Problema de maximización (o minimización)

Sea $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ sujeta a dos restricciones:

$g_1(x,y,z)=0$

$g_2(x,y,z)=0$

Hipótesis:

Para todo $\overrightarrow{p}\in {g_1}^{-1}(0)\cap {g_2}^{-1}(0)\ne \mathrm{\varnothing }$ los gradientes $\mathrm{\nabla }{g}_1(\overrightarrow{p})$ y $\mathrm{\nabla }{g}_2(\overrightarrow{p})$ son linealmente independientes.

Sea $\overrightarrow{q}$ un punto en donde $f{|}_{{g_1}^{-1}(0)\cap {g_2}^{-1}(0)}$ alcanza un valor extremo, le aplicamos el teorema de la función implícita a $G:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ tal que $(x,y,z)\to (g_1(x,y,z),g_2(x,y,z))$

Sin pérdida de generalidad, supongamos $\begin{array}{r}x=h_1(z)\\ y=h_2(z)\end{array}$

$f{|}_{{g_1}^{-1}(0)\cap {g_2}^{-1}(0)}$ puede verse como una función $\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\to \mathcal{J}\subseteq \mathbb{R}$ tal que

$z\to f(h_1(x,y,z),h_2(x,y,z),z)$

Entonces $(x,y,z)$ es solución del sistema de ecuaciones cerca del punto $\overrightarrow{q}$ si y sólo si

$x=h_1(z)$

$y=h_2(z)$

$\alpha (z)=(h_1(x,y,z),h_2(x,y,z),z)$ parametriza un «pedacito» de curva (que pasa por $\overrightarrow{q}$).

Maximizar $f(\alpha (z))$

Derivando

$\mathrm{\nabla }f(\alpha (z))\cdot {\alpha }^{\prime }(z)=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}})\cdot ({h_1}^{\prime },{h_2}^{\prime },1)=0$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}{h_1}^{\prime }+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}{h_2}^{\prime }+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}=0$

Luego $\mathrm{\nabla }f$ es ortogonal a ${\alpha }^{\prime }$, es decir, $\mathrm{\nabla }f$ está en el plano generado por $\mathrm{\nabla }{g}_1$ y $\mathrm{\nabla }{g}_2$, es decir,

$$\mathrm{\nabla }f={\lambda }_1\mathrm{\nabla }{g}_1+{\lambda }_2\mathrm{\nabla }{g}_2$$