Dado un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}^n$ decimos que un punto $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \subseteq A$$
https://www.geogebra.org/classic/frqfnkeq
Observación: esta definición vale en un espacio métrico $\big(X, d\big)$. $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\big\{ x \in X \; \big| \; d( x,x_0) < r \big\} \subseteq A$$
Decimos que un punto $x_0$ es punto exterior de $A$ si existe $r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A^c$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \subseteq \mathbb{R}^n \setminus A = A^c$$
https://www.geogebra.org/classic/bmvvkaqd
Observación: en un espacio métrico $\big(X, d \big)$,$x_0$ es punto exterior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\big\{x \in X \; \big| \; d(x,x_0) < r \big\} \subseteq X\setminus A$$
Decimos que un punto $x_0$ es un punto frontera de $A$ si $\forall r > 0$ la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ tiene puntos tanto de $A$ como de $A^c.$ $$\big\{x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \cap A \neq \emptyset $$ $$\land \big\{\| x-x_0\| < r \big\} \cap A^c \neq \emptyset $$
El conjunto cuyos elementos son los puntos interiores de $A$ recibe el nombre de interior de $A$. $$\{x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; x \; \text{es punto interior de}\; A \}= int A = A^0$$
El conjunto de los puntos frontera de $A$ es la frontera de $A$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; x \; \text{es punto frontera de}\; A \big\} = \partial A = Fr A$$
Observación: int$A \subseteq A$ $$x \in \text{int} A \Rightarrow \exists B_r (x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in B_r(x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in A$$
Definición: decimos que un conjunto $A$ es abierto $\iff$ int$A=A$.
Definición: decimos que un conjunto $F$ es cerrado $\iff$ $F^c$ es abierto.
Definición: decimos la cerradura de $F$ es $\overline{F} = F \cup \partial F$.