Dado un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}^n$ decimos que un punto $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \subseteq A$$

https://www.geogebra.org/classic/frqfnkeq

Observación: esta definición vale en un espacio métrico $\big(X, d\big)$. $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\big\{ x \in X \; \big| \; d( x,x_0) < r \big\} \subseteq A$$

Decimos que un punto $x_0$ es punto exterior de $A$ si existe $r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A^c$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \subseteq \mathbb{R}^n \setminus A = A^c$$

https://www.geogebra.org/classic/bmvvkaqd

Observación: en un espacio métrico $\big(X, d \big)$,$x_0$ es punto exterior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\big\{x \in X \; \big| \; d(x,x_0) < r \big\} \subseteq X\setminus A$$

Decimos que un punto $x_0$ es un punto frontera de $A$ si $\forall r > 0$ la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ tiene puntos tanto de $A$ como de $A^c.$ $$\big\{x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \cap A \neq \emptyset $$ $$\land \big\{\| x-x_0\| < r \big\} \cap A^c \neq \emptyset $$

El conjunto cuyos elementos son los puntos interiores de $A$ recibe el nombre de interior de $A$. $$\{x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; x \; \text{es punto interior de}\; A \}= int A = A^0$$

El conjunto de los puntos frontera de $A$ es la frontera de $A$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; x \; \text{es punto frontera de}\; A \big\} = \partial A = Fr A$$

Observación: int$A \subseteq A$ $$x \in \text{int} A \Rightarrow \exists B_r (x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in B_r(x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in A$$

Definición: decimos que un conjunto $A$ es abierto $\iff$ int$A=A$.

Definición: decimos que un conjunto $F$ es cerrado $\iff$ $F^c$ es abierto.

Definición: decimos la cerradura de $F$ es $\overline{F} = F \cup \partial F$.

Definición 1: (en términos de sucesiones)

Sea $f: A\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0}$ un punto de acumulación de $A$. Sea $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^m.$

Decimos que $\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x} \in A$ si para toda sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con puntos $\overrightarrow{x_n} \in A$, con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ resulta que la sucesión $\Big\{f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

Observación: como la noción de convergencia de una sucesión vale en espacios métricos, esta será nuestra definición de límite de una función $f : X \longrightarrow Y$ con $\Big(X, d_x\Big)$ y $\Big(Y, d_y\Big)$ espacios métricos.

El concepto de límite nos permite dar un concepto de continuidad de una función en un punto.

Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0} \in A$.

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si para toda sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n}\Big\} \in A$ tal que $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\}$ converge a $\overrightarrow{x_0}$ resulta que $ \Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big).$ En otras palabras, $f$ es continua $ \overrightarrow{x_0}$ si existe el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x}$ tiende a $\overrightarrow{x_0}$ y este límite es igual a $f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists\, \delta > 0$ tal que $ \Big\|\overrightarrow{x}\, -\, \overrightarrow{x_0} \Big\| < \delta$ implica que $\Big\|f \Big( \overrightarrow{x} \Big) \, – \, f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Big\| < \epsilon.$

Definición 3: (en términos de bolas abiertas)

$\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ si para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola perforada de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big)$implica que $f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ $\iff$ para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in B_{\delta} \Big( \overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big( \overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big( f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Big).$

Lema: definición (3) es equivalente a la definición (2).

Clave para la demostración:

$f \Big(\overrightarrow{x}\Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \iff \Big\|\, f \Big(\overrightarrow{x}\Big) \, – \, \overrightarrow{L}\Big\| < \epsilon$

$\overrightarrow{x} \in B_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \iff \, \Big\| \overrightarrow{x}\, – \, \overrightarrow{x_0} \Big\| < \delta$

Basta probar que la definición (1) es equivalente con la definición (3).

Teorema: la definición (1) es equivalente a la definición (3).

Demostración:

$\big[$ definición (1) $\longrightarrow$ definición (3) $\big]$

Hipótesis: $\forall \, \Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se tiene que $\Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

$\big[$ por demostrar: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que si $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big), \text{ entonces } f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \big]$

Supongamos que $f$ no tiene límite $\overrightarrow{L}$ con la definición de bolas.

Vamos a tratar de contradecir el hecho de que cumpla la definición de sucesiones.

$\exists \; \epsilon_0 > 0$ tal que $\forall\, \delta > 0 \; \exists \, \overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \, \land \, f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \notin B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L}\Big)$

Esto sucede en particular para $\delta = \frac{1}{n}$, entonces $\exists \, \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\frac{1}{n}} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \, \land \, f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \notin B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$ Entonces existe una sucesión $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ para la cual $\Big\{ f \Big(\overrightarrow{x_n}\Big) \Big\}$ no converge.

$\big[$ definición (3) $\longrightarrow$ definición (1) $\big]$

Hipótesis: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big)$

$\big[$ por demostrar: $\forall \, \Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se cumple que $\Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n}\Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}\big]$

Sea $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$

$\big[$por demostrar: $\Big\{f \Big(\overrightarrow{x_n}\Big)\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L} \big]$

Sea $\epsilon > 0$

$\big[$ por demostrar: $\exists \, N \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq N \Rightarrow f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \big]$

Dada la $\epsilon > 0$ (por hipótesis), existe $\delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Luego la sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ entonces para la $\delta > 0$ recién dada $\exists \; Ñ \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq Ñ \Rightarrow \overrightarrow{x_n} \in B_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big)$.

Más aún, como $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}, \text{ se cumple que } \; \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \text{ podemos concluir que } f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Sirve $N=Ñ$ por lo que $\exists \; N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).\; _{\blacksquare}$

• Sea $X$ un conjunto. La familia $\mathcal{T}_{ind}= \big\{ \emptyset, X \big\}$ es una topología. Se denomina topología indiscreta.

• La familia $\mathcal{T}_{disc} = \mathcal{P}(X)$, donde $\mathcal{P}$ es el conjunto potencia, también es una topología. Se denomina topología discreta.

• Consideremos la métrica Euclidiana y la métrica uniforme $( \infty )$ en $\mathbb{R}^2.$ Comparemos las topologías que inducen estas dos métricas. $$d_{\infty} (x,y) = \big\|x-y \big\|_{\infty}$$ $$d_2 (x, y) = \big\| x \, – \, y \big\|_2$$ $$_2B_1\big( (0, 0) \big) = \big\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \big| \, x^2+y^2 < 1 \big\}$$ $$_{\infty}B_1 \big( (0, 0) \big) = \big\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \big| \, máx \big\{ |x|, |y| \big\} < 1 \big\}$$

Comparemos $\mathcal{T}_2$ con $\mathcal{T}_{\infty}$. ¡Son la misma topología!

Porque $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$ $\iff$ existe un círculo con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese círculo podemos inscribir un cuadrado. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_{\infty}$.

Recíprocamente $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T} _{\infty}$ $\iff$ existe un cuadrado con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese cuadrado podemos inscribir un círculo. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$.

• $\mathbb{R}^2$ puede pensarse como un espacio de funciones.

$$f : \{1, 2\} \longrightarrow \mathbb{R}$$

Al punto $(x_1, x_2)$ le corresponde la función $f$ cuya regla de correspondencia es

$f(1) = x_1$ y $f(2) =x_2$

Entonces $d_{\infty} (f, g) = máx \big\{ \big|f(1) \, – \, g(1) \big|, \big|f(2) \, – \, g(2) \big| \big\}$

En el siguiente enlace puedes observar un dibujo interactivo del ejemplo anterior.

https://www.geogebra.org/classic/bwpxexhp

Consideremos un plano no vertical.

Tiene una ecuación de la forma $$z=ax+by+c$$

Es la gráfica de $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que

$f(x, y) = ax+by+c$ con $a, b, c$ constantes.

Demostraremos que esta función es continua usando $\epsilon$ y $\delta$.

Sea $(x_0, y_0)$ un punto.

Sea $\epsilon > 0$.

Buscamos $\delta > 0$ tal que si $(x, y) \in B_{\delta} (x_0, y_0) \Longrightarrow f(x, y) \in B_{\epsilon} (f(x_0, y_0))$; es decir que

si $\Big\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0)\Big\| < \delta$ entonces $\Big|f(x, y) \, – \, f(x_0, y_0) \Big| < \delta$.

Desde otro punto de vista:

$$\begin{align*} \Big|f(x, y) \, – \, f(x_0, y_0)\Big| &= \Big|ax+by+c \, – \, (ax_0+by_0+c)\Big| \\ &= \Big|a(x \, – \, x_0) + b(y \, – \, y_0)\Big| \\ &\leq \Big|a(x \, – \, x_0)\Big| + \Big|b(y \, – \, y_0)\Big| \\ &\leq \Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|+\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big| < \epsilon \end{align*}$$

Queremos garantizar que $\Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|+\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big| < \epsilon.$

Si $\Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|< \frac{\epsilon}{2}$ y $\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big|< \frac{\epsilon}{2}$ entonces se cumple la desigualdad.

Luego $\Big|x \, – \, x_0\Big| < \frac{\epsilon}{2|a|}$ y $\Big|y \, – \, y_0\Big| < \frac{\epsilon}{2|b|}$.

$\frac{ – \, \epsilon}{2|a|}< x \, – \, x_0 < \frac{\epsilon}{2|a|}$

$\frac{ – \, \epsilon}{2|b|}< y \, – \, y_0 < \frac{\epsilon}{2|b|}$

$x_0 -\, \frac{ \epsilon}{2|a|}< x < x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$

$y_0 \, – \frac{ \epsilon}{2|b|}< y <y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$

Basta tomar

$\delta = mín \Big\{ \frac{\epsilon}{2|a|} , \frac{\epsilon}{2|b|} \Big\}$

porque entonces si $(x, y) \in B_{\delta} ((x_0, y_0))$ entonces $(x, y) \in \Big[A, B\Big] \times \Big[C, D\Big]$

donde $A = x_0 \, – \, \frac{\epsilon}{2|a|}$, $B = x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$, $C = y_0 \, – \, \frac{\epsilon}{2|b|}$ y $D = y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$

En el siguiente enlace encontrarás una imagen interactiva, en la cual podrás modificar distintos valores para una mejor comprensión de lo explicado anteriormente.

https://www.geogebra.org/classic/j9rcbkcz

Además de las coordenadas cartesianas es conveniente conocer otros tipos de coordenadas, como las polares, cilíndricas y esféricas, estas últimas las explicaremos en entradas posteriores; ya que muchas veces es más sencillo de resolver problemas si cambiamos de coordenadas cartesianas a otro tipo según el tipo de función con la que estemos trabajando.

En este primer acercamiento, estudiaremos como realizar la conversión de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

En el dibujo podemos observar que para un punto $P(x, y)$ se tiene un triángulo rectángulo, en esta imagen el triángulo $PXQ$, por lo que usando el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas correspondientes, tenemos que:

$$x^2 + y^2 = r ^2$$ $$\sin{\theta} =\frac{y}{r}$$ $$\cos{\theta} = \frac{x}{r}$$

Entonces, las ecuaciones que nos permiten transformar de coordenadas polares a rectangulares son:

$$x=r \cos (\theta)$$ $$y=r \sin (\theta)$$

$(x, y)$ son las coordenadas cartesianas (o rectangulares) del punto $P$.

$(r, \theta)$ son las coordenadas polares del punto $P$.

* CASO ESPECIAL: para el punto $(0, 0)$ en coordenadas cartesianas tenemos que $r = 0$ y el ángulo $\theta$ no está definido.

* También es importante especificar un intervalo donde varía el ángulo $\theta$, para evitar situaciones como la que se ejemplifica a continuación.

El punto de coordenadas rectangulares $(1, 0)$ puede tener diferentes coordenadas polares, como $(1, 0°)$, $(1, 360°)$ si el ángulo está dado en grados, o $(1, 0)$, $(1, 2\pi)$ si el ángulo se mide en radianes.

Por lo que se puede definir a $\theta$ en el intervalo $0 < \theta < 2\pi$ o en el $- \pi < \theta < \pi$.