Sea $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ una curva parametrizada por longitud de arco. Y supongamos ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \neq \vec{0}.$

Sea $P =\alpha (s_0)$ y $Q = \alpha (s_1).$

Sea $m$ la mediatriz de $PQ$ y $n$ la recta normal a la curva en el punto $\alpha (s_0)$, la ecuación de $n$ es de la forma:

$$t \longrightarrow \overrightarrow{\alpha}(s_0) + t \, \overrightarrow{N}(s_0)$$

donde $\overrightarrow{N}(s_0) = \dfrac{{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) }{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}.$

Afirmación:

Cuando $s_1$ tiende a $s_0$ la recta $m$ se aproxima a la recta $n.$

$Q = \alpha (s_1) = (x(s_1), y(s_1))$

$P = \alpha (s_0) = (x(s_0), y(s_0))$

$R = $ punto medio $PQ = \Bigg(\dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg)$

Vector de dirección de $m $ ortogonal a $PQ$

$$PQ = \Big( – \, y(s_1)\, – \, y(s_0), x(s_1)\, – \, x(s_0) \Big)$$

La ecuación de $m$ es

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( x(s_1) \, – \, x(s_0), y(s_1) \, – \, y(s_0) \Bigg) = 0$$

Fijamos $s_0$ y dividimos todo entre $s_1 \, – \, s_0$

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \ x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( \dfrac{x(s_1) \, – \, x(s_0)}{s_1 \, – \, s_0}, \dfrac{y(s_1) \, – \, y(s_0)}{s_1 \, – \, s_0} \Bigg) = 0$$

Haciendo $s_1 \longrightarrow s_0$

$$\big(x \, – \, x(s_0), y \, – \, y(s_0) \big) \cdot \big(x'(s_0), y'(s_0) \big) = 0$$

donde esta última es la ecuación de $n.$

(1) Restringimos la búsqueda del centro de la circunferencia osculatriz a puntos en la recta normal a la curva en el punto $P = \alpha (s_0).$

Ecuación paramétrica de dicha recta

$$\big\{ \big(x(s_0), y(s_0) \big) + t \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \big| t \in \mathbb{R} \big\}$$

Buscamos un valor de $t$ en especial. $t^*$ tal que está en la intersección de las dos rectas normales y es de la forma

$$\big(x(s_0), y(s_0) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big)$$

Veamos que pasa cuando $Q \rightarrow P$ es decir, cuando $s_1 \rightarrow s_0$

$ \big(x(s_0), y(s_0) \big) = P$ fijo.

$\big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big)$ fijo.

solo varía $t$

¿Qué podemos decir de $t^*$ cuando $s_1 \rightarrow s_0$

Para responder a esta pregunta usamos la ecuación anterior para tener una expresión más «amigable» de $t^*.$

Tratamos de despejar $t^*$ en función de $s_0$ y $s_1.$

(2) Despejar $t^*$

$$ t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \, – \, t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) \, – \, \big( x(s_0), y(s_0) \big) $$

$$ t^* \Bigg(\dfrac{y’ (s_1) \, – \, y’ (s_0)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) , \Bigg( \dfrac{(x’ (s_0) \, – \, x’ (s_1)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) = \dfrac{(x(s_1) \, – \, x(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} \, – \, \dfrac{(y(s_1) \, – \, y(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} $$

Tomando el límite cuando $s_1 \longrightarrow s_0$, obtenemos que:

$\hat{t} ({y}^{\prime \prime} (s_0), – \, {x}^{\prime \prime} (s_0)) = \big(x’ (s_0), {y \, }’ (s_0) \big)$

Multiplicando por $ \big( {x}^{\prime} (s_0), {y}^{\prime} (s_0) \big)$

$$ \hat{t} \big(x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) = 1$$

Por lo tanto

$$ \hat{t} = \dfrac{1}{ \big( x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) }$$

es el radio de la circunferencia osculatriz.

Sin pérdida de generalidad; si la curva está parametrizada de tal forma que ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) = \big({x}^{\prime \prime} (s_0), {y}^{\prime \prime} (s_0) \big) = \mathcal{K}(s_0) \big(\, – \, {y}^{\prime} (s_0) , {x}^{\prime} (s_0) \big)$ con $\mathcal{K} (s_0) > 0.$

En tal caso, $\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\| = \mathcal{K} (s_0)$ es la curvatura.

$\Biggr|\begin{matrix} {x}^{\prime} (s_0) & {x}^{\prime \prime} (s_0) \\ {y}^{\prime} (s_0) & {y}^{\prime \prime} (s_0) \end{matrix} \Biggr| = {x}^{\prime} {y}^{\prime \prime} \, – \ {y}^{\prime} {x}^{\prime \prime} = \dfrac{1}{\mathcal{K}}$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de los conceptos trabajados aplicados a una caso particular.

https://www.geogebra.org/classic/bppzcxq6

Sean:

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

$ \beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0) = \beta (t_0) = \vec{x_0}$;

${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$ y

${\beta}’ (t_0) \neq \vec{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha}’ (t_0)$ y ${\beta}’ (t_0)$

$$ \cos \theta = \dfrac{{\alpha}’ (t_0) \cdot {\beta}’ (t_0)}{ \|{\alpha}’ (t_0)\| \|{\beta}’ (t_0)\|}$$

En esta imagen puedes observar un ejemplo.

Longitud de arco

Sea $ \alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ continua.

Para cada partición del $[a, b]$, $t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \| = \mathcal{L} (C) $$

$\mathcal{L} (C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\vec{p} = \alpha (a)$ hasta $\vec{q} = \alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\left\{ \sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \|; t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b\right\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X}, d)$, con

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{X}$

$$ \mathcal{L}(C)= \sum\limits_{i = 1}^n d \left( \alpha (t_{i-1}), \alpha (t_i) \right)$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Curvas parametrizadas

Sea $$ \alpha (t) = (x(t), y(t), z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t), y(t), z(t))$ la posición en el espacio.

Es decir, para cada $t$ tenemos que:

$$t \longrightarrow (x(t), y(t), z(t))$$

Y la curva representa el camino que describe.

La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:

$$ {\alpha}’ (t) = ({x}'(t), {y}'(t), {z}'(t))$$

$${\alpha}’ (t) = \lim_{\Delta t \to \infty} \dfrac{(\alpha (t_0 \, – \, \Delta t) \, – \, \alpha (t_0))}{\Delta t} $$

Y representa la velocidad instantánea.

La rapidez es $\|{\alpha}’ (t) \|.$

Además, la aceleración instantánea está dada por $${\alpha}^{\prime \prime} (t)$$

Movimiento rectilíneo uniforme

Dado el punto $\vec{p_0} (x_0, y_0, z_0)$ que representa la posición inicial.

El vector velocidad constante, está dado por $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3).$

Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$ \alpha (t) = \vec{p_0} + \vec{v}(t)$$ $$ \alpha (t) = (x_0, y_0, z_0) +t(v_1, v_2, v_3)$$ $$ \alpha (t) = (x_0 + t v_1, y_0 + t v_2, z_0 + t v_3)$$

La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t) = \alpha (t_0) + t {\alpha}’ (t_0)$$

Existe una recta tangente si ${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$.

Si ${\alpha}’ (t_0) = \vec{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t) = \vec{p_0}$ para toda $t.$

Los puntos donde ${\alpha}’ (t_0) = 0$ son excepcionales.

${}$

Haz click en la imagen para ver una animación de la parametrización.

Curvatura de una curva

La curvatura de una curva $\alpha : [a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ en un punto $\alpha(t_0)$ es la curvatura de la circunferencia osculatriz (osculadora), «la que más se parece a la curva cerca del punto».

• ¿Cuál es la curvatura de una circunferencia?

• De todas las circunferencias que pasan por el punto, ¿cuál es la que más se parece a la curva?

Definamos la curvatura de una circunferencia de radio $r$ como el número $\textcolor{RoyalBlue}{\mathcal{K} = \frac{1}{r}}$

Observación «física»:

Supongamos que tenemos una circunferencia parametrizada con rapidez constante 1.

$\alpha (s)$ nos da la posición.

${\alpha}’ (s)$ nos da la velocidad.

${\alpha}^{\prime \prime} (s)$ nos da la aceleración.

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\| = 1$

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\|^2 = 1$ constante.

Como la aceleración es perpendicular a la velocidad, se cumple que $ \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\rangle = 0$

$ \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}’ (s) \big\rangle \equiv 1$ derivando $ \big\langle {\alpha}^{\prime \prime} (s) , {\alpha}’ (s) \big\rangle + \big\langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\rangle \equiv 0$

¿Cuál es la relación que hay entre $\mathcal{K}$ y ${\alpha}^{\prime \prime} (s)$ ?

Circunferencia de radio $1$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = (\cos (t), \sin (t))$

${\alpha}’ (t) = ( – \sin (t) , \cos (t))$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 1$

Circunferencia de radio $2$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = 2 \big( \cos (t), \sin (t) \big)$

${\alpha}’ (t) = 2 \big( – \sin (t) , \cos (t) \big)$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 2$

Reparametricemos

$t = h(s)$ inyectiva, creciente, derivable.

$\beta (s) = \alpha (h(s))$

Tal que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

Como $\beta (s) = \alpha \big( h(s) \big)$ entonces, ${\beta \, }’ (s) = {\alpha}’ \big( h(s) \big) h’ (s).$

Luego, $ \big\| {\alpha}’ (h(s)) \big\| h’ (s) = 1 $

$2 h’ (s) = 1$

$h’ (s) = \frac{1}{2}$

Entonces, nos sirve la función $h(s) = \frac{1}{2}s $

$\beta (s) = 2 \big(\cos \big(\frac{1}{2} s \big), \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = \big( – \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

${\beta}^{\prime \prime} (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big), – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {\beta}^{\prime \prime} (s) \big\| = \frac{1}{2}$

Circunferencia de radio $r > 0$

$\alpha (s) = r \big(\cos \big(\frac{1}{r}s \big), r \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${\alpha}’ (s) = \big(- \sin \big(\frac{1}{r}s \big), \cos \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${\alpha}^{\prime \prime} (s) = \big( – \frac{1}{r} \cos \big(\frac{1}{r}s \big), – \frac{1}{r} \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

$\big\| {\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\| = \frac{1}{r}$ es la «curvatura».

En general, dada una curva $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ si ${\alpha \, }’ (t_0) \neq \vec{0}$, podemos definir «el» vector tangente unitario como $$\textcolor{ForestGreen}{\vec{T} (t_0) = \frac{{\alpha \, }’ (t_0) }{ \big\| {\alpha \, }’ (t_0) \big\|}}$$

Si la curva está parametrizada con rapidez unitaria $\alpha (s) $ tal que existe ${\alpha}’ (s)$ con $\big\|{\alpha \, }'(s) \big\| = 1$ para toda $s$, se tiene que $$T(s) = {\alpha \, }’ (s)$$

Dada una curva $\alpha (t)$, de clase $\mathcal{C}^1$, podemos reparametrizarla con rapidez unitaria.

Si ${\alpha \, }’ (t) \neq \vec{0} \; \; \forall \, t$; decimos que la curva es «regular».

Buscamos una función $t = h(s)$ tal que $\beta = \alpha \circ h$ y ${\beta \, }’ (s) = {\alpha \, }’ (h(s)) h’ (s)$ y que cumple que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$ entonces $\big\|{\beta\, }’ (s) \big\| = \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\| h’ (s)$, con $h$ una función creciente.

Por lo que $$h’ (s) = \frac{1}{ \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\|}$$

Si además podemos que ${\alpha}^{\prime \prime} (s) \neq \vec{0}$ entonces, definimos «el» vector normal $N (s)$ como $$\textcolor{NavyBlue}{N (s) = \frac{{\alpha}^{\prime \prime} (s)}{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s) \big\|}}$$

Dada una curva $\alpha (t)$, si ${\alpha \, }’ (t) \neq 0$ y existe ${\alpha}^{\prime \prime} (t)$ entonces $${\alpha}^{\prime \prime} (t) = \lambda {\alpha \, }’ (t) + \beta (t) $$

donde ${\alpha}^{\prime \prime} (t)$ es la aceleración,

${\alpha \, }’ (t)$ es la aceleración tangencial, y

$\beta (t)$ es la aceleración normal.

Es decir $${\alpha}^{\prime \prime} (t) = \lambda T (t) + N (t) $$

¿Cuál es la circunferencia osculatriz?

El radio está dado por $$\textcolor{BrickRed}{\frac{1}{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}}$$

El centro de la circunferencia osculatriz es $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}.N(s_0) $$ $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}. \frac{{\alpha}^{\prime \prime} (s_0)}{ \big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}$$ $$ \textcolor{BrickRed}{\text{Centro} = \alpha (s_0) + \frac{{\alpha }^{\prime \prime} (s_0)}{{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0)} \big\|^2}}$$

En conclusión, la curvatura mide el cambio en la dirección comparado con el cambio en la longitud de arco recorrida.

En la siguiente imagen puedes observar una animación de lo explicado en esta entrada.

https://www.geogebra.org/classic/atjan5cd

Teorema 2:

Sean $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

Entonces

(1) $ f + g$ es continua.

(2) $f . g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0) \neq 0, \frac{f}{g} $ es continua.

Demostración:

Primer inciso:

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(1) $\big[$ por demostrar: $ f + g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0) \big)…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0) \Rightarrow f(x) + g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0) + g(x_0) \big)$ con $\delta_3 = mín \big\{ \delta_1 , \delta_2 \big\}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:

Sumando $ \big\| f(x) \, – \, f(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$ y $\big\| g(x) \, – \, g(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$ se tiene que $$\big\| f(x) \, – \, f(x_0) \, + \, g(x) \, – \, g(x_0) \big\| \leq \big\| f(x) \, – \, f(x_0) \big\| + \big\| g(x) \, – \, g(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$

Segundo inciso.

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(2) $\big[$ por demostrar: $f . g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Sea $\delta_0$ tal que si $x \in B_{\delta_0}(x_0)$ entonces $ \big| f(x) \big| < 1 + \big| f(x_0) \big|$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( f(x_0) \big)…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0)\big)…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0).g(x_0) \big).$

Sea $ \delta_3 = mín \big\{ \delta_0 , \delta_1 , \delta_2 \big\}$

$\big[$ por demostrar: $ \big|f(x)g(x) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| < \epsilon.$ $\big]$

$\begin{align*} \big| f(x)g(x) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| &= \big| f(x)g(x) \, – \, f(x)g(x_0) \, + \, f(x)g(x_0) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| < \big| f(x)g(x) \, – \, f(x)g(x_0) \big| + \big| f(x)g(x_0) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| \\ \\ &= \big| f(x)|.|g(x) \, – \, g(x_0) \big| + \big| f(x) \, – \, f(x_0) \big|.\big| g(x_0) \big| \leq \big|(1 + \big| f(x_0) \big| \big) \big| g(x) \, – \, g(x_0) \big| + \big| f(x) \, – \, f(x_0) \big|. \big| g(x_0) \big| \\ \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}$