Fórmulas para curvatura y torsión cuando la curva no está parametrizada por longitud de arco.

(*) Expresar la curvatura y la torsión como determinantes.

(*) Usar la regla de la cadena para derivar composiciones.

CASO $n = 2$ curva plana

Dada $\alpha (t) = \big( x(t), y(t) \big)$ y $t = h (s)$ con $s = $ longitud de arco; entonces $$\gamma (s) = \alpha ( h ( s)) = ( u (s) , v (s) )$$ $${\gamma}’ (s) = ( u’ (s) , v’ (s) )$$

Curvatura de $\gamma$ en el punto $s$ es el número $\mathcal{K}$ para el cual se cumple la ecuación $$ {\gamma}^{\prime \prime} (s) = \mathcal{K} \big( – \, v’ (s), u’ (s) \big)$$

Así definida $\mathcal{K} (s)$ puede ser $\mathcal{K} (s) > 0$, $\mathcal{K} (s) < 0$ o incluso $\mathcal{K} (s) = 0.$

Se sigue cumpliendo que $$\big|\mathcal{K}\big| = \big\| {\gamma}^{\prime \prime} (s) \big\|$$

Si $\gamma (s)$ está dada por longitud de arco, entonces $$\big\| {\gamma}’ (s) \big\| = 1 \iff \langle{\gamma}’ (s) , {\gamma}’ (s) \rangle = 1$$

Derivando $$\begin{align*} \langle{\gamma}^{\prime \prime} (s) , {\gamma}’ (s) \rangle + \langle{\gamma}’ (s) , {\gamma}^{\prime \prime} (s) \rangle &\equiv 0 \\ \langle{\gamma}’ (s) , {\gamma}^{\prime \prime} (s) \rangle &\equiv 0 \end{align*}$$

$$ \therefore {\gamma}^{\prime \prime} (s) \text{ es ortogonal a } {\gamma}’ (s)$$

Luego, ${\gamma}^{\prime \prime} (s)$ está en la recta ortogonal a ${\gamma}’ (s).$

¿Cuál es el signo de $\mathcal{K}(s)$?

Observemos el producto punto de ${\gamma}^{\prime \prime} (s)$ con $\big( -\, v(s), u (s) \big).$

Signo de $\mathcal{K} (s) = $ signo $\Bigl| \begin{smallmatrix} u’ & {u}^{\prime \prime} \\ v’ & {v}^{\prime \prime} \end{smallmatrix} \Bigr|$

Por lo que el signo de $\mathcal{K} (s)$ está dado por el signo del determinante de $\big( {\gamma}’ | {\gamma}^{\prime \prime} \big).$

Luego

$\begin{align*} {u}^{\prime \prime} &= – \, \mathcal{K} v’ \\ {v}^{\prime \prime} &= \mathcal{K} u’ \end{align*}$

Por lo que

$\begin{align*} \Bigl| \begin{smallmatrix} u’ & {u}^{\prime \prime} \\ v’ & {v}^{\prime \prime} \end{smallmatrix} \Bigr| &= \Bigl| \begin{smallmatrix} u’ & – \mathcal{K}{v’} \\ v’ & \mathcal{K} {u’} \end{smallmatrix} \Bigr| \\ &= u’ u’ \mathcal{K} \, – \, v’ v’ \mathcal{K} \\ &= \mathcal{K} \big( (u’)^2 – (v’)^2 \big) \\ &= \mathcal{K}\end{align*}$$

Entonces $$\big| {{\gamma}’} \big| = \big| (u’ , v’) \big| = 1 $$

1° paso: La curvatura se puede ver como

$$ \mathcal{K} (s) = \Bigl| \begin{smallmatrix} u’ (s) & {u}^{\prime \prime} (s) \\ v’ (s) & {v}^{\prime \prime} (s) \end{smallmatrix} \Bigr|$$

2° paso: Ahora consideremos la relación con cambio de variable.

$$u (s) = x \big( h (s) \big) = x (t)$$

Derivando

$u’ (s) = \dfrac{du}{ds} = \dfrac{dx}{dt} \dfrac{dt}{ds} = \dot{x} (t) \dfrac{dt}{ds}$

${u}^{\prime \prime} (s) = \dfrac{d}{ds} \Big( \dfrac{dx}{dt} \dfrac{dt}{ds} \Big) $

${u}^{\prime \prime} (s) = \Big( \dfrac{d}{ds} \dfrac{dx}{dt} \dfrac{dt}{ds} + \dfrac{dx}{dt} \Big( \dfrac{d}{ds} \dfrac{dt}{ds} \Big)$

${u}^{\prime \prime} (s) = \dfrac{d^2x}{dt^2} \dfrac{dt}{ds} \dfrac{dt}{ds} + \dfrac{dx}{dt} \dfrac{d^2t}{ds^2} {u’}’ (s)$

${u}^{\prime \prime} (s) = \ddot{x} (t) \Big( \dfrac{dt}{ds} \Big)^2 + \dot{x} (t) \dfrac{d^2t}{ds^2}$

Entonces la curvatura está dada por:

$\mathcal{K} (s) = \begin{vmatrix} u’ (s) & {u}^{\prime \prime} (s) \\ {} \\ v’ (s) & {v}^{\prime \prime} (s) \end{vmatrix}$

${}$

$\mathcal{K} (s) = \begin{vmatrix} \dfrac{du}{ds} & \dfrac{d^2u}{ds^2} \\ {}\\ \dfrac{dv}{ds} & \dfrac{d^2v}{ds^2} \end{vmatrix}$

${}$

$\mathcal{K} (s) = \begin{vmatrix} \dfrac{dx}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} & {} & \dfrac{d^2x}{dt^2} \Big( \dfrac{dt}{ds}\Big)^2 + \dfrac{dx}{dt} \dfrac{d^2t}{ds^2} \\ {} \\ \dfrac{dy}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} & {} & \dfrac{d^2y}{dt^2} \Big( \dfrac{dt}{ds}\Big)^2 + \dfrac{dy}{dt} \dfrac{d^2t}{ds^2} \end{vmatrix}$

${}$

$\mathcal{K} (s) = \begin{vmatrix} \dfrac{dx}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} & {} & \dfrac{d^2x}{dt^2} \Big( \dfrac{dt}{ds}\Big)^2 \\ {} \\ \dfrac{dy}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} & {} & \dfrac{d^2y}{dt^2} \Big( \dfrac{dt}{ds}\Big)^2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \dfrac{dx}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} & {} & \dfrac{dx}{dt} \dfrac{d^2t}{ds^2} \\ {} \\ \dfrac{dy}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} & {} & \dfrac{dy}{dt} \dfrac{d^2t}{ds^2} \end{vmatrix}$

${}$

$\mathcal{K} (s) =\Big( \dfrac{dt}{ds}\Big)^3 \begin{vmatrix} \dfrac{dx}{dt} & {} & {} & \dfrac{d^2x}{dt^2} \\ {} \\ \dfrac{dy}{dt} & {} & {} & \dfrac{d^2y}{dt^2} \end{vmatrix} + \Big(\dfrac{dt}{ds}\Big) \dfrac{d^2t}{ds^2} \begin{vmatrix} \dfrac{dx}{dt} & {} & {} & \dfrac{dx}{dt} \\ {} \\ \dfrac{dy}{dt} & {} & {} & \dfrac{dy}{dt} \end{vmatrix}$

${}$

$\mathcal{K} (s) =\Big( \dfrac{dt}{ds}\Big)^3 \begin{vmatrix} \dfrac{dx}{dt} & {} & {} & \dfrac{d^2x}{dt^2} \\ {} \\ \dfrac{dy}{dt} & {} & {} & \dfrac{d^2y}{dt^2} \end{vmatrix}$

${}$

Pero $s = \int\|{\alpha}’ \| (t) dt$ entonces $\dfrac{ds}{dt} = \|{\alpha}’ (t) \| = \sqrt{ \Big(\dfrac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\dfrac{dy}{dt}\Big)^2}$

Por lo tanto

$\mathcal{K} (s) = \dfrac{ \begin{vmatrix} \dfrac{dx}{dt} & {} & {} & \dfrac{d^2x}{dt^2} \\ {} \\ \dfrac{dy}{dt} & {} & {} & \dfrac{d^2y}{dt^2} \end{vmatrix}}{\Bigg(\Big(\dfrac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\dfrac{dy}{dt}\Big)^2 \Bigg)^{\frac{3}{2}}}$

Luego, cuando $n = 2$ $$\mathcal{K} (t) = \dfrac{\dot{x} \ddot{y} \, – \, \dot{y} \ddot{x}}{\Big( (\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 \Big)^{\frac{3}{2}}}$$

${}$

CASO $n = 3$

1° paso: Expresar la curvatura y la torsión en términos de determinantes.

$$T (s) = {\gamma}’ (s)$$ $$N (s) = \dfrac{{\gamma}^{\prime \prime} (s)}{\| {\gamma}^{\prime \prime} (s)\|}$$

Luego $${\gamma}^{\prime \prime} (s) = \mathcal{K} (s) N(s)$$

y $B (s) = T(s) \times N(s)$

entonces ${\gamma}^{\prime } (s) \times {\gamma}^{\prime \prime} (s) = T (s) \times \mathcal{K} (s) N (s)$

${{\gamma}’} (s) \times {\gamma}^{\prime \prime} (s) = \mathcal{K} (s) \big( T (s) \times N (s) \big) = \mathcal{K} (s) B(s)$

$\| {{\gamma}’} (s) \times {\gamma}^{\prime \prime} (s) \| = \mathcal{K}$ con el parámetro longitud de arco, ya que $\| B(s)\| = 1.$

${}$

Cuando no está parametrizada por longitud de arco, $$\gamma (s) = \big( x (s), y (s), z (s)\big)$$ $${\gamma}’ (s) = \Bigg( \dfrac{dx}{ds}, \dfrac{dy}{ds}, \dfrac{dz}{ds}\Bigg)$$ $${\gamma} (s) = \Bigg( \dfrac{d^2x}{ds^2}, \dfrac{d^2y}{ds^2}, \dfrac{d^2z}{ds^2}\Bigg)$$

Entonces $${\gamma}’ (s) \times { \gamma}^{\prime \prime} (s) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ {} \\ \dfrac{dx}{ds} & \dfrac{dy}{ds} & \dfrac{dz}{ds} \\ {} \\ \dfrac{d^2x}{ds^2} & \dfrac{d^2y}{ds^2} & \dfrac{d^2z}{ds^2}\end{vmatrix}$$

$${\gamma}’ (s) \times { \gamma}^{\prime \prime} (s) = \begin{vmatrix} \hat{i} & {} & \hat{j} & {} & \hat{k} \\ {} \\ \dfrac{dx}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} & \dfrac{dy}{dt} \dfrac{dt}{ds} & {} &\dfrac{dz}{dt} \dfrac{dt}{ds} \\ {} \\ \dfrac{d^2x}{dt^2}\Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^2 + \dfrac{dx}{dt}\dfrac{d^2t}{ds^2} & {} & \dfrac{d^2y}{dt^2}\Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^2 + \dfrac{dy}{dt}\dfrac{d^2t}{ds^2} & {} & \dfrac{d^2z}{dt^2}\Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^2 + \dfrac{dz}{dt}\dfrac{d^2t}{ds^2} \end{vmatrix}$$

Por lo tanto, para $n = 3$ se tiene que $$\mathcal{K} (t) = \dfrac{\| \dot{\gamma} (t) \times \ddot{\gamma} (t)\|}{ \| \dot{\gamma} (t) \|^3}$$

${}$

Torsión

$$T’ (s) = \mathcal{K} (s) N (s)$$

$$N’ (s) = – \, \mathcal{K} (s) T (s) – \, \tau (s) B (s)$$

$${B \, }’ (s) = \tau (s) N (s)$$

Tenemos que:

${\gamma}’ = T (s)$

${\gamma}^{\prime \prime} = T’ (s) = \mathcal{K} N$

$ {\gamma}^{\prime \prime \prime} = \dfrac{d}{ds}(\mathcal{K}N = \mathcal{K}’ N + \mathcal{K} N’ = \mathcal{K}’ N + \mathcal{K}( – \, \mathcal{K} (s) T (s) – \, \tau (s) B (s)) = \mathcal{K}’ N- \, \mathcal{K}^2 (s) T (s) – \, \mathcal{K} \tau (s) B (s)$

Resolviendo el triple producto escalar de $({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime})$ se tiene que:

$\begin{align*}({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}) &= (T, \mathcal{K}N, -\, \mathcal{K}^2T + \mathcal{K}’N \, – \, \mathcal{K} \tau B \\ &= \mathcal{K} (T, N, -\, \mathcal{K}^2 T + \mathcal{K}’ N \, – \, \mathcal{K} \tau B) \\ &= \mathcal{K} \Big(T, N, -\, \mathcal{K}^2 T) + (T, N, \mathcal{K}’ N) + (T, N, -\, \mathcal{K} \tau B) \Big) \\ &= – \, \mathcal{K}^3 (T, N, T) + \mathcal{K} \mathcal{K}’ (T, N, N) \, – \, \mathcal{K}^2 \tau (T, N, B)\end{align*}$

Por lo tanto $$({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}) = – \, \mathcal{K}^2 \tau$$

Por lo tanto, para curvas parametrizadas por longitud de arco $$\tau (s) = \dfrac{\, – \, ({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}) }{\mathcal{K}^2 (s)}$$

Partiendo de $\tau (s) = \dfrac{\, – \,({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}) }{\mathcal{K}^2 (s)}$

Buscamos una expresión en términos de $t$ y las derivadas con respecto a $t$.

1° paso:

${\gamma}’ = \dot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds}$

${\gamma}^{\prime \prime } = \ddot{\gamma} (t) \Big( \dfrac{dt}{ds} \Big)^2 + \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^2t}{ds^2}$

${\gamma}^{\prime \prime \prime} = \dddot{\gamma} (t) \Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^3 + \ddot{\gamma} (t) 2 \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d^2t}{ds^2} + \ddot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d^2t}{ds^2} + \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^3t}{ds^3}$

Entonces ${\gamma}^{\prime \prime \prime} = \dddot{\gamma} (t) \Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^3 + 3 \ddot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d^2t}{ds^2} + \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^3t}{ds^3}$

Luego $$ \begin{align*} ({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}) &= \Big( \dot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds}, \ddot{\gamma} (t) \Big( \dfrac{dt}{ds} \Big)^2 + \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^2t}{ds^2}, \dddot{\gamma} (t) \Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^3 + 3 \ddot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d^2t}{ds^2} + \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^3t}{ds^3}\Big) \\ &= \Bigg( \dot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds}, \ddot{\gamma} (t) \Big( \dfrac{dt}{ds} \Big)^2 , \dddot{\gamma} (t) \Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^3 \Bigg) + \Bigg( \dot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds}, \ddot{\gamma} (t) \Big( \dfrac{dt}{ds} \Big)^2 , 3 \ddot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d^2t}{ds^2} \Bigg) + \\ & \Bigg( \dot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds}, \ddot{\gamma} (t) \Big( \dfrac{dt}{ds} \Big)^2 , \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^3t}{ds^3}\Big) \Bigg)+ \Bigg( \dot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds}, \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^2t}{ds^2}, \dddot{\gamma} (t) \Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^3 + 3 \ddot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d^2t}{ds^2} + \dot{\gamma} (t) \dfrac{d^3t}{ds^3}\Bigg) \end{align*}$$

${}$

Entonces

$\begin{align*} ({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}) &= \Bigg( \dot{\gamma} (t) \dfrac{dt}{ds}, \ddot{\gamma} (t) \Big( \dfrac{dt}{ds} \Big)^2 , \dddot{\gamma} (t) \Big(\dfrac{dt}{ds}\Big)^3 \Bigg) \\ &= \Bigg(\dfrac{dt}{ds}\Bigg)^6 ({\gamma}’, {{\gamma}’}’, {{{\gamma}’}’}’) \end{align*}$

Por lo tanto $$ ({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}){ \|\dot{\gamma}\|^6}$$

Luego $$\tau (s) = \dfrac{-\, ({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime})}{\mathcal{K}^2} = \dfrac{\dfrac{ ({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime}) }{ \|\dot{\gamma}\|^6}}{\dfrac{\|\dot{\gamma} \times \ddot{\gamma} \|^2}{\|\dot{\gamma}\|^6}}$$

$$\therefore \tau (s) = \dfrac{-\, ({\gamma}’, {\gamma}^{\prime \prime}, {\gamma}^{\prime \prime \prime})}{\|\dot{\gamma} \times \ddot{\gamma} \|^2}$$

${}$

Forma canónica local

Sea $\gamma (s) = \big( x (s), y (s), z (s)\big)$ podemos desarrollar cada función en series de Taylor. Luego $$\gamma (s) = \gamma (0) + s {\gamma}’ (0) + \dfrac{s^2}{2} {\gamma}^{\prime \prime} (0) + \dfrac{s^3}{6} {\gamma}^{\prime \prime \prime} (0) + \dotsc$$

Sin pérdida de generalidad, $\gamma (0) = \vec{0}$ entonces ${\gamma}’ (0)$

Luego $$e_1 = (1, 0, 0) = T (0)$$ $$e_2 = (0, 1, 0) = N (0)$$ $$e_3 = (0, 0, 1) = B (0)$$

Entonces $\big( x (s), y (s), z (s)\big) = (0, 0, 0) + s (1, 0, 0) + \dfrac{s^2}{2} (0,\mathcal{K}, 0) + \dfrac{s^3}{6} (-\, \mathcal{K}, \mathcal{K}’ , – \, \mathcal{K} \tau) + \dotsc$

Por lo que $$x (s) = s + \dfrac{s^3}{6} \mathcal{K}^2 (0) + Residuo_x (s)$$ $$y (s) = \dfrac{s^2}{2} \mathcal{K} (0) + \dfrac{s^3}{6} {\mathcal{K}}’ (0) + Residuo_y (s)$$ $$z (s) = \dfrac{\mathcal{K} (0) \tau (0)}{6} s^3 + Residuo_z (s)$$

Sea $\alpha: (a,b) \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ una curva parametrizada, sea $\mathcal{I} = (a,b).$

Sea $h : \mathcal{J} = (c, d) \rightarrow \mathcal{I} = (a, b)$ una función monótona $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

$$h (c, d) = (a, b)$$

Sea $t \in (a, b)$ y sea $\tau \in (c, d).$

Podemos hacer la composición $$\beta : \mathcal{J} \rightarrow \mathbb{R}^n$$

$$\beta = \alpha \circ h$$

$\beta ( \tau ) = \alpha ( h (\tau))$

$t = h (\tau)$

entonces ${\beta \, }^{\prime} (\tau) = \frac{d}{d \tau} (\alpha (h(\tau)) = {\alpha}^{\prime} ( h (\tau)) h^{\prime} (\tau)$

Pueden suceder dos casos:

* $h^{\prime} (\tau ) > 0 \; \forall\, \tau \Rightarrow h $ es creciente, entonces el vector ${\beta \, }^{\prime} (\tau)$ es un mútliplo positivo de ${\alpha}^{\prime} ( h (\tau))$, es decir, apunta en la misma dirección.

* $h^{\prime} (\tau ) < 0 \; \forall\, \tau \Rightarrow h $ es decreciente, entonces el vector ${\beta \, }^{\prime} (\tau)$ es un mútliplo negativo de ${\alpha}^{\prime} ( h (\tau))$, es decir, apunta en la dirección contraria.

EJemplo:

Una hélice $\gamma (t) = (\cos t, \sin t, t)$

${\gamma}^{\prime} (t) = (\, -\,\sin t, \cos t, 1)$

$\|{\gamma}’ (t) \| = \sqrt{( -\,\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (1)^2} $

$\|{\gamma}’ (t) \| = \sqrt{2}$ por lo que esta curva está parametrizada con rapidez constante.

Reparametricemos a $\gamma (t)$ con longitud de arco.

Sea $t = h (s)$ tal que $\beta (0) = \gamma (h (s))$ cumpla que $\| {\beta \, }^{\prime} (s) \| = 1$ para toda $s.$

Entonces ${\beta \, }^{\prime} (s) = {\gamma}’ (h (s)) h’ (s)$

$\| {\beta \, }’ (s) \| = \|{\gamma}’ (h (s))\| \, |h’ (s)|$

$\| {\beta \, }’ (s) \| = \sqrt{2} \, |h’ (s)|$

Buscamos $h$ tal que $h’ (s) > 0.$

Entonces $ \sqrt{2} h’ (s) \equiv 1 \Rightarrow h’ (s) \equiv \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Una solución de la ecuación anterior es $h (s) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}s$

Entonces $$\beta (s) = \Bigg( \cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{s}{\sqrt{2}} \Bigg)$$

Esta curva recorre la misma hélice pero ahora está parametrizada con rapidez unitaria.

Longitud de arco medida desde el punto $\beta (0) = (1, 0, 0)$

Calculemos la curvatura de la hélice en cada punto.

$\mathcal{K} (s) = \|{\beta \, }^{\prime \prime} (s) \|$

$\beta (s) = \Bigg( \cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{s}{\sqrt{2}} \Bigg)$

${\beta \, }^{\prime} (s) = \Bigg( – \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Bigg) = T (s)$ unitario.

${\beta \, }^{\prime \prime} (s) = \Bigg( – \dfrac{1}{2}\cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), – \, \dfrac{1}{2}\sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), 0 \Bigg)$

$\|{\beta \, }^{\prime \prime} (s) \| = \sqrt{\Bigg( – \dfrac{1}{2}\cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg)\Bigg)^2 + \Bigg( – \, \dfrac{1}{2}\sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg)\Bigg)^2}$

$\|{\beta \, }^{\prime \prime} (s) \| = \dfrac{1}{2}$

Luego $N (s) = \Bigg( – \, \cos \Bigg( \dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg) ,\, – \, \sin\Bigg( \dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), 0\Bigg)$ que es horizontal y paralelo al plano $xy.$

En el siguiente enlace puedes observar la animación de este ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/tcudugk8

La torsión y el triedro de Frenet – Serret.

Dada una curva $\alpha : \mathcal{I} \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$ parametrizada por longitud de arco, tenemos el vector tangente $T (s) := {\alpha}’ (s).$

Si ${\alpha}^{\prime \prime} (s) \neq \vec{0}$, tenemos el vector normal $N(s) := \dfrac{{\alpha}^{\prime \prime} (s)}{\| {\alpha}^{\prime \prime} (s)\|}$

Observación: $\dfrac{d}{ds} T(s) = \dfrac{d}{ds} {\alpha}’ (s) = {\alpha}^{\prime \prime} (s) = \| {\alpha}^{\prime \prime} (s) \| N (s).$ Entonces $$T’ (s) = \mathcal{K} (s) = N (s)$$

Con $T$ y $N$ podemos producir otro vector, el vector Binormal $\vec{B} (s)$, donde $$\vec{B} (s) = T(s) \times N(s)$$

¿Cómo cambia $\beta\, (s)$?

$$\begin{align*} {\beta \, }’ (s) &= \Big( T (s) \times N (s) \Big)’ \\ &= T’ (s) \times N (s) + T (s) \times N’ (s) \\ &= \mathcal{K} \cdot N(s) \times N(s) + T (s) \times N’ (s) \\ &= \mathcal{K} + T (s) \times (aT + c B) \\ {\beta \, }’ (s) &= c (T \times B) = c N(s) \end{align*}$$

Definamos la torsion de la curva en el punto $\alpha (s)$ como el número $\tau (s)$ tal que $${B \, }’ (s) = – \, \tau (s) N (s)$$

Tres fórmulas

$$\begin{align*} T’ (s) &= \mathcal{K} (s) N(s) \\ {B \, }’ (s) &= – \, \tau (s) N(s) \\ N’ (s) &= \mathcal{K} (s) T (s) + \tau (s) B (s)\end{align*}$$

La fórmula de $N’ (s)$ se deduce a partir de $ N = B \times T $, ya que derivando esta expresión se tiene que:

$$ \begin{align*}N’ &= (B \times T)’ \\ &= {B \, }’ \times T + B \times T’ \\ &= – \, \tau (N \times T) + B \times (\mathcal{K} N) \\ &= \tau (T \times N) + \mathcal{K} (B \times N) \\ N’ &= \mathcal{K} T + \tau B \end{align*} $$

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \frac{y}{x} $$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x = x_0$ constante.

$$f(x_0, y) = \dfrac{y}{x_0}$$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_0 = 0$

$$f(0, y) = 0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1, y) = \dfrac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y = y_0$ constante.

$$f(x, y_0) = \frac{y_0}{x}$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$$f(x, 0) =0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwys

Sea $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ una curva parametrizada por longitu de arco. Y supongamos ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \neq \vec{0}.$

Sea $P =\alpha (s_0)$ y $Q = \alpha (s_1).$

Sea $m$ la mediatriz de $PQ$ y $n$ la recta normal a la curva en el punto $\alpha (s_0)$, la ecuación de $n$ es de la forma:

$$t \longrightarrow \overrightarrow{\alpha}(s_0) + t \, \overrightarrow{N}(s_0)$$

donde $\overrightarrow{N}(s_0) = \dfrac{{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) }{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}.$

Afirmación:

Cuando $s_1$ tiende a $s_0$ la recta $m$ se aproxima a la recta $n.$

$Q = \alpha (s_1) = (x(s_1), y(s_1))$

$P = \alpha (s_0) = (x(s_0), y(s_0))$

$R = $ punto medio $PQ = \Bigg(\dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg)$

Vector de dirección de $m $ ortogonal a $PQ$

$$PQ = \Big( – \, y(s_1)\, – \, y(s_0), x(s_1)\, – \, x(s_0) \Big)$$

La ecuación de $m$ es

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( x(s_1) \, – \, x(s_0), y(s_1) \, – \, y(s_0) \Bigg) = 0$$

Fijamos $s_0$ y dividimos todo entre $s_1 \, – \, s_0$

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \ x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( \dfrac{x(s_1) \, – \, x(s_0)}{s_1 \, – \, s_0}, \dfrac{y(s_1) \, – \, y(s_0)}{s_1 \, – \, s_0} \Bigg) = 0$$

Haciendo $s_1 \longrightarrow s_0$

$$\big(x \, – \, x(s_0), y \, – \, y(s_0) \big) \cdot \big(x'(s_0), y'(s_0) \big) = 0$$

donde esta última es la ecuación de $n.$

(1) Restringimos la búsqueda del centro de la circunferencia osculatriz a puntos en la recta normal a la curva en el punto $P = \alpha (s_0).$

Ecuación paramétrica de dicha recta

$$\big\{ \big(x(s_0), y(s_0) \big) + t \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \big| t \in \mathbb{R} \big\}$$

Buscamos un valor de $t$ en especial. $t^*$ tal que está en la intersección de las dos rectas normales y es de la forma

$$\big(x(s_0), y(s_0) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big)$$

Veamos que pasa cuando $Q \rightarrow P$ es decir, cuando $s_1 \rightarrow s_0$

$ \big(x(s_0), y(s_0) \big) = P$ fijo.

$\big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big)$ fijo.

solo varía $t$

¿Qué podemos decir de $t^*$ cuando $s_1 \rightarrow s_0$

Para responder a esta pregunta usamos la ecuación anterior para tener una expresión más «amigable» de $t^*.$

Tratamos de despejar $t^*$ en función de $s_0$ y $s_1.$

(2) Despejar $t^*$

$$ t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \, – \, t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) \, – \, \big( x(s_0), y(s_0) \big) $$

$$ t^* \Bigg(\dfrac{y’ (s_1) \, – \, y’ (s_0)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) , \Bigg( \dfrac{(x’ (s_0) \, – \, x’ (s_1)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) = \dfrac{(x(s_1) \, – \, x(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} \, – \, \dfrac{(y(s_1) \, – \, y(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} $$

Tomando el límite cuando $s_1 \longrightarrow s_0$, obtenemos que:

$\hat{t} ({y}^{\prime \prime} (s_0), – \, {x}^{\prime \prime} (s_0)) = \big(x’ (s_0), {y \, }’ (s_0) \big)$

Multiplicando por $ \big( {x}^{\prime} (s_0), {y}^{\prime} (s_0) \big)$

$$ \hat{t} \big(x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) = 1$$

Por lo tanto

$$ \hat{t} = \dfrac{1}{ \big( x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) }$$

es el radio de la circunferencia osculatriz.

Sin pérdida de generalidad; si la curva está parametrizada de tal forma que ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) = \big({x}^{\prime \prime} (s_0), {y}^{\prime \prime} (s_0) \big) = \mathcal{K}(s_0) \big(\, – \, {y}^{\prime} (s_0) , {x}^{\prime} (s_0) \big)$ con $\mathcal{K} (s_0) > 0.$

En tal caso, $\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\| = \mathcal{K} (s_0)$ es la curvatura.

$\Biggr|\begin{matrix} {x}^{\prime} (s_0) & {x}^{\prime \prime} (s_0) \\ {y}^{\prime} (s_0) & {y}^{\prime \prime} (s_0) \end{matrix} \Biggr| = {x}^{\prime} {y}^{\prime \prime} \, – \ {y}^{\prime} {x}^{\prime \prime} = \dfrac{1}{\mathcal{K}}$

Sean:

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

$ \beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0) = \beta (t_0) = \vec{x_0}$;

${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$ y

${\beta}’ (t_0) \neq \vec{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha}’ (t_0)$ y ${\beta}’ (t_0)$

$$ \cos \theta = \dfrac{{\alpha}’ (t_0) \cdot {\beta}’ (t_0)}{ \|{\alpha}’ (t_0)\| \|{\beta}’ (t_0)\|}$$

En el siguiente enlace puedes observar un ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/dwafdmgt

Longitud de arco

Sea $ \alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ continua.

Para cada partición del $[a, b]$, $t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \| = \mathcal{L} (C) $$

$\mathcal{L} (C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\vec{p} = \alpha (a)$ hasta $\vec{q} = \alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\left\{ \sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \|; t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b\right\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X}, d)$, con

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{X}$

$$ \mathcal{L}(C)= \sum\limits_{i = 1}^n d \left( \alpha (t_{i-1}), \alpha (t_i) \right)$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$