6.3 Álgebra matricial y sistemas lineales de ecuaciones
Cuando una población está estructurada en varias clases (como juveniles, adultos, viejos; o larvas, pupas, adultos), necesitamos herramientas que permitan describir, proyectar y analizar cómo cada clase influye en las demás con el paso del tiempo.
En este subtema seguimos practicando con modelos que trabajan bajo un tiempo discreto, como años o generaciones, por lo que ejercitaremos el uso de matrices para representar sistemas de ecuaciones lineales y operar con ellos.
La teoría sobre métodos de resolución se incluye en la sección propedéutica “Recursos base” (link pendiente), de modo que aquí sólo se presentan ejemplos y ejercicios resueltos.
Ejemplo
Consideremos una población de ranas arborícolas que habitan en tres zonas conectadas por pequeños canales en un bosque húmedo tropical del sureste de México:
• Zona A: Llanura inundable baja
• Zona B: Pantano central
• Zona C: Llanura alta seca
Cada año:
• En la zona A, el 40 % de las ranas permanecen allí, mientras que el 60 % migra hacia la zona B.
• En la zona B, el 50 % permanece, mientras que el 30 % migra hacia C y el 20 % regresa a A.
• En la zona C, el 20 % regresa a B, y el 80 % permanece en C.
Este sistema de migración se puede modelar con la matriz de transición:
$A = \begin{bmatrix} 0.4 & 0.2 & 0 \\ 0.6 & 0.5 & 0.2 \\ 0 & 0.3 & 0.8 \end{bmatrix}$
Supongamos que al inicio (ciclo $t=0$) hay $\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 120 \\ 80 \\ 50 \end{bmatrix}$
Responde: ¿cuántas ranas habrá en cada zona para el siguiente ciclo?
Respuesta esperada
Cálculo del siguiente ciclo $t = 1$:
$\mathbf{x}(1) = A \cdot \mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 0.4(120) + 0.2(80) + 0(50) \\ 0.6(120) + 0.5(80) + 0.2(50) \\ 0(120) + 0.3(80) + 0.8(50) \end{bmatrix}$
$\qquad \qquad = \begin{bmatrix} 48 + 16 + 0 \\ 72 + 40 + 10 \\ 0 + 24 + 40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 \\ 122 \\ 64 \end{bmatrix}$
Por lo tanto, al siguiente año se espera que haya 64 ranas en cada una de las zonas A y C, y 122 en la zona B.
Ejercicio
Realiza lo que se pide con base en el ejemplo anterior.
a. Calcula $\mathbf{x}(2)$ y $\mathbf{x}(3)$
b. Responde: ¿notas alguna tendencia?
Respuesta esperada
a. Cálculo del siguiente ciclo $t = 2$:
$$\mathbf{x}(2) = A \cdot \mathbf{x}(1) = \begin{bmatrix} 0.4(64) + 0.2(122) + 0(64) \\ 0.6(64) + 0.5(122) + 0.2(64) \\ 0(64) + 0.3(122) + 0.8(64) \end{bmatrix}$$
$$\qquad \qquad = \begin{bmatrix} 25.6 + 24.4 + 0 \\ 38.4 + 61 + 12.8 \\ 0 + 36.6 + 51.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 50 \\ 112.2 \\ 87.8 \end{bmatrix}$$
Luego, en este ciclo se espera que haya aproximadamente 50 ranas en la zona A, 112 en la zona B y 87 en la zona C.
Cálculo del siguiente ciclo $t = 3$:
$$\mathbf{x}(3) = A \cdot \mathbf{x}(2) = \begin{bmatrix} 0.4(50) + 0.2(112.2) + 0(87.8) \\ 0.6(50) + 0.5(112.2) + 0.2(87.8) \\ 0(50) + 0.3(112.2) + 0.8(87.8) \end{bmatrix}$$
$\qquad \qquad = \begin{bmatrix} 20 + 22.44 + 0 \\ 30 + 56.1 + 17.56 \\ 33.66 + 70.24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 42.44 \\ 103.66 \\ 103.9 \end{bmatrix}$
Luego, en este ciclo se espera que haya aproximadamente 42 ranas en la zona A, 103 en la zona B y 103 en la zona C.
b. En los primeros ciclos se observa que la zona A (llanura baja) pierde población, la zona B (pantano) también decrece pero en menor medida, y la zona C (llanura alta seca) gana individuos. Pareciera que el sistema está alcanzando un equilibrio.
Para saber más
¿Se puede redondear si salen decimales en los resultados?
En modelos poblacionales (especialmente aquellos que usan matrices o ecuaciones diferenciales), es común que salgan valores decimales. Esto no significa que haya «medio individuo», sino que tal vez: el modelo representa proporciones promedio, no conteos exactos; funciona bajo un modelo determinista; o bien, puede reflejar una población grande donde los decimales no afectan mucho la interpretación.
Por ejemplo, si una clase poblacional da como resultado 123.4 individuos, esto puede interpretarse como: un valor esperado promedio, una densidad, no un conteo exacto; o bien, se puede redondear a 123 o 124 individuos dependiendo del caso.
No se debe redondear si:
• Estás dentro del cálculo intermedio (como multiplicaciones de matrices).
• Se requiere precisión para comparar tendencias (por ejemplo, crecimiento exacto por iteraciones).
• El modelo es teórico o simbólico y estás buscando patrones algebraicos.
Por lo tanto, se sugiere usar los decimales durante los cálculos, interpretar los resultados redondeados sólo al final, si se requiere, y en dicho caso aclarar en el texto si el valor fue redondeado. Puedes usar expresiones como aproximadamente, valor esperado, redondeado a la unidad más cercana, etcétera.
Ejercicio
Las golondrinas son aves migratorias comunes en México. Durante la temporada de primavera-verano, muchas se reproducen en diferentes partes del país. Algunas de estas golondrinas se distribuyen entre dos regiones clave:
• Región N (norte): incluye zonas de reproducción en estados como Chihuahua y Coahuila.
• Región S (sur): incluye zonas de reproducción en Oaxaca y Chiapas.
Al final de cada temporada, una parte de las aves cambia de región en función de las condiciones climáticas, alimenticias o reproductivas.
Supongamos que cada año:
• El 70% de las golondrinas que estaban en el norte permanecen ahí, y el 30% migran al sur.
• El 60% de las golondrinas que estaban en el sur regresan al norte, y el 40% se quedan en el sur.
Entonces tenemos la matriz de transición
$$A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.6 \\ 0.3 & 0.4 \end{bmatrix}$$
Supongamos que al inicio de cierto año hay 2000 aves en el norte y 1200 en el sur, luego
$$\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 2000 \\ 1200 \end{bmatrix}$$
a. Calcula la distribución de aves al siguiente año.
b. Responde: ¿qué puedes decir sobre el comportamiento del sistema?
Respuesta esperada
a. $\mathbf{x}(1) = A \cdot \mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.6 \\ 0.3 & 0.4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2000 \\ 1200 \end{bmatrix}$
$$\qquad = \begin{bmatrix} 0.7(2000) + 0.6(1200) \\ 0.3(2000) + 0.4(1200) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1400 + 720 \\ 600 + 480 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2120 \\ 1080 \end{bmatrix}$$
Al año siguiente habrá 2120 golondrinas en el norte y 1080 en el sur.
b. La distribución sí cambió respecto al ciclo anterior, lo que indica que el sistema aún no ha alcanzado su estado estacionario.
Ejercicio
La planta de frijol pasa por tres etapas: semilla (s), plántula (p), planta adulta (a).
Se considera una población de frijol en la que las transiciones por ciclo son las siguientes:
• Solo el 70 % de las semillas germinan y se convierten en plántulas.
• El 75 % de las plántulas alcanzan la etapa adulta.
• Cada planta adulta produce 60 semillas viables por ciclo.
• No hay permanencia en la misma clase (las semillas germinan o no, las plántulas progresan o mueren, las plantas adultas producen semillas y luego terminan su ciclo).
a. Construye la matriz y calcula la población al siguiente ciclo si: $\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 0 \\ 20 \\ 5 \end{bmatrix}$
b. Responde: ¿la población está creciendo o disminuyendo?
Respuesta esperada
a. La matriz de transición es
$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 60 \\ 0.7 & 0 & 0 \\ 0 & 0.75 & 0 \end{bmatrix}$$
Multiplicamos
$$\mathbf{x}(1) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 60 \\ 0.7 & 0 & 0 \\ 0 & 0.75 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 20 \\ 5 \end{bmatrix}$$
$\qquad = \begin{bmatrix} 60 \cdot 5 \\ 0.7 \cdot 0 \\ 0.75 \cdot 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 300 \\ 0 \\ 15 \end{bmatrix}$
Por lo tanto hay 300 semillas, 0 plántulas y 15 plantas adultas.
b. La población está creciendo. El número de semillas aumentó significativamente de 0 a 300, y el número de plantas adultas también aumentó de 5 a 15.
Para saber más
Modelos de Markov en dinámica poblacional
Los modelos de Markov son un tipo de modelo matemático que describe cómo un sistema cambia con el tiempo en etapas discretas, y en el que la probabilidad de estar en un estado en el siguiente paso depende solo del estado actual, no del pasado. Como explican Otto y Day (2007), los modelos de Markov se caracterizan por que “el estado futuro de un sistema depende únicamente de su estado actual, y no del camino que lo llevó hasta allí”. Esta propiedad, conocida como propiedad de Markov, es fundamental en muchos modelos ecológicos y evolutivos, pues permite simplificar la dinámica de sistemas complejos al enfocarse en las probabilidades de transición entre estados.
En el caso de la población de frijol, las etapas de vida (semilla, plántula, planta adulta) se consideran estados del sistema; y cada etapa tiene una proporción fija de transición hacia otra. Entonces, la estructura del sistema cumple con la propiedad de Markov porque:
• No importa si una semilla proviene de una planta adulta vieja o joven; solo importa que es semilla ahora.
• No importa si una plántula era semilla hace uno o dos ciclos; solo importa que es plántula ahora.
Ejercicio
Lee la situación, luego plantea y resuelve el sistema de ecuaciones.
Una población de polillas presenta tres etapas: huevos (h), larvas (l) y adultos (a).
Se sabe que en un ciclo
• Cada adulto produce 120 huevos.
• El 40% de los huevos pasan a ser larvas.
• El 50% de las larvas alcanzan la etapa adulta.
Si se supone que en el ciclo actual $t$ la población está estructurada
$$\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} h \\ l \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2400 \\ 960 \\ 480 \end{bmatrix}$$
Determina cuántos individuos de cada clase había en el ciclo anterior $X(t-1)$.
Respuesta esperada
Paso 1: Escribimos el sistema de ecuaciones como
$$\begin{cases} h(t) = 120a(t-1) \\ l(t) = 0.4h(t-1) \\ a(t) = 0.5l(t-1) \end{cases}$$
Que podemos expresar como la matriz
$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 120 \\ 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}(t-1) = \begin{bmatrix} h(t-1) \\ l(t-1) \\ a(t-1) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} 2400 \\ 960 \\ 480 \end{bmatrix}$
Queremos calcular $\mathbf{x}(t-1) = A^{-1} \cdot \mathbf{x}(t)$
Paso 2: Verificamos que $A$ es invertible calculando el determinante de $A$
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 120 \\ 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{vmatrix} = 120 \cdot \begin{vmatrix} 0.4 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{vmatrix}$$
$\qquad \qquad = 120 \cdot (0.4)(0.5) = 24$
Paso 3: Para encontrar $A^{-1}$, calculamos la inversa resolviendo el sistema $A \cdot X = I$ para encontrar la inversa columna por columna
• Primera columna de $A^{-1}$
Resolvemos $A \cdot x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
Tenemos que
$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 120 \\ 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
Multiplicamos
Fila 1: $0x_1 + 0y_1 + 120z_1 = 1 \Rightarrow 120z_1 = 1 \Rightarrow z_1 = \frac{1}{120}$
Fila 2: $0.4x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
Fila 3: $0.5y_1 = 0 \Rightarrow y_1 = 0$
Entonces la primera columna de la matriz inversa es $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{120} \end{bmatrix}$
• Segunda columna de $A^{-1}$
Resolvemos $A \cdot x_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
Fila 1: $0x_2 + 0y_2 + 120z_2 = 0 \Rightarrow z_2 = 0$
Fila 2: $0.4x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{0.4} = 2.5$
Fila 3: $0.5y_2 = 0 \Rightarrow y_2 = 0$
Entonces la segunda columna es $\begin{bmatrix} 2.5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
• Tercera columna de $A^{-1}$
Resolvemos $A \cdot x_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Fila 1: $120z_3 = 0 \Rightarrow z_3 = 0$
Fila 2: $0.4x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 0$
Fila 3: $0.5y_3 = 1 \Rightarrow y_3 = \frac{1}{0.5} = 2$
Entonces la tercera columna es $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$
Luego, la inversa de $A$ es
$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 2.5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \frac{1}{120} & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
Paso 4: Calcular $\mathbf{x}(t-1) = A^{-1} \cdot \mathbf{x}(t)$
$$\mathbf{x}(t-1) = A^{-1} \cdot \begin{bmatrix} 2400 \\ 960 \\ 480 \end{bmatrix}$$
$$\mathbf{x}(t-1) = \begin{bmatrix} 0 & 2.5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \frac{1}{120} & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2400 \\ 960 \\ 480 \end{bmatrix}$$
$$\qquad = \begin{bmatrix} 2.5 \cdot 960 \\ 2 \cdot 480 \\ \frac{1}{120} \cdot 2400 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2400 \\ 960 \\ 20 \end{bmatrix}$$
Por lo tanto, en el ciclo anterior había 2400 huevos, 960 larvas y 20 adultos.
Ejercicio
En una comunidad se ha registrado un brote de influenza estacional. Para monitorear el progreso del brote en una población de 1100 personas, se utiliza un modelo epidemiológico SIR, el cual divide a la población en tres clases: S, susceptibles (pueden contagiarse); I, infectados (actualmente tienen la enfermedad); R, recuperados (ya no pueden infectarse ni contagiar).
Las tasas de cambio por ciclo (una semana) son:
• El 30% de los susceptibles se infectan.
• El 50% de los infectados se recuperan.
• Los recuperados permanecen en esa categoría (es decir, pasan a ser inmunes).
Tenemos la matriz de transición
$$A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0 & 0 \\ 0.3 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 & 1 \end{bmatrix}$$
El estado inicial es $\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 1000 \\ 100 \\ 0 \end{bmatrix}$
a. Responde: ¿cuál será el estado en la siguiente semana?
b. Responde: ¿qué observas si se repite este proceso varios ciclos más?
Respuesta esperada
a.
$$\mathbf{x}(1) = A \cdot \mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 0.7(1000) + 0(100) + 0(0) \\ 0.3(1000) + 0.5(100) + 0(0) \\ 0 + 0.5(100) + 1(0) \end{bmatrix}$$
$$\qquad \qquad = \begin{bmatrix} 700 \\ 300 + 50 \\ 50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 700 \\ 350 \\ 50 \end{bmatrix}$$
Se espera que la siguiente semana haya 700 susceptibles, 350 infectados, 50 recuperados.
b. Podemos continuar el cálculo algunos ciclos más para observar la tendencia.
$$\mathbf{x}(2) = \begin{bmatrix} 0.7(700) \\ 0.3(700) + 0.5(350) \\ 0.5(350) + 1(50) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 490 \\ 210 + 175 = 385 \\ 175 + 50 = 225 \end{bmatrix}$$
$\mathbf{x}(2) = \begin{bmatrix} 490 \\ 385 \\ 225 \end{bmatrix}$
$$\mathbf{x}(3) = \begin{bmatrix} 0.7(490) \\ 0.3(490) + 0.5(385) \\ 0.5(385) + 1(225) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 343 \\ 147 + 192.5 = 339.5 \\ 192.5 + 225 = 417.5 \end{bmatrix}$$
$$\mathbf{x}(3) \approx \begin{bmatrix} 343 \\ 339.5 \\ 417.5 \end{bmatrix}$$
El número de infectados primero crece (de 100 a 350, luego a 385), pero después comienza a disminuir (baja a 339), mientras que los recuperados aumentan constantemente y los susceptibles disminuyen.
Ejercicio
En un laboratorio de conservación de ajolotes, se realiza un monitoreo de la población. Se clasifican a los individuos en tres etapas del desarrollo: larvas, juveniles y adultos.
Se sabe que:
• La población total de la muestra es de 42 individuos.
• La cantidad de juveniles es el triple de larvas.
• Hay 12 adultos más que larvas.
a. Plantea el sistema y resuélvelo por el método de eliminación de Gauss.
b. Responde: ¿cuál es la distribución actual de individuos en cada clase?
Respuesta esperada
a. Sean
• $x$: número de larvas
• $y$: número de juveniles
• $z$: número de adultos
escribimos el sistema
$$\begin{cases} x + y + z = 42 \\ y = 3x \\ z = x + 12 \end{cases}$$
y escribimos la matriz aumentada
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 42 \\ -3 & 1 & 0 & | & 0 \\ -1 & 0 & 1 & | & 12 \end{bmatrix}$$
El objetivo es convertir la matriz en forma escalonada (triangular superior) usando operaciones elementales por filas:
Fila 1 ya comienza con un 1 en la primera columna, así que la dejamos igual:
$F_1 = (1, 1, 1 \, | \, 42)$
Eliminamos los coeficientes de $x$ en las filas 2 y 3:
• $F_2 + 2F_1 \rightarrow F_2$:
$(-3, 1, 0 \, | \, 0) + 3(1, 1, 1 \, | \, 42) = (0, 4, 3 \, | \, 126)$
• $F_3 + F_1 \rightarrow F_3$:
$(-1, 0, 1 \, | \, 12) + (1, 1, 1 \, | \, 42) = (0, 1, 2 \, | \, 54)$
Obtenemos la nueva matriz
$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 42 \\ 0 & 4 & 3 & 126 \\ 0 & 1 & 2 & 54 \end{array} \right]$$
Ahora queremos hacer cero el segundo elemento de la tercera fila:
• $F_3-\frac{1}{4}F_2 \rightarrow F_3$
$F_3 = (0, 1, 2 \, | \, 54), \quad \frac{1}{4}F_2 = (0, 1, \frac{3}{4} \,|\, 31.5)$
$F_3-\frac{1}{4}F_2 = (0, 1, 2 \,|\, 54)-(0, 1, 0.75 \,|\, 31.5) = (0, 0, 1.25 \,|\, 22.5)$
Multiplicamos toda la fila por 4 para evitar fracciones: $(0, 0, 5, |\, 90)$
Ahora tenemos la nueva matriz
$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 42 \\ 0 & 4 & 3 & 126 \\ 0 & 0 & 5 & 90 \\ \end{array} \right]$$
Resolvemos por sustitución hacia atrás:
• Fila 3: $5z = 90 \Rightarrow z = 18$
• Fila 2: $4y + 3z = 126 \Rightarrow 4y + 3(18) = 126 \Rightarrow 4y + 54 = 126$
$\qquad \Rightarrow 4y = 72 \Rightarrow y = 18$
• Fila 1: $x + y + z = 42 \Rightarrow x + 18 + 18 = 42 \Rightarrow x = 6$
Por lo tanto $x = 6,\quad y = 18,\quad z = 18$
b. En la distribución actual hay 6 larvas, 18 juveniles y 18 adultos.