Dado un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}^n$ decimos que un punto $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A$. $$\{ x \in \mathbb{R}^n |\; \| x-x_0\| < r \} \subseteq A$$

https://www.geogebra.org/classic/frqfnkeq

Observación: esta definición vale en un espacio métrico $(X, d)$. $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\{ x \in X |\; d( x,x_0) < r \} \subseteq A$$

Decimos que un punto $x_0$ es punto exterior de $A$ si existe $r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A^c$. $$\{ x \in \mathbb{R}^n |\; \| x-x_0\| < r \} \subseteq \mathbb{R}^n \setminus A = A^c$$

https://www.geogebra.org/classic/bmvvkaqd

Observación: en un espacio métrico $(X, d)$,$x_0$ es punto exterior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\{x \in X | d(x,x_0) < r \} \subseteq X\setminus A$$

Decimos que un punto $x_0$ es un punto frontera de $A$ si $\forall r > 0$ la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ tiene puntos tanto de $A$ como de $A^c.$ $$\{x \in \mathbb{R}^n |\; \| x-x_0\| < r \} \cap A \neq \emptyset $$ $$\land \{\| x-x_0\| < r \} \cap A^c \neq \emptyset $$

El conjunto cuyos elementos son los puntos interiores de $A$ recibe el nombre de interior de $A$. $$\{x \in \mathbb{R}^n | x \; \text{es punto interior de}\; A \}= int A = A^0$$

El conjunto de los puntos frontera de $A$ es la frontera de $A$. $$\{ x \in \mathbb{R}^n | x \; \text{es punto frontera de}\; A \} = \partial A = Fr A$$

Observación: int$A \subseteq A$ $$x \in \text{int} A \Rightarrow \exists B_r (x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in B_r(x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in A$$

Definición: decimos que un conjunto $A$ es abierto $\iff$ int$A=A$.

Definición: decimos que un conjunto $F$ es cerrado $\iff$ $F^c$ es abierto.

Definición: decimos la cerradura de $F$ es $\bar{F} = F \cup \partial F$.