X, d \big)$ un espacio métrico; en nuestro curso consideramos el espacio métrico$\big( \mathbb{R}^n, \| \; \|_2 \big)$:

Decimos que un punto $x$ es un punto de adherencia de un conjunto $A$ si cualquier vecindad (bola abierta) suya contiene al menos un punto de $A$. $$\forall \; r > 0, B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de puntos de acumulación de $A$ se denota por $A^{\prime}$.

Decimos que $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $r > 0$ la bola perforada con centro en $x$ y radio $r$ contiene elementos de $A$. $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de los puntos de adherencia de $A$ se denota por $\big[ A \big]$.

Observación 1: Todo punto de acumulación de $A$ es un punto de adherencia de $A$.

Sea $x$ punto de acumulación de $A$, entonces $\forall \; r > 0 $ se tiene que $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset \Longrightarrow B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

En consecuencia $A^{\prime} \subseteq \big[ A \big] \; _\blacksquare$.

Observación 2: Si $a$ es un punto aislado de $A$, $a$ es punto de adherencia de $A$ que NO es punto de acumulación de $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\overline{A}$ y $\big[ A \big]$?

• si $x \in \overline{A} \iff x \in A \lor x \in \partial A$ pero $\partial A \subseteq A$ y $A \subseteq \big[ A \big]$ por lo que $\overline{A} \subseteq \big[ A \big]$.
• si $x \in \big[ A \big] = A \cup \big( \big[ A \big] \setminus A \big)$ entonces $$x \in A \Longrightarrow x \in \overline{A}$$ o $$x \in \big[ A \big] \setminus A \Longrightarrow x \in \partial A \Longrightarrow x \in \overline{A}$$ $$ \therefore \overline{A} = \big[ A \big] \; _{\blacksquare}$$