Problema de maximización (o minimización)

Sea $ f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ sujeta a dos restricciones:

$g_1 (x, y, z) = 0$

$g_2 (x, y, z) = 0$

Hipótesis:

Para todo $ \vec{p} \in {g_1}^{-1} (0) \cap {g_2}^{-1} (0) \neq \emptyset$ los gradientes $\nabla g_1 (\vec{p})$ y $\nabla g_2 (\vec{p})$ son linealmente independientes.

Sea $\vec{q}$ un punto en donde $f\big|_{{g_1}^{-1} (0) \cap {g_2}^{-1} (0)}$ alcanza un valor extremo, le aplicamos el teorema de la función implícita a $G : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $(x, y, z) \rightarrow \big( g_1 (x, y, z), g_2 (x, y, z) \big)$

Sin pérdida de generalidad, supongamos $\begin{align*} x = h_1 (z) \\ y = h_2 (z) \end{align*}$

$f\big|_{{g_1}^{-1} (0) \cap {g_2}^{-1} (0)}$ puede verse como una función $\mathcal{I} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{J} \subseteq \mathbb{R}$ tal que

$z \rightarrow f \big( h_1 (x, y, z) , h_2 (x, y, z) , z \big)$

Entonces $ (x, y, z)$ es solución del sistema de ecuaciones cerca del punto $\vec{q}$ si y sólo si

$x = h_1 (z)$

$y = h_2 (z)$

$\alpha (z) = \big( h_1 (x, y, z) , h_2 (x, y, z) , z \big)$ parametriza un «pedacito» de curva (que pasa por $\vec{q}$).

Maximizar $f ( \alpha (z) )$

Derivando

$\nabla f \big( \alpha (z) \big) \cdot {\alpha \, }’ (z) = \Big( \dfrac{\partial f}{\partial x} , \dfrac{\partial f}{\partial y} , \dfrac{\partial f}{\partial z} \Big) \cdot \Big( {h_1}’ , {h_2}’ , 1 \Big) = 0$

$\dfrac{\partial f}{\partial x} {h_1}’ \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial y} {h_2}’ \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial z} = 0$

Luego $\nabla f$ es ortogonal a ${\alpha \, }’$, es decir, $\nabla f$ está en el plano generado por $\nabla g_1$ y $\nabla g_2$, es decir,

$$\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 \, + \, \lambda_2 \nabla g_2$$