Sean:

$\alpha :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$

$\beta :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0)=\beta (t_0)=\overrightarrow{x_0}$;

${\alpha }^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}$ y

${\beta }^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha }^{\prime }(t_0)$ y ${\beta }^{\prime }(t_0)$

$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime }(t_0)\cdot {\beta }^{\prime }(t_0)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t_0)\Vert \Vert {\beta }^{\prime }(t_0)\Vert }}$$

En esta imagen puedes observar un ejemplo.

Longitud de arco

Sea $\alpha :[a,b]\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ continua.

Para cada partición del $[a,b]$, $t_0=a<t_1<t_2<\cdots <t_n=b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum _{i=1}^n\Vert \alpha (t_i)–\alpha (t_{i–1})\Vert =\mathcal{L}(C)$$

$\mathcal{L}(C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\overrightarrow{p}=\alpha (a)$ hasta $\overrightarrow{q}=\alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\{\sum _{i=1}^n\Vert \alpha (t_i)–\alpha (t_{i–1})\Vert ;t_0=a<t_1<t_2<\cdots <t_n=b\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha ):=sup\{\mathcal{L}(C)\}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X},d)$, con

$\alpha :I\subset \mathbb{R}\to \mathcal{X}$

$$\mathcal{L}(C)=\sum _{i=1}^{n}d(\alpha (t_{i-1}),\alpha (t_i))$$

$$\mathcal{L}(\alpha ):=sup\{\mathcal{L}(C)\}$$