Curvas parametrizadas

Sea $$ \alpha (t) = (x(t), y(t), z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t), y(t), z(t))$ la posición en el espacio.

Es decir, para cada $t$ tenemos que:

$$t \longrightarrow (x(t), y(t), z(t))$$

Y la curva representa el camino que describe.

La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:

$$ {\alpha}’ (t) = ({x}'(t), {y}'(t), {z}'(t))$$

$${\alpha}’ (t) = \lim_{\Delta t \to \infty} \dfrac{(\alpha (t_0 \, – \, \Delta t) \, – \, \alpha (t_0))}{\Delta t} $$

Y representa la velocidad instantánea.

La rapidez es $\|{\alpha}’ (t) \|.$

Además, la aceleración instantánea está dada por $${\alpha}^{\prime \prime} (t)$$

Movimiento rectilíneo uniforme

Dado el punto $\vec{p_0} (x_0, y_0, z_0)$ que representa la posición inicial.

El vector velocidad constante, está dado por $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3).$

Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$ \alpha (t) = \vec{p_0} + \vec{v}(t)$$ $$ \alpha (t) = (x_0, y_0, z_0) +t(v_1, v_2, v_3)$$ $$ \alpha (t) = (x_0 + t v_1, y_0 + t v_2, z_0 + t v_3)$$

La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t) = \alpha (t_0) + t {\alpha}’ (t_0)$$

Existe una recta tangente si ${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$.

Si ${\alpha}’ (t_0) = \vec{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t) = \vec{p_0}$ para toda $t.$

Los puntos donde ${\alpha}’ (t_0) = 0$ son excepcionales.

https://www.geogebra.org/classic/spwzzvcr

Curvatura de una curva

La curvatura de una curva $\alpha : [a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ en un punto $\alpha(t_0)$ es la curvatura de la circunferencia osculatriz (osculadora), «la que más se parece a la curva cerca del punto».

• ¿Cuál es la curvatura de una circunferencia?

• De todas las circunferencias que pasan por el punto, ¿cuál es la que más se parece a la curva?

Definamos la curvatura de una circunferencia de radio $r$ como el número $\textcolor{RoyalBlue}{\mathcal{K} = \frac{1}{r}}$

Observación «física»:

Supongamos que tenemos una circunferencia parametrizada con rapidez constante 1.

$\alpha (s)$ nos da la posición.

${\alpha}’ (s)$ nos da la velocidad.

${\alpha}^{\prime \prime} (s)$ nos da la aceleración.

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\| = 1$

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\|^2 = 1$ constante.

Como la aceleración es perpendicular a la velocidad, se cumple que $ \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\rangle = 0$

$ \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}’ (s) \big\rangle \equiv 1$ derivando $ \big\langle {\alpha}^{\prime \prime} (s) , {\alpha}’ (s) \big\rangle + \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\rangle \equiv 0$

¿Cuál es la relación que hay entre $\mathcal{K}$ y ${\alpha}^{\prime \prime} (s)$ ?

Circunferencia de radio $1$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = (\cos (t), \sin (t))$

${\alpha}’ (t) = ( – \sin (t) , \cos (t))$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 1$

Circunferencia de radio $2$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = 2 \big( \cos (t), \sin (t) \big)$

${\alpha}’ (t) = 2 \big( – \sin (t) , \cos (t) \big)$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 2$

Reparametricemos

$t = h(s)$ inyectiva, creciente, derivable.

$\beta (s) = \alpha (h(s))$

Tal que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

Como $\beta (s) = \alpha \big( h(s) \big)$ entonces, ${\beta \, }’ (s) = {\alpha}’ \big( h(s) \big) h’ (s).$

Luego, $ \big\| {\alpha}’ (h(s)) \big\| h’ (s) = 1 $

$2 h’ (s) = 1$

$h’ (s) = \frac{1}{2}$

Entonces, nos sirve la función $h(s) = \frac{1}{2}s $

$\beta (s) = 2 \big(\cos \big(\frac{1}{2} s \big), \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = \big( – \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

${\beta}^{\prime \prime} (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big), – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {\beta}^{\prime \prime} (s) \big\| = \frac{1}{2}$

Circunferencia de radio $r > 0$

$\alpha (s) = r \big(\cos \big(\frac{1}{r}s \big), r \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${\alpha}’ (s) = \big(- \sin \big(\frac{1}{r}s \big), \cos \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${\alpha}^{\prime \prime} (s) = \big( – \frac{1}{r} \cos \big(\frac{1}{r}s \big), – \frac{1}{r} \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

$\big\| {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\| = \frac{1}{r}$ es la «curvatura».

En general, dada una curva $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ si ${\alpha \, }’ (t_0) \neq \vec{0}$, podemos definir «el» vector tangente unitario como $$\textcolor{ForestGreen}{\vec{T} (t_0) = \frac{{\alpha \, }’ (t_0) }{ \big\| {\alpha \, }’ (t_0) \big\|}}$$

Si la curva está parametrizada con rapidez unitaria $\alpha (s) $ tal que existe ${\alpha}’ (s)$ con $\big\|{\alpha \, }'(s) \big\| = 1$ para toda $s$, se tiene que $$T(s) = {\alpha \, }’ (s)$$

Dada una curva $\alpha (t)$, de clase $\mathcal{C}^1$, podemos reparametrizarla con rapidez unitaria.

Si ${\alpha \, }’ (t) \neq \vec{0} \; \; \forall \, t$; decimos que la curva es «regular».

Buscamos una función $t = h(s)$ tal que $\beta = \alpha \circ h$ y ${\beta \, }’ (s) = {\alpha \, }’ (h(s)) h’ (s)$ y que cumple que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$ entonces $\big\|{\beta\, }’ (s) \big\| = \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\| h’ (s)$, con $h$ una función creciente.

Por lo que $$h’ (s) = \frac{1}{ \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\|}$$

Si además podemos que ${\alpha}^{\prime \prime} (s) \neq \vec{0}$ entonces, definimos «el» vector normal $N (s)$ como $$\textcolor{NavyBlue}{N (s) = \frac{{\alpha}^{\prime \prime} (s)}{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\|}}$$

Dada una curva $\alpha (t)$, si ${\alpha \, }’ (t) \neq 0$ y existe ${\alpha}^{\prime \prime} (t)$ entonces $${\alpha}^{\prime \prime} (t) = \lambda {\alpha \, }’ (t) + \beta (t) $$

donde ${\alpha}^{\prime \prime} (t)$ es la aceleración,

${\alpha \, }’ (t)$ es la aceleración tangencial, y

$\beta (t)$ es la aceleración normal.

Es decir $${\alpha}^{\prime \prime} (t) = \lambda T (t) + N (t) $$

¿Cuál es la circunferencia osculatriz?

El radio está dado por $$\textcolor{BrickRed}{\frac{1}{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}}$$

El centro de la circunferencia osculatriz es $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}.N(s_0) $$ $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}. \frac{{\alpha}^{\prime \prime} (s_0)}{ \big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}$$ $$ \textcolor{BrickRed}{\text{Centro} = \alpha (s_0) + \frac{{\alpha }^{\prime \prime} (s_0)}{{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0)} \big\|^2}}$$

En conclusión, la curvatura mide el cambio en la dirección comparado con el cambio en la longitud de arco recorrida.

IMAGEN INTERACTIVA EN REVISIÓN

https://www.geogebra.org/classic/atjan5cd

Teorema 2:

Sean $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

Entonces

(1) $ f + g$ es continua.

(2) $f . g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0) \neq 0, \frac{f}{g} $ es continua.

Demostración:

Primer inciso:

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(1) $\big[$ por demostrar: $ f + g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0) \big)…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0) \Rightarrow f(x) + g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0) + g(x_0) \big)$ con $\delta_3 = mín \big\{ \delta_1 , \delta_2 \big\}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:

Sumando $ \big\| f(x) \, – \, f(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$ y $\big\| g(x) \, – \, g(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$ se tiene que $$\big\| f(x) \, – \, f(x_0) \, + \, g(x) \, – \, g(x_0) \big\| \leq \big\| f(x) \, – \, f(x_0) \big\| + \big\| g(x) \, – \, g(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$

Segundo inciso.

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(2) $\big[$ por demostrar: $f . g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Sea $\delta_0$ tal que si $x \in B_{\delta_0}(x_0)$ entonces $ \big| f(x) \big| < 1 + \big| f(x_0) \big|$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( f(x_0) \big)…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0)\big)…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0).g(x_0) \big).$

Sea $ \delta_3 = mín \big\{ \delta_0 , \delta_1 , \delta_2 \big\}$

$\big[$ por demostrar: $ \big|f(x)g(x) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| < \epsilon.$ $\big]$

$\begin{align*} \big| f(x)g(x) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| &= \big| f(x)g(x) \, – \, f(x)g(x_0) \, + \, f(x)g(x_0) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| < \big| f(x)g(x) \, – \, f(x)g(x_0) \big| + \big| f(x)g(x_0) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| \\ \\ &= \big| f(x)|.|g(x) \, – \, g(x_0) \big| + \big| f(x) \, – \, f(x_0) \big|.\big| g(x_0) \big| \leq \big|(1 + \big| f(x_0) \big| \big) \big| g(x) \, – \, g(x_0) \big| + \big| f(x) \, – \, f(x_0) \big|. \big| g(x_0) \big| \\ \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}$

Teorema:

Sea $f : \mathcal{K} \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m.$

Si $f$ es continua en $\mathcal{K}$ y $\mathcal{K}$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $\mathcal{K}.$

Demostración:

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, para cada $x \in \mathcal{K}$ existe $\delta_x > 0$ tal que si $ \| x-y \| < \delta_x $ entonces $\big\|f(x) – f(y) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$

Como $\mathcal{K}$ es compacto, $\mathcal{K} \subseteq \bigcup\limits_{x \in \mathcal{K}} B_{\frac{\delta_x}{2}}(x)$ es una cubierta abierta de $\mathcal{K}.$

Entonces, existe una subcubierta finita $B_{\frac{\delta_1}{2}}(x_1), \dots , B_{\frac{\delta_l}{2}}(x_l).$

Tomemos $ \delta = mín \big\{ \frac{\delta_1}{2} , \dots , \frac{\delta_l}{2} \big\}.$

Si $\big\| x \, – \, y \big\| < \delta $ entonces $ y \in B_{\delta}(x)$ pero $ x \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x_j) $ para alguna $j$

$$\big\| x \, – \, x_j \big\| < \frac{\delta_j}{2} \Rightarrow x_j \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x)$$

$$\big\| f(x) \, – \, f(x_j) \big\| < \frac{\epsilon}{2} $$

Luego, si $\big\| y \, – \, x_j \big\| = \big\| y \, – \, x \, + \, x \, – \, x_j \big\| \leq \big\| y \, – \, x \big\| + \big\|x \, – \, x_j \big\| < \delta + \frac{\delta_j}{2} \leq \frac{\delta_j}{2} + \frac{\delta_j}{2} = \delta $

$y \in B_{\delta_j}(x_j) \Rightarrow \big\| f(y) \, – \, f(x_j) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$

En consecuencia,

$$\big\| f(x) \, – \, f(y) \big\| \leq \big\| f(x) \, – \, f(x_j) \big\| + \big\| f(x_j) \, – \, f(y) \big\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \; _{\blacksquare}$$

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x = x_0$ constante.

$$f(x_0, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x_0} & si & x_0 \neq 0 \\ 0 & si & x_0 = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_0 = 0$

$$f(0, y) = 0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1, y) = \frac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y = y_0$ constante.

$$f(x, y_0) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y_0}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$f(x, 0) = 0$

$$f(x, 0) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwyss