Sucesiones $\mathbb{R}$

Por Angélica Amellali Mercado Aguilar

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Introducción

Definición.Una sucesión en $\mathbb{R}^{n}$ es cualquier lista infinita de vectores en $\mathbb{R}^{n}$ $\overline{x_{1}},\overline{x_{2}},…,\overline{x_{k}},…$ algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión $\overline{x_{1}},\overline{x_{2}},…,\overline{x_{k}},…$ se define de manera natural una función de los enteros positivos $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}^{n}$ tal que a cada entero positivo $k$ se le asigna un vector $\overline{x_{k}}\in \mathbb{R}^{n}$
A la colección ordenada de los elementos de una sucesión la denotaremos

$$\left\{ \overline{x}_{k}\right\} _{k=1}^{\infty },\left\{\overline{x}_{k}\right\}$$

Ejemplo. Considerando el espacio $\mathbb{R}^{2}$ sea la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ dada por $\overline{x_{k}}=\left(k,\frac{1}{k}\right)$ cuyos elementos podemos listar como sigue:

$$\left\{(1,1),\left(2,\frac{1}{2}\right),\left(3,\frac{1}{3}\right),…\right\}$$

Considerando la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}\in \mathbb{R}^{n}$. Cada vector $\overline{x_{k}}\in \left\{\overline{x_{k}}\right\}$ esta dado de la siguiente manera:

$$\overline{x_{k}}=\left(x_{1,k},x_{2,k},…,x_{n,k}\right)$$

Es decir, dicho vector define de manera natural $n$ sucesiones $\left\{\overline{x}\right\}$ en $\mathbb{R}$ , las cuales, llamaremos sucesiones componentes o sucesiones proyección, así, la primera sucesión componente del ejemplo anterior es: $\left\{x_{1,k}\right\}=k$ y la segunda sucesión proyección del ejemplo anterior es $\left\{x_{2,k}\right\}=\frac{1}{k}$

Ejemplo. Sea la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ dada por $\overline{x_{k}}=\left(\frac{k+1}{k+2},\frac{1}{2^{k}}\right)$ cuyas sucesiones componentes son:

$$\overline{x_{1_{k}}}=\left(\frac{k+1}{k+2}\right)\quad \overline{x_{2_{k}}}=\left(\frac{1}{2^{k}}\right)$$

Ejemplo. Sea la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{1}^{\infty}$ dada por $\overline{x_{k}}=\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k},\sqrt[k]{k},\sqrt[k]{\frac{1}{k}}\right)$ cuyas sucesiones componentes son:

$$\overline{x_{1_{k}}}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\quad \overline{x_{2_{k}}}=\sqrt[k]{k}\quad \overline{x_{3_{k}}}=\sqrt[k]{\frac{1}{k}}$$

Convergencia de Sucesiones en $\mathbb{R}^{n}$}}$

Definición. Una sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ en $\mathbb{R}^{n}$ se dice que converge a un vector $\overline{x}$ en $\mathbb{R}^{n}$ si $$\forall\quad \epsilon>0\quad \exists\quad N_{0}\in\mathbb{N}\quad tal\quad que \quad |\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon\quad \forall k>N_{0}$$
En este caso diremos que la sucesión es convergente y que $\overline{x}$ es el limite de la sucesión y escribimos $$\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}=\overline{x}$$

Proposición. Unicidad del Limite: Consideremos una sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ en $\mathbb{R}^{n}$ y sean $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$ tal que $$\overline{x}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}\quad y \quad \overline{y}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}$$ entonces $\overline{x}=\overline{y}$

Demostración. Supongamos que $\overline{x}\neq\overline{y}$ y tomemos $\epsilon=\frac{1}{2}|\overline{x}-\overline{y}|>0$.Por definición $\overline{x}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}$ por lo que $\exists N_{0_{x}} \in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ para $k>N_{0_{x}}$ y analogamente se tiene que $\overline{y}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}$ por lo que $\exists N_{0_{y}} \in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{y}|<\epsilon$ para $k>N_{0_{y}}$. Sea ahora $N_{0}=m\acute{a}x\left\{N_{0_{x}},N_{0_{y}}\right\}$ entonces se cumple simultaneamente que $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ y $|\overline{x_{k}}-\overline{y}|<\epsilon$ para $k>N_{0}$ $\therefore$ $$|\overline{x}-\overline{y}|=|\overline{x}-\overline{x_{k}}+\overline{x_{k}}-\overline{y}|\leq |\overline{x}-\overline{x_{k}}|+|\overline{x_{k}}-\overline{y}|<2\epsilon=2\left(\frac{1}{2}|\overline{x}-\overline{y}|\right)=|\overline{x}-\overline{y}|(falso)$$ $\square$

Proposición. Sea $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión en $\mathbb{R}^{n}$ y sean $${\overline{x_{1_{k}}}}_{1}^{\infty}=(x_{1_{1}},x_{1_{2}},…)$$ $${\overline{x_{2_{k}}}}_{1}^{\infty}=(x_{2_{1}},x_{2_{2}},…)$$ $$\vdots$$ $${\overline{x_{n_{k}}}}_{1}^{\infty}=(x_{n_{1}},x_{n_{2}},…)$$ las sucesiones componentes de la sucesión ${\overline{x_{k}}}_{1}^{\infty}$. Entonces la sucesión ${\overline{x_{k}}}_{1}^{\infty}$ converge a $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…)$ en $\mathbb{R}^{n}$ si y solo si para cada $j=1,2,…$ se tiene que $x_{n_{j}}$ converge a $x_{j}$.

Demostración. Supóngase que la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ converge a $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…)$ esto quiere decir que $\exists N_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ para $k>N_{0}$ y dado que $$0\leq|x_{j_{k}}-x_{j}|\leq|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$$ entonces se tiene que $$0\leq|x_{j_{k}}-x_{j}|<\epsilon$$ lo que significa que $$\lim_{k\rightarrow\infty}x_{j_{k}}=x_{j}$$
Reciprocamente, supongamos que para cada j $$\lim_{k\rightarrow\infty}x_{j_{k}}=x_{j}$$ lo que significa que
$$|x_{j_{k}}-x_{j}|<\frac{\epsilon}{n}$$
$$\therefore\quad 0\leq|\overline{x_{k}}-\overline{x}|\leq |x_{1_{k}}-x_{1}|+|x_{2_{k}}-x_{2}|+…+|x_{n_{k}}-x_{n}|<\frac{\epsilon}{n}+\frac{\epsilon}{n}+…+\frac{\epsilon}{n}=\epsilon$$
$$\therefore \quad \lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{j_{k}}}=\overline{x}$$

$\square$

Ejemplo. Consideremos la sucesión $\overline{x_{k}}=\left(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1}\right)$ tenemos que $$\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{1_{k}}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=0$$ $$\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{2_{k}}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{k}{k+1}= \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{k}{k}}{\frac{k}{k}+\frac{1}{k}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{k}}=1$$
$\therefore$ $\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}=(0,1)=\overline{x}$

Ahora para comprobarlo tenemos que $$\left\|\overline{x_{k}}-\overline{x}\right\|=\left\|\left(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1}\right)-(0,1)\right\|=\sqrt{\frac{1}{k^{2}}+\left(\frac{k}{k+1}-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}}<\sqrt{\frac{2}{k^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{k}$$ $$\therefore\quad \frac{\sqrt{2}}{k}<\epsilon\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{\epsilon}N_{0}\therefore \quad \left|\left(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1}\right)-(0,1)\right|<\epsilon$$

Definición. Deciimos que $A\subset \mathbb{R}^{n}$ es un conjunto acotado si y solo si $\exists M>0$ tal que $\forall \overline{a}\in A$ se cumple $|\overline{a}|\leq M$

Proposición. Sea $\left\{\overline{x}_{k}\right\}\subset \mathbb{R}^{n}$, si $\left\{\overline{x}_{k}\right\}$ converge, entonces $\left\{\overline{x}_{k}\right\}$ es acotada.

Si $\left\{\overline{x}_{k}\right\}$ converge entonces $\lim_{k\rightarrow \infty}\overline{x}_{k}=\overline{x}\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}x_{k,j}=x_{j} \forall j=1,…,n$ por lo tanto se tiene que $\left\{x_{k,j}\right\}$ es acotada y por tanto $\exists M_{j}>0$ tal que $|x_{k,j}|\leq M_{j}$ $\forall k$ $\therefore$ se tiene que $$\left\|\overline{x_{k}}\right\|\leq|x_{1,k}|+|x_{2,k}|+\cdot\cdot\cdot+|x_{n,k}|\leq n\cdot \max\left\{x_{k,j}\right\}=n \cdot M_{j}=M$$ $\therefore \left\{\overline{x}_{k}\right\}$ es acotada. $\square$

Teorema. Un subconjunto $A\subset \mathbb{R}^{n}$ es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Suponemos que A es cerrado. Sea $\overline{x}$ un punto de acumulación de A y suponemos que $\overline{x}\notin A$. Como $A^{c}$ es abierto y $\overline{x}\in A^{c}$ existe $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset A^{c}$ $\therefore$ $B(\overline{x},r)\cap A=\emptyset$ $\nabla$ pues $\overline{x}$ es punto de acumulaión de A.

( $\Leftarrow$ ) Supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulación. Sea $U=A^{c}$ queremos probar que $U$ es abierto. Sea $\overline{x}\in U$ como $\overline{x}$ no es de acumulación $\exists r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\cap A=\emptyset$ $\therefore$ $B(\overline{x},r)\subset A^{c}$ $\therefore$ $A^{c}$ es abierto. $\square$

Teorema. Sea $A\subset \mathbb{R}^{n}$ y $\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$. Entonces, $\overline{x}$ es un punto de acumulación de $A$ si y solo si $\exists\left\{\overline{x}_{k}\right\}\in A$ con $\overline{x_{k}}\neq \overline{x}$ $\forall k$ tal que $\overline{x}_{k}\rightarrow \overline{x}$$

Demostración. Suponemos que $\overline{x}$ es punto de acumulación de $A$ entonces para cada $k \in \mathbb{N}$ $\exists$ $\overline{x_{k}}\in A\cap B(\overline{x},\frac{1}{k})$ con $\overline{x_{k}}\neq \overline{x}$ $\therefore$ $\overline{x_{k}}\rightarrow \overline{x}$
$\textcolor{Red}{\Leftarrow}$ Sea $B(\overline{x},r)$ como $\overline{x_{k}}\rightarrow \overline{x}$ $\exists k_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\overline{x_{k}}\in B(\overline{x},r)$ $\forall k>k_{0}$ $\therefore$ $\exists$ $\overline{x_{k}}\in A\cap B(\overline{x},r)$ $\therefore$ $\overline{x}$ es punto de acumulación. $\square$

Criterio de Convergencia de Cauchy

Definición. Sea ${\overline{x_{k}}}$ una sucesión de puntos de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que ${\overline{x_{k}}}$ es una sucesión de Cauchy si dado $\epsilon>0$ $\exists N_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x_{l}}|<\epsilon$ $\forall k,l\geq N_{0}$

Teorema. Una sucesión $\overline{x_{k}}\in \mathbb{R}^{n}$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy

Demostración. $\Rightarrow$ Suponemos que ${\overline{x_{k}}}\rightarrow \overline{x}$ $\therefore$ $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ $\forall k>N_{0}$. Se tiene entonces que $$|\overline{x_{k}}-\overline{x_{l}}|=|\overline{x_{k}}-\overline{x}+\overline{x}-\overline{x_{l}}|\leq |\overline{x_{k}}-\overline{x}|+|\overline{x}-\overline{x_{l}}|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ $\forall k,l>N_{0}$ $\therefore$ $\left\{\overline{x_{k}}\right\}$ es convergente. $\square$

Más adelante

Tarea Moral

Enlaces

Matemáticas Financieras: Tablas de amortización para créditos que combinan varios tipos de anualidades

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En este apartado por fin se va analizar el comportamiento de una tabla de amortización, así como su construcción haciendo uso de los temas que se han venido manejando, así mismo, se verán las diferentes combinaciones que pueden haber entre ellas.

Concepto y descripción

Como se ha estado haciendo mención en temas anteriores, se pueden hacer combinaciones de las diferentes anualidades que se han estado estudiando, cada una de ellas puede ser utilizada para resolver alguna eventualidad en particular, dependiendo del contexto que se trate, por ello es importante hacer notar que, también se pueden construir tablas de amortización que describen el comportamiento de los pagos de un crédito que por su naturaleza y diseño, en determinadas ocasiones es necesario hacer que se combinen entre ellos.

Para mostrar el proceso de construcción de ésta tabla de amortización, se hará a través del siguiente ejemplo:

La empresa del señor Juan, desea dar mantenimiento a su parque vehicular, para hacerlo solicita un crédito por un monto de \$35 mil pesos, y planea hacer el contrato dando un anticipo por la cantidad de \$8,400, el saldo que falta por pagar, tiene considerado liquidarla de la siguiente manera:

El banco que le otorgó un crédito de \$26,600, se los prestó a cambio de una tasa del 38% anual, y el señor Juan realizará pagos mensuales por un monto de \$1006.7136, los cuales irán incrementando el 2% en cada periodo, durante dos años y medio.

Sin embargo, al cabo de un año y medio la empresa del señor Juan, quiere re-negociar la deuda, para que el saldo que aún falta por pagar, lo pueda liquidar en pagos mensuales iguales, situación que le cuesta una penalización por parte del banco, de una tasa de interés del 3.3%.

El señor Juan necesita conocer la tabla de amortización bajo éstas condiciones.

Para poder construir la tabla de amortización que nos pide el problema, se requiere calcular primero:

La cantidad a la que asciende el pago de primera cuota, el cual queda determinado por la siguiente expresión:

$$X=\left(\frac{26600}{\left(1-\left(\frac{1.02}{1.0272}\right)^{30}\right)}\right)(0.0272-0.02)$$

$$X=\left(\frac{26600}{\left(1-(0.9929907)^{30}\right)}\right)(0.0072)$$

$$X=\left(\frac{26600}{\left(1-(0.8097572)\right)}\right)(0.0072)$$

$$X=\left(\frac{26600}{0.1902428}\right)(0.0072)$$

$$X=1006.713653$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Don Felipe quiera abrir una empresa de reparación de autos, para poder hacerlo solicita un crédito a un banco por la cantidad de dos millones y medio, el banco le cobra por dicho monto una tasa de interés del 1.5% mensual, y los planes del señor Felipe es poder pagarlo de la siguiente forma:

Lo realizará por 3 etapas. La primera consiste en diferir los pagos durante los primeros 3 meses, una vez transcurrido dicho tiempo, realizará 6 pagos de forma mensual y crecientes, iniciando una cantidad de \$100 mil pesos, los demás pagos se irán incrementando \20 mil pesos.

Durante la etapa 2, planea hacer 8 pagos mensuales iguales, de forma vencida, cada uno por la cantidad de \$180 mil pesos.

Por último, quiere hacer 5 pagos mensuales, los cuales irán decreciendo por una cantidad de \$15 mil pesos, y dará inicio con un pago por la cantidad de \$150 mil pesos. Una vez transcurridos 4 meses, planea hacer el último pago con el que quiere liquidar el monto que a ése momento falte.

Se requiere obtener la cantidad del último pago, así como la elaboración de la tabla de amortización.

Solución

El planteamiento gráfico de la solución a éste ejercicio se muestra a continuación:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 196.

a continuación, se muestra su respectiva tabla de amortización:

Elaboración propia, extraído de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 197.

Más adelante…

Hasta este momento se cuenta con las herramientas suficientes para aplicar los conocimientos sobre lo que son las anualidades y se ejemplificó la forma en que se pueden ir combinando, en el siguiente capítulo se abordará el tipo de tablas de amortización que involucran pagos de más anualidades, los cuales suelen presentarse en situaciones en las que las empresas tienen la necesidad de asentar ingresos adicionales por motivo de incremento en ventas, como lo son las temporadas navideñas, o alguna otra fecha que represente un ingreso adicional.

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Matemáticas Financieras: Compendio de conceptos y fórmulas

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Esta sección, está pensada para tener una forma de consulta rápida, en caso de que tengan duda en alguna fórmula o que se refiere cierto concepto, puede ser usada sólo como material de recordatorio.

Fundamentos de las matemáticas financieras

Modelo de interés simple

$$M=K(1+it)$$,

se caracteriza principalmente porque los intereses no generan intereses.

Modelo de interés y descuento, compuesto

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 92.
  • Tomar en cuenta que, la tasa de interés o de descuento debe ser la misma con la periodicidad (días, meses, bimestres, trimestres, años, etc.) con la que esté dado el tiempo.
  • Cuando se estén utilizando las tasas de interés $i^{(m)}$ ó tasas de descuento $d^{(m)}$, conocidas como tasas nominales, éstas siempre son manejadas en años, por lo que la periodicidad igual tendrá que ser en años.
  • Para representar tasas efectivas por m-ésimos de año, se usa la siguiente expresión:

$$\frac{i^{(m)}}{m}=i’=i_m$$

ó

$$\frac{d^{(m)}}{m}=d’=d_m$$

  • Cuando se da el caso en el que la persona que está invirtiendo, no es su deseo re-invertir los intereses, la ecuación queda de la siguiente forma:

$$\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^m-1$$

  • Recordar que en la ecuación $M=K e^{(\delta)(t)}$, la variable t, está dada en años.
  • Dos tasas de interés son equivalentes si y sólo si producen el mismo monto (o el mismo valor presente) en la misma cantidad de tiempo.

Tasas reales de interés

Valor del dinero está dado por:

$$V_t=\frac{V}{1+f}$$

Tasa de interés real estada dada por la siguiente ecuación:

$$i_r=\frac{1+i}{1+f} – 1$$

Ecuación de valor

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag.107.

Además, es necesario no olvidar que:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag.73.

Anualidades

Elaboración propia, basada en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 227.

De donde hay que tener en cuenta las siguientes reglas:

  • Las ecuaciones que aparecen en cada una de las filas número 5 y 6, valor presente y monto, el primer pago que realizan está representado por la letra p, los pagos posteriores crecen (ecuación de la fila 5) o decrecen (ecuaciones de la fila 6) aritméticamente, con una diferencia del valor Q.
  • Las ecuaciones de las filas del 1 al 6, son tasas de interés efectivas por periodo, donde n, representa el número de periodos. En la anualidad número 3, la variable m está dada en la misma medida que n.
  • La anualidad pagadera p veces al año, se usa una tasa de interés i’, la cual es efectiva por p-ésimo año. En esta situación hay que trabajar con su respectiva tasa de equivalencia; en caso de ser necesario.
  • En la anualidad continua, se tiene que usar una tasa de interés efectiva anual, de forma análoga, si es necesario, hay que calcular su tasa equivalente instantánea $\delta$ para aplicar de forma correcta la ecuación.
  • SI se llega a trabajar con varias anualidades, es necesario llevarlas a valor presente a una fecha de valuación.

Construcción de tablas de amortización

Amortización de créditos con pagos predeterminados

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 228.

Para calcular el cualquier renglón se usa:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 228.
  • Para ésta tabla se pueden hacer uso de cualquiera de las anualidades que se vieron a lo largo de éstas notas, dependiendo del tipo de crédito que se trate.
  • La tasa
  • La tasa de interés que se utiliza, tiene que ser efectiva por periodo
  • Cuando se trate de otorgar algún enganche o periodo de gracia o diferimiento, bastaría con agregar un renglón creo al inicio de la tabla.
  • Cuando se dé el caso en el que las tasas de intereses cambien en algún plazo de la vigencia del crédito, se puede agregar más columnas para hacer notar éste movimiento y registrarlo.
  • El saldo insoluto del último periodo siempre debe de dar cero.

Amortización de créditos con abonos fijos al capital

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 229.
  • La cantidad de los pagos fijos al capital, se calcular dividiendo al principio del periodo del saldo insoluto entre el número de pagos.
  • De igual forma que la tabla de amortización anterior, la tasa que se usa debe ser efectiva por periodo.
  • En caso de que los involucrados deseen hacer uso de una tasa de referencia, cada renglón podrá ser calcula una vez que se tenga ése dato.

Valuación de valores de renta fija

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 229.
  • Para que el comprador conozca el valor de compra o precio del bono, el inversionista fija la tasa de rendimiento, y luego se calcula el valor presente, con esto se determina el precio.
  • La tasa de rendimiento propuesta por el inversionista, deberá ser fija por la cantidad de periodos que se vayan a pagar los dividendos.
  • La cantidad que se paga por concepto de dividendos se calcula realizando el producto de gC, donde g representa un porcentaje del valor de redención para el cual se está usando la variable C. Hay una excepción en éste cálculo, y corresponde al caso en el de los bonos no redimibles, los cuales se calcular como porcentaje g de su valor nominal P
  • El valor de redención es determinado como un porcentaje de su valor nominal.
  • El precio del bono se incrementa si la tasa de rendimiento disminuye, y viceversa.

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Matemáticas Financieras: Bonos no redimibles

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Continuamos estudiando temas de valores de renta fija, en éste apartado toca analizar el comportamiento, la forma en que operan, así como sus características del tipo de bonos no redimibles.

Descripción

Los bonos no redimibles son aquellos valores que se caracterizan por no contar con una fecha fija de redención, esto quiere decir, la fecha en la que se pagará el valor valor de redención del valor. Este tipo de bonos pactan el pago de los dividendos pactando una tasa g, sobre el valor nominal de éste el cual será representado por P, y no sobre el valor de redención ya que no está determinada.

A continuación, en la siguiente imagen, se muestra el comportamiento de este tipo de bonos.

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 222.

Para mostrar su comportamiento práctico, se presenta el siguiente ejemplo:

Una persona quiere jubilarse, y planea invertir sus ahorros, así como su fondo de pensión (cantidad que asciende a 3 millones de pesos) en bonos que emitió el gobierno federal, con una vigencia de 5 años, un valor nominal de \$ 5 mil pesos cada uno, y que por concepto de pago de dividendos ofrece la cantidad de .72% mensualmente de forma vencida. Así mismo, promete un valor de redención la cantidad de 109%. Los bonos cuando se emiten salen al mercado con un valor de venta \$2500 y considera terminar de venderlos en 2 años, a un precio estimado de \$4,250. Además, quiere planea re-invertir los dividendos percibidos, a una tasa de 9.7%. Se quiere la valuación de éste valor.

Para poder valuar este tipo de bonos, se tiene que tener el dato de la cantidad de bonos que se pueden comprar con los recursos que posee la persona que se va a jubilar. Luego hay que calcular a uno de ésos bonos la cantidad que se espera recibir por concepto de dividendos, así como el rendimiento que darán al reinvertirlos.

Suponemos que la fecha de emisión de los bonos es el día de hoy 1° de abril de 2019, y la fecha en la que culmina la venta es el dia 1° de abril de 2021. Las tasas de interés que se espera ganar es del 8.6% durante el primer año y 9.7% corresponde al segundo año, que es la tasa con la que se va a realizar el cálculo de la valuación.

Para saber la cantidad de bonos que se puede adquirir se hace la siguiente operación:

$$\frac{3,000,000}{4250}=705.8823529$$

esto quiere decir que se pueden obtener una cantidad de 705 bonos con una cantidad sobran de \$3750.

La cantidad que se recibirá por concepto de pago de dividendos de forma mensual, se obtiene calculando:

$$[(5,000)(1.09)](0.0072)=\$39.24$$

Por los 2 años en los que piensa estar recibiendo dividendos se tienen 24 pagos de éstos, por lo que la cantidad con la cual estarían valuados cada bono se obtiene usando la siguiente ecuación:

$$M_{div}=39.24(0.86)^{12}+39.24(0.97)^{12}=6.4225+27.2263=33.6488$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. La empresa de hotelera de la Señora Martha, tuvo ganancias de \$6,780,000, y quiere invertirlos durante 2 años, pero solicita una asesoría para determinar qué opción le conviene más. Las opciones que tiene son las siguientes:

Abrir una cuenta en un banco y comprar dólares, que de acuerdo a la cantidad que posee y el valor del dólar el día de valuación es de \$20 pesos. Y de acuerdo a los analistas del banco le ofrecen una tasa del 2.65 pagadera mensual, durante 2 años

Solución

La cantidad de dólares que puede comprar son:

$$\frac{6,780,000}{20}=339000$$

$$M=339,000(1+\frac{0.0265}{12})^24$$

Más adelante…

Finalmente se llegó al último tema que abarca éstas notas, esperando que puedan facilitar el acceso a una mejor comprensión de los temas que hasta el momento se han expuesto. La siguiente entrada se trata de una pequeña recapitulación de todos las fórmulas principales, así como su conceptos de fórmulas con la finalidad de que también cuenten con una forma de hacer una consulta rápida sobre todo cuando aún no son nuevos en el aprendizaje de estos temas o cuando sólo quieren recordar alguna fórmula.

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Matemáticas Financieras: Bonos redimibles sin pago de dividendos

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En este tema, se abordará el tipo de bonos en los que no se realiza el pago de dividendos, analizando sus características, la forma en que operan en el mercado de valores.

Descripción

Los bonos redimibles sin pago de dividendos, son aquellos que como su nombre lo indica no hacen pago de dividendo, sin embargo; comparten la característica de otorgarle al inversionista una cantidad por el concepto de valor de redención, que al igual que los bonos redimibles con pago de dividendos, si el valor de redención es mayor que el valor nominal o de carátula, se dice que el bono se redime arriba de par, si es igual se dice que se redime a la par, y si el valor es menor, se dice que es debajo de par. De igual forma el valor de redención se determina en el contrato como un porcentaje del valor de carátula.

La forma en que opera éste tipo de bonos en el mercado es análoga a la vista en el tema anterior. A continuación, se muestra una gráfica que describe su comportamiento:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 218.

Este tipo de bonos tiene además la característica de poder tener una duración de años. Su valor de compra lo fija el comprador a través de una tasa de rendimiento, de esta forma la expresión matemática que representa su comportamiento, queda definida de la siguiente forma:

$$V=Cv_i^t$$

donde:

  • C representa el valor de redención
  • i representa la tasa de rendimiento
  • t representa la vigencia o duración del bono
  • es importante hacer mención que la vigencia o duración del bono debe coincidir con la periodicidad en la que esté dada la tasa de rendimiento.

Para mostrar cómo opera este tipo de bonos, se hará mediante el siguiente ejemplo:

Una empresa desea realizar un proyecto de expansión de su planta para tener mayor producción, y necesita una cantidad de 500 mil de pesos; para financiarlo planea emitir 5 mil bonos, con valor nominal de 100 pesos, y quiere pagar a los inversionistas al 115% de su valor nominal una vez que pasen 2 años. Los inversionistas pactan una tasa de rendimiento anual del 2.7%, desean saber de cuánto sería el incremento del financiamiento si se coloca de inmediato la totalidad de la emisión.

La ecuación para obtener el valor presente es cada bono es la siguiente:

$$V = 115v_{0.027}^2 = 115\left(\frac{1}{(1.027)^2}\right)$$

$$V=115(0.94481108417)=109.03$$

El resultado anterior significa que el financiamiento se incrementó a:

$$F=(5,000)(109.03)=545163.734$$

Como el contexto del mercado está a favor desde el momento de la emisión de la venta de los bonos, en tal caso se puede escoger mejores ofertas de compra, limitando la venta de los bonos, aunque eso implicaría arriesgarse a que los inversionistas quieran elevar la tasa de rendimiento, lo que traerá como consecuencia que el precio de compra de los bonos sea menor.

Por último, este tipo de valores, tiene similitudes con los bonos vistos en el tema anterior, ya que se pueden comprar y vender durante el plazo de su operación, cuando ésto ocurre tanto los compradores como los inversionistas valúan el precio de sus bonos usando la expresión:

$$V=Cv_i^t$$

sustituyendo la tasa de rendimiento, pero poniendo especial atención de que el valor de t se mantenga con la misma vigencia que le falte transcurrir al bono.

Bonos redimibles con dividendos pagaderos P veces al año

Otra de las variantes de este tipo de valores, son los bonos en los que el pago de los dividendos lo realizan p veces al año. Para este tipo de bono, la tasa de dividendo es fijada por el vendedor, así como su periodicidad. La diferencia que hay de esta tasa con las tasas de interés y de las tasas pagaderas p veces al año, es que la tasa de dividendos no se divide entre el número de veces en las que serán pagados los dividendos en el lapso de un año.

Por ejemplo, si la persona que va a emitir los bonos, considera pagar por concepto de dividendos el 3% del valor de redención, de forma bimestral, esto quiere decir, que cada dos meses el emisor se compromete a pagar al dueño del bono dividendos por la cantidad del 3% del valor de redención, cantidad que se obtiene al efectuar el producto de gC. Como se puede observar, la diferencia de este tipo de bonos radica en que los dividendos se pagan p veces al año.

A continuación, se muestra de forma gráfica la forma en que operan este tipo de valores:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T., Ed. Trillas, pag. 219.

El valor presente que es también la forma en que se calcula el precio de compra V, de este tipo de bonos, se calcula usando la siguiente ecuación:

$$V=gC\prescript{}{n(p)}{\mathbf{A}}_i+Cv_i^n$$

donde la i que aparece es una tasa efectiva anual.

de dicha expresión que acabamos de mostrar, se hace el siguiente cambio de variable $K=Cv_i^n$, y sustituimos el valor de $\prescript{}{n(p)}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v_i^n}{i^{(p)}}$

y la ecuación queda:

$$V=gC\left(\frac{1-v_i^n}{i^{(p)}}\right)+K$$

$$V=\frac{gC}{i^{(p)}}-\frac{gCv_i^n}{i^{(p)}}+K$$

factorizando $\frac{g}{i^{(p)}}$, y sustituyendo el valor de $K$, nos queda:

$$V=\frac{g}{i^{(p)}}(C-K)+K$$

Ésta ecuación que se acaba de obtener es conocida por el nombre de ecuación de Makeham.

Para calcular la tasa de rendimiento efectiva por p-ésimo año (la llamaremos i’, utilizando la tasa de rendimiento efectiva anual, i, se calcula de la siguiente forma:

$$\left(1+\frac{i^{(p)}}{p}\right)^p=(1+i)$$

a dicha expresión la elevamos $\frac{1}{p}$ y la ecuación queda:

$$\left(1+\frac{i^{(p)}}{p}\right)^{p(\frac{1}{p}}=(1+i)^{\frac{1}{p}}$$

despejando $\frac{i^{(p)}}{p}$ e igualamos con i’, se obtiene:

$$\frac{i^{(p)}}{p}=(1+i)^{\frac{1}{p}}-1=i’$$

en donde p indica la cantidad de veces que se van a pagar los dividendos, suponiendo que p=6, los dividendos serán pagados de forma bimestral.

Recapitulando, la ecuación para calcular el valor presente o precio de compra V, incluyendo los aspectos que se acaban de desarrollar, nos queda:

$$V=gC\prescript{}{(n)(p)}{\mathbf{A}}_{i’}+Cv_{i’}^{(n)(p)}$$

la expresión anterior también se puede denotar como:

$$V=gC\frac{1-v_{i’}^{np}}{i’}+Cv_{i’}^{np}.$$

Reasignando a la variable $K=Cv_{i’}^{np}$, la ecuación de Makeham, cambia a la siguiente expresión:

$$V=\frac{g}{i’}(C-K)+K.$$

Ésta expresión nos dice que el precio de compra del bono se determina calculando la suma del valor presente de los dividendos que se espera recibir, más el valor presente del valor de redención.

Cabe señalar, que la valuación de un valor de renta fija se puede hacer en el momento en el que se emite, y también puede hacerse en cualquier momento de su duración. El precio del valor dependerá del tiempo que haya transcurrido, así como el comportamiento que exista en ése momento en el mercado de valores, situación que repercute directamente en el cambio de las tasas de rendimiento estimadas por el inversionista.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. En una fábrica de zapatos, la empresa quiere modernizarla, para ello considera un gasto de 35 millones de pesos, y quiere emitir 30 mil bonos, con un valor nominal de \$500 pesos cada uno, ofertando una cantidad del 115% a los inversionistas del valor nominal, al término de 4 años. Hacer la valuación de dichos bonos, considerando un rendimiento esperado del 3.4% anual y observar cuánto incrementa el financiamiento, si se coloca toda la emisión.

Solución

Primer hay que calcular el valor presente de cada:

$$V=[500(1.15)]v_{0.034}^4=575(\frac{1}{(1+0.034)^4})$$

$$V=503.0205$$

El financiamiento se incrementa por la cantidad de:

$$F=(30,000)(503.0205)=15,090615.18$$

Más adelante…

Con este tema se da por concluido el material de este curso. en las siguientes entradas se mostrará un compendio de fórmulas y conceptos que servirán como material de consulta rápida, dirigido a aquellos alumnos que sólo desean algún recordatorio rápido.

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