Introducción
Ahora que hemos recordado las derivadas y de haber estudiado los teoremas fundamentales, podemos definir integrales inmediatas que surgen de estos temas.
La bondad de estos teoremas es que podemos encontrar formas y métodos de integración que se desprenden directamente de los procesos de derivación.
Para facilitar la notación de esta entrada, utilicemos la integral indefinida, es decir, sin considerar los límites de integración.
Recordemos que si tenemos una integral definida, tiene la siguiente representación:
$$\int \limits_a^b f(x) \ dx = \left. F(x) \right|_a^b = F(b) \ – \ F(a).$$
Donde $F(x)$ es la integral de $f(x)$ y posteriormente se evalúa en los límites correspondientes.
En contraste con las integrales sin límites de integración o indefinidas, se verían de la siguiente manera:
$$\int f(x) \ dx = F(x) \ + \ C.$$
Ya que no tenemos límites, al momento de integrar encontramos una función que depende de nuestra variable pero podríamos tener una pérdida de información ya que, si recordamos las derivadas, la derivada de una constante es $0$, lo que, al momento de integrar esta derivada perdemos el valor de esta constante, (constante de integración).
Por ejemplo:
$$f(x) = x^2 + 3x + 5.$$
Si aplicamos derivamos esta función, tenemos lo siguiente.
$$\frac{d}{dx} f(x) = f'(x) = 2x + 3.$$
Lo que, al integrar esta derivada utilizando el teorema fundamental del cálculo, tenemos lo siguiente.
$$\int \frac{d}{dx} f(x) \ dx = f(x) = x^2 + 3x + 5. $$
Pero, si integramos tal cual la derivada que se encontró, se tiene la siguiente integral.
$$\int 2x + 3 = x^2 + 3x. $$
Vemos que no es exactamente lo mismo. En realidad, lo único que difiere es en la constante y esto no nos genera mayor problema, ya que al considerar los límites de integración se puede ajustar.
Nota: Solo se puede ajustar mediante una constante. No se pueden añadir términos que dependan de la misma variable de la función.
Si falta una constante, no hay problema. La integral quedará de la siguiente forma:
$$\int 2x + 3 = x^2 + 3x + C.$$
Donde $C$ se le conoce como la constante de integración.
Entonces, tomando el ejemplo anterior, hay que identificar el valor de $C$, y ya solo se tendría que despejar.
$$ x^2 + 3x + 5= x^2 + 3x + C.$$
$$C = 5.$$
Entonces, por practicidad en la sección, utilizaremos la notación de la integral sin límites de integración sin olvidar la constante de integración.
Integral de una constante
$$\int z \ dx = z \ x +C.$$
En particular, si $z=1$.
$$\int \ dx = x + C.$$
Integral de potencias
Tendríamos funciones del estilo $f(x) = x^n$.
$$\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}; \ n \neq -1.$$
Integral de un cociente
Tendríamos funciones del estilo $f(x) = \frac{1}{x}$.
\begin{align*}
\int x^{-1} \ dx & = \int \frac{1}{x} \ dx \\
&= ln|x| + C.
\end{align*}
Integral de una exponencial
Son funciones de la forma $f(x) = a^x; \ \ f(x) = e^x$ donde $a$ es un número real y $e$ es el número de Euler y que se utiliza para la «exponencial».
$$\int a^x \ dx = \frac{a^x}{ln \ a} + C.$$
$$\int e^x \ dx = e^x + C .$$
Integrales trigonométricas
Integrales de funciones trigonométricas.
$$\int sin(x) \ dx = -cos(x) + C.$$
$$\ \int cos(x) \ dx = sin(x) + C.$$
$$\int tan(x) \ dx = – \ ln|cos(x)| + C = ln|sec(x)| + C.$$
$$\int cot(x) \ dx = ln|sin(x)| + C.$$
$$\ \int sec(x) \ dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C. $$
$$\int csc(x) \ dx = ln|csc(x) – cot(x)| + C.$$
Así, como algunos productos entre funciones.
$$ \int sec^2(x) \ dx = tan(x) + C.$$
$$\int csc^2(x) \ dx = -cot(x) + C.$$
$$\ \int sec(x) \ tan(x) \ dx = sec(x) + C.$$
$$\int csc(x) \ cot(x) \ dx = -csc(x) + C.$$
Integrales de la forma $x^2 \pm a^2, a^2 – x^2$
$$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} arc \ tan(\frac{x}{a}) + C.$$
$$\ \int \frac{dx}{x^2 – a^2} = \frac{1}{2a} ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C.$$
$$\int \frac{dx}{ a^2 – x^2 } = \frac{1}{2a} ln \left|\frac{a + x}{a-x} \right| + C.$$
Integrales de la forma $\sqrt{x^2 \pm a^2} , \sqrt{a^2 – x^2}$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 \ – \ x^2 } } \ = \ arc \ sin \left(\frac{x}{a} \right) + C.$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 \ \pm \ x^2 } } \ = \ ln \left(x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right) + C.$$
$$\ \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 \ – \ a^2}} \ = \ \frac{1}{a} arc \ sec \left( \frac{x}{a} \right) + C.$$
$$\int \sqrt{a^2 \ – \ x^2} dx \ = \ \frac{x}{2} \sqrt{a^2 \ – \ x^2} \ + \ \frac{a^2}{2} arc \ sin \frac{x}{a} \ + \ C.$$
$$\int \sqrt{x^2 \ \pm \ a^2} dx \ = \ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 \pm a^2} \ \pm \ \frac{a^2}{2} ln \left( x + \sqrt{x^2 \ \pm \ a^2} \right) \ + \ C.$$
Más adelante…
A partir de ahora podemos calcular integrales de forma inmediata, solo viendo la función sin necesidad de elaborar o desarrollar la definición.
Esto considerando que las funciones cumplen con los supuestos necesarios, como la continuidad de la función sobre el intervalo de integración.
Entonces, ¿Qué pasa si al momento de integrar, nuestro dominio presenta un problema? ¿Qué se hace si nuestra función original o la que encontramos después de realizar la integral, tiene puntos conflictivos, alguna discontinuidad o el rango de integración se vuelve infinito?
En la siguiente sección se verán las integrales impropias donde se explicará cual es el tratamiento correspondiente a este tipo de funciones o que hacer en esos casos.
Tarea moral
Realice las siguientes integrales.
- $\int 3x^2 + x \ – \ 5 \ dx.$
- $\int 2 sec^2(x) \ – \ 7sin(x) + e^{x} dx .$
- $\ \int 3^x + \frac{1}{4x} dx.$
- $\int \frac{1}{1 + x^2} \ – \ \frac{2}{4 \ – \ (2x)^2} dx.$
- $\int \frac{3}{\sqrt{27 \ – \ 3(9x^2)}} \ dx.$
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