Sean:

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

$ \beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0) = \beta (t_0) = \vec{x_0}$;

${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$ y

${\beta}’ (t_0) \neq \vec{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha}’ (t_0)$ y ${\beta}’ (t_0)$

$$ \cos \theta = \dfrac{{\alpha}’ (t_0) \cdot {\beta}’ (t_0)}{ \|{\alpha}’ (t_0)\| \|{\beta}’ (t_0)\|}$$

Longitud de arco

Sea $ \alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ continua.

Para cada partición del $[a, b]$, $t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \| = \mathcal{L} (C) $$

$\mathcal{L} (C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\vec{p} = \alpha (a)$ hasta $\vec{q} = \alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\left\{ \sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \|; t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b\right\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X}, d)$, con

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{X}$

$$ \mathcal{L}(C)= \sum\limits_{i = 1}^n d \left( \alpha (t_{i-1}), \alpha (t_i) \right)$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Teorema

Si $\alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ es de clase $\mathcal{C}^1$, entonces la función que a cada $t \rightarrow \|{\alpha}’ (t)\|$ es continua, es de $ [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y podemos integrar, es decir, existe $$\int_{a}^{b} \|{\alpha}’ (t)\| dt$$

Demostración:

$\mathcal{L} (\alpha) := \{ \mathcal{L} (C) \mid \mathcal{L} (C) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \| \alpha (t_i) \, – \, \alpha(t_{i-1})\| \}$

En $\mathbb{R}^2$, $$\alpha (t) = ( x (t), y (t))$$

$$\alpha (t_i) = ( x (t_i), y (t_i))$$

$$\alpha (t_{i-1}) = ( x (t_{i-1}), y (t_{i-1}))$$

Luego $$\alpha (t_i) \, – \, \alpha (t_{i-1}) = ( x (t_i)\, – \, x (t_{i-1}), y (t_i) \, – \, y (t_{i-1}))$$

Entonces $$\Big\|\alpha (t_i) \, – \, \alpha (t_{i-1}) \Big\|= \sqrt {( x (t_i)\, – \, x (t_{i-1}))^2 + (y (t_i) \, – \, y (t_{i-1}))^2}$$

Entonces $$\sum\limits_{i = 1}^n \Big\|\alpha (t_i) \, – \, \alpha (t_{i-1}) \Big\|= \sum\limits_{i = 1}^n \sqrt {( x (t_i)\, – \, x (t_{i-1}))^2 + (y (t_i) \, – \, y (t_{i-1}))^2}$$

Existen $\xi_i \in (t_{i-1}, t_i)$ tales que $$\dfrac{x(t_i) \, – \, x(t_{i-1})}{t_i \, – \, t_{i-1}} = x’ (\xi) $$

Entonces $$x(t_i) \, – \, x(t_{i-1}) = x’ (\xi) (t_i \, – \, t_{i-1}) $$

De manera análoga, existen $\eta_i \in (t_{i-1}, t_i)$ tales que: $$y(t_i) \, – \, y(t_{i-1}) = y’ (\eta) (t_i \, – \, t_{i-1}) $$

Entonces $$\sum\limits_{i = 1}^n \Big\|\alpha (t_i) \, – \, \alpha (t_{i-1}) \Big\|= \sum\limits_{i = 1}^n \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 (\Delta t_i)^2 + (y’ (\eta_i))^2 (\Delta t_i)^2}$$

con $\Delta t_i = t_i \, – \, t_{i-1}$ tenemos que el segundo miembro de la igualdad es:

$$\sum\limits_{i = 1}^n \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 (\Delta t_i)^2 + (y’ (\eta_i))^2 (\Delta t_i)^2} = \sum\limits_{i = 1}^n \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\eta_i))^2 } (\Delta t_i)^2 $$

mientras que en el primer miembro obtenemos:

$$ \sum\limits_{i = 1}^n \Big\|\alpha (t_i) \, – \, \alpha (t_{i-1}) \Big\|= \int_a^b \Big\|{\alpha}’ (t) \Big\| dt $$

es el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, de sumas de Riemann de la forma $$\sum\limits_{i = 1}^n \Big\|{\alpha}’ (\xi_i) \Big\| \Delta t_i$$

donde $\Big\|{\alpha}’ (\xi_i) \Big\| = \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\xi_i))^2 }$

Tenemos $\sum\limits_{i = 1}^n \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\eta_i))^2 } (\Delta t_i)$

Consideremos una función $F : [a, b] \times [a, b] \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, donde $$F (s, t) = \sqrt {( x’ (s))^2 + (y’ (s))^2 }$$

Como $x’$ y $y’$ son continuas, tenemos que $F$ es continua en un conjunto compacto $ [a, b] \times [a, b] = K$ por lo que podemos concluir que $F$ es uniformemente continua.

Entonces, para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para toda pareja de puntos $p, q \in [a, b] \times [a, b] $

si $ \Big\| p – q \Big\| < \delta \Rightarrow \Big| F(p) – F(q) \Big| < \epsilon.$

Tomemos la norma de la partición $\mathcal{P}$ menor que $\delta$, es decir $t_i \, – \, t_{i-1} < \delta$

Dibujo 1

Como $\vec{p} = (\xi_i, \eta_i)$ y $\vec{q} = (\xi_i, \xi_i)$

Si $ \Big\| \vec{p} \, – \, \vec{q} \Big\| = \Big| \eta_i \, – \, \xi_i \Big| < \delta \Longrightarrow \Big| F(\vec{p}) \, – \, F(\vec{q}) \Big| < \epsilon$

Luego

$$ \Bigg| \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\eta_i))^2 } \, – \, \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\xi_i))^2 }\Bigg| < \epsilon$$

Multiplicando por $(t_i \, – \, t_{i-1})$

$$ \Bigg| \left(\sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\eta_i))^2 } \, – \, \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\xi_i))^2 }\right) \Bigg|(t_i \, – \, t_{i-1}) < \epsilon (t_i \, – \, t_{i-1})$$

Sumamos

$$ \sum\limits_{i = 1}^n \Bigg| \left(\sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\eta_i))^2 } \, – \, \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\xi_i))^2 }\right) \Bigg|(t_i \, – \, t_{i-1}) < \epsilon \sum\limits_{i = 1}^n (t_i \, – \, t_{i-1})$$

Entonces

$$\epsilon \sum\limits_{i = 1}^n (t_i \, – \, t_{i-1}) = \epsilon (b – a) $$

Por otro lado:

$$\Big| \mathcal{L}(C) \, – \, \mathcal{S}(f, \mathcal{P}) \Big| = \sum\limits_{i = 1}^n \Bigg| \left(\sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\eta_i))^2 } \, – \, \sqrt {( x’ (\xi_i))^2 + (y’ (\xi_i))^2 }\right) \Bigg|(t_i \, – \, t_{i-1}) < \epsilon (b – a)$$

donde $f(t) = \sqrt {( x’ (t))^2 + (y’ (t))^2 }$

Luego $ \Big| \mathcal{L}(C) \, – \, \mathcal{S}(f, \mathcal{P}) \Big| < \epsilon (b – a)$

$\mathcal{L}(\alpha) = sup\{ \mathcal{L}(C)\}$ , donde $C$ es la trayectoria poligonal.

Entonces $\int_a^b \Big\|{\alpha}’ (t) \Big\| dt = \lim\limits_{\|\mathcal{P}\| \to 0} \mathcal{S} (f, \mathcal{P})$

Para todo $\epsilon > 0$ existe $c$ tal que $|\mathcal{L}(\alpha) \, – \, \mathcal{L}(C)| < \dfrac{\epsilon}{2}$

Para todo $\epsilon > 0$ existe $\mathcal{P}$ tal que

$ \Big| \mathcal{S}(f, \mathcal{P}) \, – \, \int_a^b \Big\|{\alpha}’ (t) \Big\| dt \Big| < \dfrac{\epsilon}{2}$

Existe una sucesión de curvas poligonales $\{ C_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ tal que $\lim\limits_{k \to \infty} \mathcal{L}(C_k) = \mathcal{L}(\alpha)$

$ \lim\limits_{k \to \infty} \mathcal{S}(f , \mathcal{P}_k) = \int\limits_a^b \Big\|{\alpha}’ (t) \Big\| dt $ donde $\mathcal{P}_k$ son particiones de $[a, b].$

Afirmación:

$\Big| \mathcal{L}(C) \, – \, \mathcal{S}(f, \mathcal{P}_k) \Big| \rightarrow 0$ cuando $k \rightarrow \infty$

$$\therefore \mathcal{L}(\alpha) = \int\limits_a^b \Big\| {\alpha}'(t) \Big\| dt \; _{\blacksquare}$$