El teorema de la función implícita se usa para determinar si el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones es una curva suave o una superficie suave o una variedad suave.

Una ecuación con dos variables

$f(x,y)=0$

$f^{-1}(0)=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|f(x,y)=0\}$ conjunto de nivel.

*) Podría ser un punto,

**) podrían ser varias curvas que se cruzan, o

***) podría ser una curva con picos.

Para que sea una curva sin picos se debe cumplir las siguientes condiciones:

$f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ de clase ${\mathcal{C}}^1$, $f^{-1}(0)\ne \mathrm{\varnothing }$

$\mathrm{\nabla }f(p)\ne \overrightarrow{0}$, para todo $p\in f^{-1}(0)$

Entonces, $f^{-1}(0)$ es una curva suave sin autointersecciones.

Si $\mathrm{\nabla }f(p)\ne \overrightarrow{0}$, entonces

a) ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(p)\ne 0$ entonces existe una función $g$ tal que, cerca de $p$, $f^{-1}(0)$ es la gráfica de $x=g(y)$; o

b) ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(p)\ne 0$ entonces existe una función $h$ tal que, cerca de $p$, $f^{-1}(0)$ es la gráfica de $y=h(x)$

Una ecuación con tres variables

$f(x,y,z)=0$

$f^{-1}(0)=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|f(x,y)=0\}$ conjunto de nivel.

*) Podría ser un punto,

**) podrían ser varias curvas que se cruzan, o

***) podría ser una curva con picos.

Condiciones

$f^{-1}(0)\ne \mathrm{\varnothing }$, con $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ de clase ${\mathbb{C}}^1$

$\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{p})\ne \overrightarrow{0}$ para todo $\overrightarrow{p}\in f^{-1}(0)$

Entonces $f^{-1}(0)$ es una superficie suave sin autointersecciones.

Si $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{p})\ne \overrightarrow{0}$ entonces:

i) ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(\overrightarrow{p})\ne 0$ entonces existe $g$ tal que $x=g(y,z)$

ii) ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(\overrightarrow{p})\ne 0$ entonces existe $h$ tal que $y=h(x,z)$

iii) ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}(\overrightarrow{p})\ne 0$ entonces existe $\phi$ tal que $z=\phi (x,y)$

Dos ecuaciones con tres variables

$f(x,y,z)=0$

$g(x,y,z)=0$

¿Qué podrían ser?

*) Podría ser un punto.

**) Podrían ser varias curvas que se cruzan.

***) Podría ser una curva con picos.

Condición

Sea $F:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ tal que

$F(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z))$

El conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones

$f(x,y,z)=0$

$g(x,y,z)=0$

podemos verlo de dos formas

a) como la intersección de dos conjuntos de nivel

$$f^{-1}(0)\cap g^{-1}(0)$$

b) como la imagen inversa de $(0,0)$ bajo $F$, es decir $F^{-1}(0,0).$

$$

Si pedimos que $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{p})\ne \overrightarrow{0}$ y que $\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{p})\ne \overrightarrow{0}$ para todo $\overrightarrow{p}\in f^{-1}(0)\cap g^{-1}(0)$, lo único que podemos concluir es que localmente, el conjunto de soluciones es la intersección de dos superficies suaves

$\mathrm{\nabla }f=(0,0,1)f(x,y,z)=z$

$\mathrm{\nabla }g=(2x,–2y,–1)f(x,y,z)=x^2–y^2–z$

$f^{-1}(0)$ plano $z=0$

$g^{-1}(0)$ es la silla $z=x^2–y^2$

Necesitamos que

$\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{p})$ y $\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{p})$ sean linealmente independientes en todo $\overrightarrow{p}\in f^{-1}(0)\cap g^{-1}(0)$.

La matriz de la diferencial de $F$ en $\overrightarrow{p}$ es

$$\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}(\overrightarrow{p})\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}}(\overrightarrow{p})\end{array}\right)$$

¿Qué condiciones debemos pedir en este caso?

Que los gradientes de $f$ y $g$ sean linealmente independientes.

Equivalentemente, que la matriz tenga rango 2.

Equivalentemente, que al menos un subdeterminante de 2×2 (un menor) sea distinto de CERO. De esta última condición, tenemos tres posibilidades:

a) $\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(\overrightarrow{p})\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}(\overrightarrow{p})\end{array}\right|$

b) $\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}(\overrightarrow{p})\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}}(\overrightarrow{p})\end{array}\right|$

c) $\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}(\overrightarrow{p})\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}(\overrightarrow{p})& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}}(\overrightarrow{p})\end{array}\right|$

Si a) se cumple, entonces

$x=h_1(z)$

$y=h_2(z)$

Si b) se cumple, entonces

$x=g_1(y)$

$z=g_2(y)$

Si c) se cumple, entonces

$y={\phi }_1(x)$

$z={\phi }_2(x)$

Veamos un ejemplo de este tipo.

Sea $F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2–1,x+y+z–1)$

$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2–1=0$, esfera de radio 1 y centro $(0,0,0)$, y

$g(x,y,z)=x+y+z–1=0$, plano que pasa por: $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$.

La matriz de la diferencial de $F$ en $\overrightarrow{p}$ es

$\left(\begin{array}{ccc}2x& 2y& 2z\\ \\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Tomemos el punto $(0,0,1)$, luego analizamos los menores en ese punto:

$\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ \\ 1& 1\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ \\ 1& 1\end{array}\right|=–2\ne 0$ entonces $x=g_1(y);y=g_2(y)$

$\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ \\ 1& 1\end{array}\right|=–2\ne 0$ entonces $y={\phi }_1(x);z={\phi }_2(x)$

Luego, puedo elegir culaquiera de estas últimas dos opciones.

En ninguna vecindad del $(0,0,1)$ en la circunferencia se parametriza como función de $z$

$$\alpha (z)=(x(z),y(z),z)$$

$\alpha :(–ϵ,ϵ)\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$

$\alpha (x)=(x,\phi (x),\psi (x))$ entonces $y=\phi (x)$ y $z=\psi (x)$ parametriza una vecindad del conjunto de soluciones cerca del punto $(0,0,1)$.

$\{\begin{array}{rl}{x}^2+\phi (x{)}^2+\psi (x{)}^2& =1\\ \\ x+\phi (x)+\psi (x)& =1\end{array}$

Derivando con respecto a $x$

$\{\begin{array}{rl}\cancel{2}x+\cancel{2}\phi (x)+\cancel{2}\psi (x)& =0\\ \\ 1+{\phi }^{\prime }(x)+{\psi }^{\prime }(x)& =0\end{array}$

$\left(\begin{array}{cc}\phi (x)& \psi (x)\\ \\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }(x)\\ \\ {\psi }^{\prime }(x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}–x\\ \\ –1\end{array}\right)$

entonces en el punto $p=(0,0,1)=\alpha (0)$

$\phi (0)=0$

$\psi (0)=1$

se tiene que

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }(0)\\ \\ {\psi }^{\prime }(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \\ –1\end{array}\right)$

Entonces

$\left(\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }(0)\\ \\ {\psi }^{\prime }(0)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \\ 1& 1\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\ \\ –1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }(0)\\ \\ {\psi }^{\prime }(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}–1& 1\\ \\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ \\ –1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}–1\\ \\ 0\end{array}\right)$

Entonces ${\alpha }^{\prime }(0)=(1,–1,0)$

Idea general, bajo condiciones adecuadas «genéricas» las propiedades de la derivada (de la diferencial; de la mejor aproximación lineal cerca del punto) se heredan a la función.

Si $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, $F(f,g)$

$d{F}_p:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$

$\left(\begin{array}{cc}{f}_x(\overrightarrow{p})& f_y(\overrightarrow{p})\\ \\ g_x(\overrightarrow{p})& g_y(\overrightarrow{p})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ \\ h_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ \\ k_2\end{array}\right)$

$d{F}_p$ es invertible si y sólo si la matriz tiene determinante distinto de cero. Luego $F$ localmente es invertible (cerca de $\overrightarrow{p}$ ), quiere decir que podemos despejar las variables independientes.

$u=f(x,y)$ entonces $x=h(u,v)$

$v=g(x,y)$ entonces $y=k(u,v)$