(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El rango de una matriz es una medida de la «cantidad» de información que contiene la matriz. Formalmente, el rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus renglones (o, equivalentemente, por sus columnas).

En términos más simples, el rango de una matriz se refiere al número de renglones o columnas que son linealmente independientes entre sí. En otras palabras, si se tiene una matriz $A$, su rango es el mayor número de vectores linealmente independientes que podemos encontrar entre sus renglones, o bien entre sus columnas.

El rango de una matriz es importante en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, incluyendo la teoría de sistemas lineales y la estadística multivariante. Por ejemplo, el rango de una matriz puede ser utilizado para determinar si un conjunto de ecuaciones lineales tiene una solución única, y también puede ser utilizado para identificar patrones en conjuntos de datos multivariados.

Es importante tener en cuenta que el rango de una matriz no cambia si se realiza una operación elemental de renglón o columna, por ejemplo, multiplicar un renglón por una constante no nula, intercambiar dos filas, o sumar $\lambda$ veces un renglón a otro.

Definición

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $R_1,\dotsc,R_m\in \mathbb R^n$ son los renglones de $A$, entonces el rango de $A$ es:

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_m \rangle .$

Lema

Sea $A,B \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A\sim B$ entonces $rk\,A=rk\,B.$

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Basta ver que si $e$ es una operación elemental entonces $rk\,A=rk\,e(A).$

$1.$ Sea $e$ el intercambio de renglones $r$ y $s$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$ entonces los renglones de $e(A)$ son los mismos sólo que $R_r$ y $R_s$ cambian de lugar, así:

$rk\,e(A)=dim\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,A$

$2.$ Sea $e$ la operación elemental que multiplica el renglón $r$ por un real $\lambda$ no nulo. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$ entonces $R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$. Como $\lambda R_r\in \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$, entonces:

$\langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Como $\lambda \neq 0$ tenemos que $R_r=\lambda^{-1}(\lambda R_r)\in \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Por lo que $\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y entonces

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = dim \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle=rk\,e(A) .$

$3.$ Sea $e$ la operación elemental que suma al renglón $r$, $\lambda$ veces el $s$, con $\lambda \in \mathbb R.$

Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces $R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$

Como $R_r+\lambda R_s\in \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle $ tenemos que:

$\langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Además $R_r=(R_r+\lambda R_s)+(-\lambda)R_s \in \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s ,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Concluimos que:

\begin{align*}rk\,A&=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \\ &= dim \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,e(A)\end{align*}

$\square$

Corolario

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A$ es equivalente a una matriz $R$ escalonada reducida por renglones, entonces $rk\,A=rk\,R.$

Observación: Si $R\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es escalonada reducida por renglones y tiene $r$ renglones no nulos, entonces éstos forman una base para el espacio generado por los renglones de $R$ y en consecuencia $rk\,R=r.$

Así, el rango de una matriz $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, denotado por $rk\,A$, es el número de renglones no nulos que quedan al escalonar la matriz $A$.

Ejemplos

$1.$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ -2 & -6\\ 3 & 9 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+2R_1$ $R_3\to R_3+(-3)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.	$rk\,A=1$

$2$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 4 & -1 & 5\\ 5 & 1 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+(-4)R_1$ $R_3\to R_3+(-5)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & -9 & -7 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_3\to R_3+(-1)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$-\frac{1}{9}R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_1\to R_1+(-2)R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \frac{13}{9}\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$rk\, B=2$

Nota

El rango por columnas se define de forma análoga como la dimensión del espacio generado por las columnas de una matriz $A$. Aunque el espacio de renglones de $A$ y el espacio de columnas de $A$ son en general distintos, incluso los renglones y las columnas de $A$ no tienen siempre el mismo número de entradas, se puede probar que la dimensión del espacio que generan los renglones de una matriz coincide con la dimensión del espacio que generan sus columnas, es decir el rango por renglones coincide con el rango por columnas.

Tarea Moral

$1.$ Obtén el rango de las siguientes matrices.

$a.$

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & 13\\ -2 & -4 & -9 & 23 \\ 5 & 10 & 24 & 62 \end{array} \right) \end{equation*}$

$b.$

$B= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -10\\ 3 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$

$2.$

En los ejemplos 1 y 2 analiza geométricamente cómo es el espacio generado por los renglones de $A$ y cómo es el espacio generado por las columnas de $A$.

Más adelante

En las siguientes dos notas veremos la teoría y los ejemplos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas es un conjunto de $m$ ecuaciones lineales que involucran $n$ variables desconocidas. El objetivo de este tipo de sistemas es encontrar los valores de las incógnitas que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Cada una de las ecuaciones en el sistema representa una restricción en las posibles soluciones del mismo, por lo que la solución del sistema debe cumplir con todas las restricciones impuestas por las ecuaciones. Las soluciones de este tipo de sistemas pueden ser únicas, no existir, o puede haber múltiples soluciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales puede ser útil en diferentes áreas, como en la física, la ingeniería, la economía, entre otras. Existen diferentes métodos para resolver este tipo de sistemas, como el método de eliminación de Gauss, el método de eliminación de Gauss-Jordan, y el método de la matriz inversa, entre otros.

Definición

Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas es:

$\begin{array}{cccc} &a_{11}x_1+ a_{12}x_2+\dotsc +a_{1n}x_n &=&b_1 \\ && \vdots& \\ &a_{m1}x_1+ a_{m2}x_2+\dotsc+a_{mn}x_n &=&b_n \end{array}$

con $a_{ij}\in \mathbb R$ para todo $i\in \set{1,\dotsc,m}$ y para todo $j\in \set{1,\dotsc,n}$. Estos números son llamados los coeficientes.

Si $b_1=b_2=\cdots=b_m=0$ decimos que es un sistema homogéneo.

Ejemplo

$\begin{array}{ccccc} 3x_1&-2x_2&+\frac{1}{4}x_3&+x_4 &=0 \\-2x_1&+x_2&&+5x_4 &=0 \\ 7x_1&+8x_2&& &=0 \end{array}$

Éste es un sistema de $3$ ecuaciones lineales con $4$ incógnitas.

Podemos reescribir el sistema en forma matricial:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} a_{11}x_1+\dotsc+a_{1n}x_n \\ \vdots \\a_{m1}x_1+\dotsc+a_{mn}x_n \end{array} \right) \end{equation*}$ $=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dotsc & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dotsc & a_{mn} \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \end{equation*} $ $=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$

Si $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dotsc & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dotsc & a_{mn} \end{array} \right) \end{equation*}$, $X=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \end{equation*} $ y $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$. El sistema quedaria como:

$AX=B.$

A la matriz $A$ se le llama la matriz de coeficientes del sistema.

La matriz aumentada del sistema es:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right) \end{equation*}$$=\left( A|B \right)_{m\times (n+1)}$

Decimos que un vector $S=(s_1\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$ es solución del sistema si $AS=B$.

Observación 1

Si $A^1,\dotsc, A^n\in \mathbb R^m$ son las columnas de $A$, entonces $S\in \mathbb R^n$ es una solución del sistema si y sólo si $s_1 A^1+s_2 A^2+\cdots+s_n A^n=B.$

Demostración

$S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$ es solución de $AX=B\Longleftrightarrow AS=B$

$\Longleftrightarrow$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} a_{11}s_1+\dotsc+a_{1n}s_n \\ \vdots \\a_{m1}s_1+\dotsc+a_{mn}s_n \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$

$\Longleftrightarrow$ $s_1 \begin{equation*} \left(\begin{array}{c} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) \end{equation*}$ $+$ $\cdots$ $+$ $s_n\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} a_{1n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) \end{equation*}$$=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$

$\Longleftrightarrow$ $s_1 A^1+s_2 A^2+\cdots+s_n A^n=B.$

Observación 2

Todo sistema homogéneo tiene al menos la solución $S=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$, llamada la solución trivial.

Teorema.

Al realizar operaciones elementales en la matriz aumentada de un sistema, el sistema asociado cambia pero las soluciones son las mismas.

Demostración

Sean $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\, B\in \mathscr M_{m\times 1}(\mathbb R).$

Consideremos el sistema $AX=B$ y $\left( A|B \right)$ su matriz aumentada. Basta probar que al aplicar una operación elemental $e$ a $\left( A|B \right)$ el sistema asociado tiene las mismas soluciones.

$1)$ Sea $e$ la operación que intercambia los renglones $r$ y $t$. Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original sólo que en otro orden, así que las soluciones son las mismas.

$2)$ Sea $e$ la operación que multipica el renglón $r$ por $\lambda$ con $\lambda\neq 0.$

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación $r$ que queda multiplicada por $\lambda$. Pero $S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$ cumple que

$\begin{array}{rrr}a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n=b_r & \Longleftrightarrow & \lambda (a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n)=\lambda b_r \\ &\Longleftrightarrow & (\lambda a_{r1})s_1+\cdots+(\lambda a_{rn})s_n=\lambda b_r.\end{array}$

Así, las soluciones de ambos sistemas coinciden.

$3)$ Sea $e$ la operación que suma al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $t$, con $\lambda \in \mathbb R.$

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación $r.$ Pero $S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$ cumple que:

$\begin{array}{ll}a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n&=b_r\\ a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n&= b_t\end{array}$

si y sólo si

$\begin{array}{ll}(a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n)+\lambda (a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n)&=b_r + \lambda b_t\\ a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n&= b_t\end{array}$

si y sólo si

$\begin{array}{ll}(a_{r1}+\lambda a_{t1})s_1+\cdots+(a_{rn}+\lambda a_{tn})s_n&=b_r + \lambda b_t\\ a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n&= b_t\end{array}$

y por lo tanto las soluciones son las mismas.

Tarea Moral

$1.$ Determina si los siguientes sistemas son lineales. Para aquellos que lo sean expresa al sistema en forma matricial $AX=B$, encuentra una solución y expresa a $B$ como combinación lineal de las columnas de $A$.

$i)$

$\begin{align*} 3x+y &=1\\ -5x+y &=0 \end{align*}$

$ii)$

$\begin{align*} -7\frac{1}{x}-\frac{1}{y} &=1\\ -\frac{1}{x}+6\frac{1}{y} &=0\end{align*}$

$iii)$

$\begin{align*} x-3yz-2xz &=8 \end{align*}$

$iv)$

$\begin{align*} 2x+3y-4z+w &=9\\ y+5z &=1 \end{align*}$

$2.$ ¿Qué ocurre con la última columna de la matriz aumentada de un sistema homogéneo al escalonar la matriz? ¿Es necesario escribir esa última columna al realizar el procedimiento que estudiamos para resolver un sistema homogéneo?

$3.$ Considera a un sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$. Sea $S_p$ una solución particular del sistema y $S_o$ una solución al sistema $AX=0$.

$i)$ ¿Qué puedes decir de $S_o+S_p$?

$ii)$ ¿Cualquier solución de $AX=B$ será la suma de $S_p$ con alguna solución del sistema $AX=0$?

Más adelante

En la siguiente nota veremos ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones, los caracterizaremos de acuerdo a si tiene o no solución y al número de soluciones.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 37. El rango de una matriz.

Enlace a la nota siguiente. Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La propiedad multiplicativa del determinante establece que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz. En otras palabras, si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas de igual tamaño, entonces el determinante de su producto $AB$ es igual al producto de los determinantes de $A$ y $B$, es decir:

$det\,AB = det\,A\, det\,B.$

La propiedad multiplicativa del determinante es muy útil en muchos problemas de álgebra lineal, ya que permite calcular el determinante de una matriz grande dividiéndola en submatrices más pequeñas, calculando los determinantes de cada submatriz y utilizando esta propiedad para calcular entonces el determinante de la matriz completa.

Vamos a probar la propiedad multiplicativa del determinante primero cuando una de las matrices es elemental, es decir, probaremos que si $E$ es una matriz elemental, entonces:

$det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Después veremos que si $R$ es una matriz escalonada reducida por renglones se tiene que:

$det\,RB = det\,R\, det\,B,$

para finalmente justificar con ello el caso general.

Observación 1

Si $E$ es una matriz elemental:

• El determinante de $E$ es $-1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando dos renglones.
• El determinante de $E$ es $\lambda$ si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando un renglón por un escalar $\lambda$ no nulo.
• El determinante de $E$ es $+1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando a un renglón un múltiplo de otro.

Lema 3

Sean $E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental, entonces $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Demostración

$E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental.

Caso 1

Si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando los renglones $t$ y $s$, entonces $EB$ se obtiene de $B$ intercambiando los renglones $t$ y $s$, por la propiedad $3$ de determinantes vista en la nota 41 tenemos que:

$det\,EB=-det\,B=(-1)det\,B $

y por la observación 1 $(-1)det\,B =det\,E\,det\,B$. Por lo tanto $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Caso 2

Si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}$, entonces $EB$ se obtiene de $B$ multplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}.$ Por la propiedad $2$ de determinantes tenemos que $det\,EB=\lambda\,detB$ y por la observación 1 $det\,E=\lambda$, así $det\,EB=det\,E\,det\,B.$

Caso 3

Si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, entonces $EB$ se obtiene de $B$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, así por la propiedad $5$ de determinantes $det\,EB=+1\,det\,B$ y por la observación $1$ tenemos que $det\,E=+1$ y así $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

$\square$

Observación 2

Si $R\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ es escalonada reducida, entonces $R=I_n$ o bien $R$ tiene al menos un renglón nulo.

Lema 4

Sean $R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida, se tiene que $det\,RB=det\,R\,det\,B.$

Demostración

$R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida

Caso 1

Si $R=I_n$ entonces:

$det\,RB=det\,I_nB=det\,B=det\,I_n\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Caso 2

Si $R$ tiene al menos un renglón nulo, tenemos que $RB$ tiene al menos un renglón nulo, y por la propiedad $6$ $det\,R=0=det\,RB$, así:

$det\,RB=0=0\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Teorema

Sean $A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Se tiene que $det\,AB=det\,A\,det\,B.$

Demostración

$A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$ Sabemos que $A\sim R$ con $R$ escalonada reducida, entonces $A=E_t\cdots E_1 R$, con $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales. Así:

$det\,AB=det\,E_t\cdots E_1 R B$

Por el lema $3$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 det\,R B$

y por el lema $4$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1\,det\,R\,det\,B.$

Por el lema $3$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 R\,det\,B$

y aplicando sucesivamente el lema $3$ obtenemos:

$det\,AB=det\,E_t E_{t-1}\cdots E_1 R\, det\, B.$

Concluimos que:

$det\,AB=det\,A\,det\,B$

$\square$

Observación 3

Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)\,\,A\sim R$, con $R$ escalonada reducida. Tenemos que $det\,A\neq 0$ si y sólo si $det\,R\neq 0$.

Demostración

Las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor $\lambda\neq 0$, así $det A$ y $det R$ sólo difiere por un factor $\lambda\neq 0$, es decir $det R=\lambda det R$ con $\lambda\neq 0$, por lo cual $det\,R\neq 0$ si y sólo si $det\,A\neq 0$.

$\square$

Teorema

Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$1.$ Los renglones de $A$ forman un conjunto linealmente independiente en $\mathbb R^n$.

$2.$ $rk\,A=n$.

$3.$ $A\sim I_n$.

$4.$ $A$ tiene inversa.

$5.$ $det\,A\neq 0$

Demostración

Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$

$1\Longrightarrow2$ Supongamos que los renglones de $A$ forman un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Entonces como son $n$ vectores $l.i$ en $\mathbb R^n$ son una base de $\mathbb R^n$ y así el espacio de renglones de $A$ es $\mathbb R^n$ que tiene dimensión $n$ y por lo tanto $rk\,A=n.$

$2\Longrightarrow3$ Supongamos $rk\,A=n$. Entonces al escalonar $A$ se obtiene una matriz reducida $R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $n$ renglones no nulos. Por la observación $2$ sabemos que $R=I_n$, y así $A\sim I_n$.

$3\Longrightarrow4$ Supongamos que $A\sim I_n$ entonces $A=E_t\cdots E_1 I_n$ con $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales (que son invertibles). Así $A$ es producto de matrices invertibles y es por lo tanto invertible con $A^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_t^{-1}.$

$4\Longrightarrow5$ Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=I_n$, así $1=det\,I_n=det\,AA^{-1}=det\,A\,det\,A^{-1}$. En particular $det\,A\neq 0$.

$5\Longrightarrow1$ Supongamos que $det\,A\neq 0$. Sea $R$ la matriz escalonada tal que $A\sim R$. Por la observación $3$ tenemos que $det\,R\neq 0$ y entonces $R$ no puede tener renglones nulos, usando la observación $2$ tenemos que $R=I_n$. Dado que $rk \,A=rk \,R=rk \,I_n,$ entonces el rango de $A$ es $n$, y así la dimensión del espacio de renglones de $A$ es $n$. Concluimos entonces que los $n$ renglones de $A$ deben formar un conjunto $l.i.$

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Analiza si las matrices diagonales y triangulares superiores son invertibles.

$2.$ ¿Para que valores de $k$, si es que existen la matriz $C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} k & -3 & 9\\ 2 & 4 & k+1\\ 1 & k^2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ es invertible?

$3.$ ¿Qué condiciones se deben pedir a $a,b,c$ para que la matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right) \end{equation*}$ sea invertible?

Más adelante

Con esta entrada se terminan las notas del curso de Álgebra Superior I impartido por la Dra. Diana Avella Alaminos.

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Enlace a la nota anterior. Nota 42. Formula para obtener el determinante.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El cálculo del determinante de una matriz es una operación fundamental en la teoría de matrices y álgebra lineal. El método de los menores o cofactores es una técnica utilizada para calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier tamaño.

El método se basa en la expansión del determinante a lo largo de una fila o columna de la matriz. Para cada elemento de esa fila o columna, se calcula su «menor», que es el determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila y columna correspondientes al elemento en cuestión. Luego, se multiplican estos menores por los signos positivos o negativos que se alternan en función de la posición del elemento en la matriz, para obtener los cofactores correspondientes.

Finalmente, se suman estos productos para obtener el determinante de la matriz original. Este proceso puede ser repetido recursivamente para calcular el determinante de cualquier submatriz de la matriz original.

El método de los menores o cofactores puede ser un poco tedioso para matrices grandes, pero es una herramienta poderosa para calcular determinantes de matrices de cualquier tamaño y puede usarse junto con las propiedades que hemos estudiado de los determinantes para facilitar el cálculo de los mismos.

Ve el siguiente video con las demostraciones de los dos lemas.

Definición

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\,i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$ Denotamos por $A(i\mid j)$ a la matriz $(n-1)\times (n-1)$ que se obtiene de $A$ quitando el renglón $i$ y la columna $j$. El menor $i,j$ de $A$ es el determinante de $A(i\mid j).$

Ejemplo

Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}$ y $A(1\mid 2)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}.$

El menor $1,2$ de $A$ es $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}=-5.$

$A(2\mid 3)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}$, el menor $2,3$ de $A$ es $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}=8.$

Lema 1

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que $a_{n1}=\cdots=a_{nn-1}=0$, entonces $det\,A=a_{nn}det\,A(n\mid n).$

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que $a_{n1}=\cdots=a_{nn-1}=0$.

Por definición de determinante tenemos que:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$

Como todos los elementos de la fila $n$ son cero salvo en $n$-ésimo entonces los únicos sumandos que pueden contribuir con algún valor no nulo son aquellos tales que $\sigma(n)=n$, así:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n, \sigma(n)=n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n-1\sigma(n-1)} a_{nn}.$

Factorizando $a_{nn}$ tenemos que:

$\det\,A=a_{nn}\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n, \sigma(n)=n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n-1\sigma(n-1)}.$

Pero cada $\sigma\in S_n$ tal que $\sigma(n)=n$ da lugar a una $\gamma\in S_{n-1}$, a saber $\gamma:\{1,2,\dots ,n-1\}\rightarrow\{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\gamma(i)=\sigma(i)$ para toda $i\in\{1,2,\dots ,n-1\}$, y recíprocamente, cada $\gamma\in S_{n-1}$ da lugar a una $\sigma\in S_{n}$ tal que $\sigma(n)=n$, a saber $\sigma:\{1,2,\dots ,n\}\rightarrow\{1,2,\dots ,n\}$ tal que $\sigma(i)=\gamma(i)$ para toda $i\in\{1,2,\dots ,n-1\}$ y $\sigma(n)=n$. Podemos reescribir lo anterior entonces como:

$\det\,A= a_{nn} \displaystyle\sum_{\gamma\in S_{n-1}}sgn\,\gamma\,a_{1\gamma(1)}\cdots a_{n-1\gamma(n-1)}$

y por definición de determinante tenemos que:

$det\,A=a_{nn}det\,A(n\mid n).$

$\square$

Lema 2

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\,i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$ Si todos los elementos del renglón $i$ de $A$ salvo quizás $a_{ij}$ son cero, entonces $det\,A=(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j).$

Al número $(-1)^{i+j}det\,A(i\mid j)$ se le conoce como el cofactor $i,j$ de $A$.

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\,i,j\in\set{1,\dotsc,n},\,\,a_{il}=0\,\,\forall l\neq j.$

Entonces todos los elementos del renglón $i$ de $A$ son cero salvo quizás $a_{ij}$, la matriz $A$ se ve de la siguiente forma (el renglón $i$ está marcador en rojo):

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Vamos a intercambiar renglones y columnas para llevar esta matriz a una del tipo de las requeridas en las hipótesis del lema 1.

Nuestro objetivo es transformar la matriz $A$ en una equivalente $A’$, que tenga en el último renglón ceros en todas sus entradas salvo en la última, y cuyo menor $n,n$ que es $det\,A'(n\mid n)$, sea igual al menor $i,j$ de $A$, es decir el determinante de la matriz que se obtiene de quitar el $i$-ésimo renglón y la $j$-ésima columna de $A$.

La matriz $A’$ es de la forma:

$A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j-1} & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} & a_{ij}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\ a_{i-11} & \cdots & a_{i-1j-1} & a_{i-1j+1} &\cdots & a_{i-1n} & a_{i-1j} \\ a_{i+11} & \cdots & a_{i+1j-1} & a_{i+1j+1} &\cdots & a_{i+1n} & a_{i+1j} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots &\vdots\\ a_{n1} & \cdots& a_{nj-1} & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} & a_{nj} \\ \colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$}&\colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Observa que para llegar a $A’$, movimos primero el renglón $i$ de $A$ $n-1$ veces, intercambiándolo con cada uno de los renglones subsecuentes, y después intercambiando la columna $j$ de la matriz obtenida $n-j$ veces con las columnas subsecuentes.

Por la propiedad $3$ de la nota anterior tenemos que:

$det\,A=(-1)^{(n-i)+(n-j)}det\,A’.$

Desarrollando tenemos que:

$det\,A=(-1)^{2n-(i+j)}det\,A’=(-1)^{2n}(-1)^{-(i+j)}det\,A’$

y dado que $(-1)^{2n}=1$ y que $(-1)^{-(i+j)}=\frac{1}{(-1)^{i+j}}=(-1)^{i+j}.$

Obtenemos por el lema 1 que:

$det\,A=(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j).$

$\square$

Teorema

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ se tiene que:

$det\,A=(-1)^{i+1}a_{i1}det\,A(i\mid 1)+(-1)^{i+2}a_{i2}det\,A(i\mid 2)+\cdots+(-1)^{i+n}a_{in}det\,A(i\mid n).$

O bien

$det\,A=(-1)^{1+j}a_{1j}det\,A(1\mid j)+(-1)^{2+j}a_{2j}det\,A(2\mid j)+\cdots+(-1)^{n+j}a_{nj}det\,A(n\mid j).$

Ve el siguiente video de la demostración del teorema

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$

Vamos a considerar el renglón $i$, y pensaremos que en cada término $a_{ij}$ aparece una suma de $n$ términos, $n-1$ son ceros y el otro $a_{ij}$ en el sumando $j$-ésimo. Así vamos a escribir $A$ como:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$a_{i1}+0+\cdots+0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0+\cdots+a_{ij}+\cdots+0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0+\cdots+0+a_{in}$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Desde esta perspectiva podemos visualizar al renglón $i$ como la suma de los siguientes $n$ vectores:

$(a_{i1},0,\dotsc,0),(0,a_{i2},0,\dotsc,0),\dotsc, (0,\dotsc,0,a_{in}).$

Consideraremos ahora para cada renglón $i$, una matriz que tiene los mismos renglones que $A$, excepto en el $i$-ésimo renglón, en el que tendremos precisamente al vector $i$-ésimo de la lista anterior.

Recordemos la propiedad uno de determinantes vista en la nota 41 que nos dice que: Si $R_t^{\prime}$ y $R_t^{\prime\prime}$ son los renglones $t$ de $A’$ y $A^{\prime\prime}$ respectivamente, el renglón $t$ de $A$ es $R_t^{\prime}+R_t^{\prime\prime}$, y el resto de los renglones de $A, A’$ y $ A^{\prime\prime}$ coinciden, entonces $det\,A=det\,A’+det\,A^{\prime\prime}.$ Gracias a dicha propiedad obtenemos que:

$detA=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$a_{i1}$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+\cdots+$ $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+\dotsc+$ $\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{in}$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Y así por el lema 2 obtenemos que:

$det\,A=(-1)^{i+1}a_{i1}det\,A(i\mid 1)+\cdots+(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j)+\cdots+(-1)^{i+n}a_{in}det\,A(i\mid n).$

La prueba es análoga para las columnas.

$\square$

Ejemplos

$1.$ Considera la matriz $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 8 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 0 & 2 \\ 3 & 8 & 9 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\ 9 & 0 & 11 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Vamos a desarrollar su determinante. Conviene al desarrollar hacerlo por los renglones o columnas que tengan muchos ceros, vamos a desarrollar por la cuarta columna.

$det\,A=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 8 & \colorbox{Red}{$0$} & 4 \\ 5 & 0 & 13 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 3 & 8 & 9 & \colorbox{Red}{$5$} & 7 \\ 0 & 0 & -2 & \colorbox{Red}{$0$} & 0\\ 9 & 0 & 11 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Según el teorema tenemos que:

$det\,A=(-1)^{1+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(1\mid 4)+(-1)^{2+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(2\mid 4)+(-1)^{3+4}\,\colorbox{Red}{$5$}\,det\,A(3\mid 4)+(-1)^{4+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(4\mid 4)+(-1)^{1+5}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A(5\mid 4).$

Eliminando los términos con cero obtenemos que:

$det\,A=(-1)^{3+4}\,5\,det\,A(3\mid 4)=5\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Al desarrollar los términos con ceros no aportan a la suma, este nuevo determinante lo vamos a desarrollar por el tercer renglón que también tiene muchos ceros, sea: $A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$-2$} & \colorbox{Red}{$0$} \\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Vamos a considerar su determinante

$det\,A’=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$-2$} & \colorbox{Red}{$0$} \\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Desarrollando por el tercer renglón, según el teorema tenemos que:

$det\,A’=(-1)^{3+1}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A'(3\mid 1)+(-1)^{3+2}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A'(3\mid 2) +(-1)^{3+3}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\,A'(3\mid 3)+(-1)^{3+4}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A'(3\mid 4)$

Eliminando los términos con ceros tenemos que:

$det\,A’=(-1)^{3+3}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\,A'(3\mid 3)=-2\,det\,A'(3\mid 3)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \\ 9 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Y como $det\,A=5\,det\,A’=(5)(-2)\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \\ 9 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Sea $A^{\prime\prime}=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & \colorbox{Red}{$-2$} & 4 \\ 5 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 9 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Obtenemos su determinante desarrollándolo por la segunda columna

$det\,A^{\prime\prime}=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & \colorbox{Red}{$-2$} & 4 \\ 5 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 9 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}= (-1)^{1+2}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) + (-1)^{2+2}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\, A^{\prime\prime} (2\mid 2) + (-1)^{3+2}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\, A^{\prime\prime} (3\mid 2)$.

Eliminando los términos con cero tenemos que:

$det\,A^{\prime\prime} = (-1)^{1+2}\,\colorbox{Red}{$-2$}\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) =2\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) = 2\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Y como $det\,A=(-5)(-2)det\,A^{\prime\prime}$ obtenemos que:

$det\, A= (-5)(-2)(2)\,det\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}=(-5)(-2)(2)[5-18]=(-5)(-2)(2)(-13)=-260$

Para el siguiente ejemplo tienes que tener el consideración las siguientes propiedades de determinantes vistos en la nota anterior.

$2.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ multiplicando el renglón $t$ por $\lambda$, entonces:

$det\,A=\lambda det\,A’.$

$3.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ intercambiando dos renglones, entonces:

$det\,A=- det\,A’.$

$5.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ sumando a un renglón un múltiplo de otro, entonces:

$det\,A= det\,A’.$

Esto es por que es mucho mas fácil obtener el determinante de una matriz escalonada reducida.

Considera la matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$

	Explicación de las igualdades y operaciones elementales
$det\,A=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2+5R_1$ $R_3\to R_3+2R_1$ $R_4\to R_4+3R_1$
$=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 10 & 6 & 3 \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $\frac{1}{10} R_3$
$=10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	La multiplicación por 10 se da por la propiedad 2. Efectúa la operación elemental: $R_2\leftrightarrow R_3$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	El cambio de signo es por la propiedad 3. Efectúa las operaciones elementales: $R_3\to R_3+(-2)R_2$ $R_4\to R_4+(-18)R_2$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 0 & -4 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{4}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $R_4\to R_4+(-\frac{1}{5})R_2$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 0 & -4 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5.
$=-10(-1)(1)(-4)(-\frac{1}{2})=20$	Por ser una matriz diagonal inferior su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Pruébalo de tarea moral.

Tarea Moral

$1.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si $A_{ij}=0$ para $i\neq j$. Por otro lado una matriz cuadrada $A$ es triangular superior si $A_{ij}=0$ para $i>j$. De acuerdo a la definición del determinante.

$i)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz diagonal?

$ii)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior?

$2.$ Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right) \end{equation*},$ calcula los menores $3\ 4$ y $1\,1$ de $A$.

$3.$ Calcula el determinante de $A,B,C.$

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 8 & 2 & -1\\ -3 & 4 & -6\\ 1 & 7 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$

$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -3 & 4 & 6 \\ -2 & 4 & 1 & 7\\ 3 & -1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 7 \end{array}\right) \end{equation*}$

$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} k & -3 & 9\\ 2 & 4 & k+1\\ 1 & k^2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$

$4.$ Considera la matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right) \end{equation*}$

¿Cómo es su determinante en términos de $a,b,c$?. ¿Cómo generalizarías el resultado para matrices $n\times n$?

Más adelante

En la siguiente nota veremos la propiedad multiplicativa que tiene el determinante, así como condiciones del determinante para saber si una matriz es invertible.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Enlace a la nota siguiente. Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota deduciremos propiedades importantes que tienen los determinantes, para ello usaremos la definición dada en la nota anterior. Sería conveniente que, si no lo has hecho, revisaras los ejemplos de la nota anterior para que sea más natural su deducción.

Propiedades

Sean $A, A’, A^{\prime\prime}\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\lambda\in \mathbb{R}.$

$1.$ Si $R_t^{\prime}$ y $R_t^{\prime\prime}$ son los renglones $t$ de $A’$ y $A^{\prime\prime}$ respectivamente, el renglón $t$ de $A$ es $R_t^{\prime}+R_t^{\prime\prime}$, y el resto de los renglones de $A, A’$ y $ A^{\prime\prime}$ coinciden, entonces:

$det\,A=det\,A’+det\,A^{\prime\prime}.$

$2.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ multiplicando el renglón $t$ por $\lambda$, entonces:

$det\,A=\lambda det\,A’.$

$3.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ intercambiando dos renglones, entonces:

$det\,A=- det\,A’.$

$4.$ Si $A$ tiene dos renglones iguales, entonces:

$det\,A=0.$

$5.$ Si $A$ se obtiene de $A’$ sumando a un renglón un múltiplo de otro, entonces:

$det\,A= det\,A’.$

$6.$ Si $A$ tiene un renglón de ceros, entonces:

$det\,A=0$

$7.$ $det\,A^t=det\,A.$

Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades $1$ y $2$:

Demostración de las propiedades

Sean $A, A’, A^{\prime\prime}\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R),\,\lambda\in \mathbb{R}.$

Demostración de la propiedad 1

Supongamos que $a_{ij}=a_{ij}^{\prime}=a_{ij}^{\prime\prime}$ para todo $i\neq t$ y para todo $j$, supongamos también que $a_{tj}=a_{tj}^{\prime}+a_{tj}^{\prime\prime}$ para todo $j$. Por definición de determinante:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{t\sigma(t)}\cdots a_{n\sigma(n)},$

y entonces por hipótesis $a_{t\sigma(j)}=a_{t\sigma(j)}^{\prime}+a_{t\sigma(j)}^{\prime\prime}.$

Y así:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots ( a_{t\sigma(j)}^{\prime}+a_{t\sigma(j)}^{\prime\prime} )\cdots a_{n\sigma(n)}.$

Aplicando la propiedad distributiva tenemos que:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{t\sigma(t)}^{\prime}\cdots a_{n\sigma(n)} + \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{t\sigma(t)}^{\prime\prime}\cdots a_{n\sigma(n)}$

y por hipótesis $a_{ij}=a_{ij}^{\prime}=a_{ij}^{\prime\prime}$ para todo $i\neq t$ y para todo $j$, por lo tanto:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}^{\prime}\cdots a_{t\sigma(t)}^{\prime}\cdots a_{n\sigma(n)}^{\prime} + \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}^{\prime\prime}\cdots a_{t\sigma(t)}^{\prime\prime}\cdots a_{n\sigma(n)}^{\prime\prime}.$

Entonces por definición determinante tenemos que:

$det\,A=det\,A’+det\,A^{\prime\prime}.$

Demostración de la propiedad 2

Supongamos que $a_{ij}=a_{ij}^{\prime}$ para toda $ i\neq t$ y para toda $ j$, y que $a_{tj}=\lambda a_{tj}^{\prime}$ para toda $j$.

Por definición de determinante tenemos que:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{t\sigma(t)}\cdots a_{n\sigma(n)}$

pero, por hipótesis, $a_{t\sigma(j)}=\lambda a_{t\sigma(j)}^{\prime}$, así:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots \lambda a_{t\sigma(j)}^{\prime}\cdots a_{n\sigma(n)}.$

También por hipótesis $a_{ij}=a_{ij}^{\prime}$ para toda $i\neq t$, entonces:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}^{\prime}\cdots \lambda a_{t\sigma(j)}^{\prime}\cdots a_{n\sigma(n)}^{\prime},$ y conmutando $\lambda$:

$\det\,A= \lambda \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}^{\prime}\cdots a_{t\sigma(j)}^{\prime}\cdots a_{n\sigma(n)}^{\prime},$

entonces por definición:

$det\,A=\lambda det\,A’.$

Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades $3$ y $4$

Demostración de la propiedad 3

Supongamos que $A$ se obtiene de $A’$ intercambiando los renglones $t$ y $s$.

Por definición tenemos que:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{t\sigma(t)}\cdots a_{s\sigma(s)}\cdots a_{n\sigma(n)}$

Al intercambiar los renglones $t$ y $s$ tenemos que:

$a_{t\sigma(t)}=a_{s\sigma(t)}^{\prime}$ y $a_{s\sigma(s)}=a_{t\sigma(s)}^{\prime}$, y además $a_{i\sigma(i)}=a_{i\sigma(i)}^{\prime}$ para toda $i$ distinta de $t$ y de $s$.

Entonces:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}^{\prime}\cdots a_{s\sigma(t)}^{\prime}\cdots a_{t\sigma(s)}^{\prime}\cdots a_{n\sigma(n)}^{\prime}$

Observa que la permutación $\gamma = \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrrrr} 1 & \cdots & t & \cdots & s & \cdots & n\\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(s) & \cdots & \sigma(t) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right) \end{equation*}$ es muy parecida a $\sigma$ salvo en su evaluación en $t$ y en $s$. De modo más preciso $\tau\circ \sigma=\gamma$, con $\tau$ la transposición que intercambia a $\sigma(t)$ y a $\sigma(s)$. Entonces difieren sólo en una transposición y por lo tanto $sgn\,\sigma=-sgn\,\gamma$. Vamos a reescribir el determinante en términos de la permutación $\gamma$, y entonces:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\gamma\in S_n} – sgn\,\gamma\,a_{1\gamma(1)}^{\prime}\cdots a_{s\gamma(s)}^{\prime}\cdots a_{t\gamma(t)}^{\prime}\cdots a_{n\gamma(n)}^{\prime},$

entonces por definición tenemos que:

$det\,A=- det\,A’.$

Demostración de la propiedad 4

Supongamos que $A$ tiene iguales los renglones $t$ y $s$. Sea $A’=A$, al intercambiar los renglones $t$ y $s$ de $A’$ obtenemos $A$, por la propiedad $3$ tenemos que:

$det\,A=- det\,A’=-det\,A$, entonces $det\,A=-det\,A$. Así, $2det\,A=0$ y por lo tanto:

$det\,A=0$.

Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades $5,6,7.$

Demostración de la propiedad 5

Supongamos que $A$ se obtiene de $A’$ sumando al renglón $s$, $\lambda$ veces el renglón $t.$

Entonces si:

$A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} & && \cdots & && a_{1n}^{\prime}\\ \vdots & && \cdots & && \vdots\\a_{t1}^{\prime} & && \cdots & && a_{tn}^{\prime}\\ \vdots & && \cdots & && \vdots\\ a_{s1}^{\prime} & && \cdots & && a_{sn}^{\prime}\\ \vdots & && \cdots & && \vdots\\ a_{n1}^{\prime} & && \cdots & && a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Entonces $A$ es:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} & &&\cdots &&& a_{1n}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots && &\vdots\\ a_{s1}^{\prime}+\lambda a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{sn}^{\prime}+\lambda a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{n1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Así por la propiedad $1$ tenemos que:

$detA=$ $det \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} & &&\cdots &&& a_{1n}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots && &\vdots\\ a_{s1}^{\prime}+\lambda a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{sn}^{\prime}+\lambda a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{n1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*}$ $=det \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{1n}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{s1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{sn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{n1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+det \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{1n}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ \lambda a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& \lambda a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{n1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*},$

y por la propiedad $2$ tenemos que:

$det\,A=$ $det \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{1n}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{s1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{sn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{n1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+$ $\lambda det \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{1n}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{n1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*},$

y como la matriz que aparece en el segundo sumando tiene dos renglones repetidos, su determinante es cero. Por lo tanto:

$det\,A=$ $det \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{1n}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\a_{t1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{tn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{s1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{sn}^{\prime}\\ \vdots &&& \cdots &&& \vdots\\ a_{n1}^{\prime} &&& \cdots &&& a_{nn}^{\prime} \end{array}\right) \end{equation*}=det A’$

Demostración de la propiedad 6

Si el renglón $t$ de $A$ es un renglón de ceros, al multiplicar el renglón $t$ por cero obtenemos $A$, así por la propiedad $2$:

$det\,A=0det\,A=0.$

Observación

Sea $\sigma\in S_n,\,\,sgn\,\sigma=sgn\,\sigma^{-1}$ ya que si $\sigma=\tau_m\circ\cdots\circ\tau_1$ es un producto de transposiciones entonces tenemos que $\sigma^{-1}=\tau_1\circ\cdots\circ\tau_m.$

Demostración de la propiedad 7

Sea $A^t=(b_{ij})$, entonces de la definición de determinante

$\det\,A^t=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,b_{1\sigma(1)}\cdots b_{n\sigma(n)}.$

Por la definición de transpuesta tenemos que $b_{i\sigma(i)}=a_{\sigma(i)i}$ para toda $i$, entonces:

$\det\,A^t=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}.$

Por la observación tenemos que:

$\det\,A^t=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma^{-1} \,a_{\sigma(1)\sigma^{-1}(\sigma(1))}\cdots a_{\sigma(n)\sigma^{-1}(\sigma(n))}.$

Observemos que cada factor $a_{\sigma(i)\sigma^{-1}(\sigma(i))}$, es de la forma $a_{j\sigma^{-1}(j)}$ con $j\in\{1,2,\dots ,n\}$, entonces reacomodando dichos factores en orden creciente de acuerdo al valor de $j$ tenemos:

$\det\,A^t=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma^{-1}\,a_{1\sigma^{-1}(1)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}.$

Si denotamos $\gamma=\sigma^{-1}$, al reescribir en términos de $\gamma$ tenemos que:

$\det\,A^t=\displaystyle\sum_{\gamma\in S_n}sgn\,\gamma\,a_{1\gamma(1)}\cdots a_{n\gamma(n)}=\det\,A.$

$\square$

Gracias a la propiedad 7 tenemos que:

Corolario

Todas las propiedades antes mencionadas de renglones se cumplen también para las columnas.

Tarea Moral

$1.$ Resuelve los siguientes incisos:

$i)$ Sean $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} e & f \\ c & d \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} a+e & b+f \\ c & d \\ \end{array}\right) \end{equation*}.$

Si $det\,A=7$ y $det\,B=\pi$. ¿Cuánto es el determinante de $C$?

$ii)$ Sean $B_1=\begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} a_{11} & 0 \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $B_2=\begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} 0 & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array}\right) \end{equation*}$ y $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array}\right) \end{equation*}$. Calcula el determinante de $A$ en términos de los determinantes de $B_1$ y $B_2$.

$iii)$ ¿Cómo podrías generalizar el resultado del inciso anterior a matrices de $n\times n$?

$2.$ Sean $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ y $\lambda \in \mathbb R$. ¿Cómo es el determinante de $\lambda A$ en términos del determinante de $A$?

$3.$ Sean $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right) \end{equation*}$ y $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{array}\right) \end{equation*}.$

¿Cómo es el determinante de $B$ comparado con el determinante de $A$?

$4.$ Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Si un renglón de $A$ es múltiplo de otro. ¿Qué ocurre con el determinante de $A$?

Más adelante

En la siguiente nota deduciremos una fórmula para el calculo del determinante.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 40. Determinantes.

Enlace a la nota siguiente. Nota 42. Formula para obtener el determinante.