Ejemplo
Determine el valor máximo y mínimo de $ f (x, y, z) = \, – \, x \, + \, 2y \, + \, 2z$ en la elipse en el espacio dada por la intersección de las superficies $x^2 + y^2 = 2$ y $ y + 2z = 1$
Una forma de abordar el problema
Las dos restricciones
$ \begin{align*} g_1 ( x, y, z) &= 0 \\ g_2 ( x, y, z) &= 0 \end{align*}$
nos dan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.
En principio, podemos despejar dos variables en función de la tercera.
Sin pérdida de generalidad, supongamos $x = {\varphi}_1 (z)$ y $y = {\varphi}_2 (z).$
$z \rightarrow \big( {\varphi}_1 (z) , {\varphi}_2 (z) , {\varphi}_3 (z) \big)$ es una parametrización de la curva.
Necesitamos una versión adecuada del teorema de la función implícita.
$ g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$
$ g (x, y, z) = \Big( g_1 (x, y, z), g_2 (x, y, z) \Big)$
$ (x_0 , y_0 , z_0 ) \in \mathbb{R}^3$ tal que $g_1 ( x, y, z) = 0 $ y $ g_2 ( x, y, z) = 0$
El vector tangente a la curva será colineal con el producto cruz de los vectores normales $\nabla g_1$ y $\nabla g_2$
$$ \nabla g_1 \times \nabla g_2$$
Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ anclados en el punto son $\nabla g_1$, $\nabla g_2$ y $\nabla f.$
$T$ es el vector tangente a la curva tal que
$$T \perp \nabla g_1$$
$$T \perp \nabla g_2$$
$$T \perp \nabla f $$
$$\nabla f = {\lambda}_1 \nabla g_1 \, + \, {\lambda}_2 \nabla g_2$$
Calculemos los gradientes
$\nabla f (x, y, z) = \Big(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z} \Big)$
$\nabla f (x, y, z) = ( \, – \, 1, 2, 2 )$
$\nabla g_1 (x, y, z) = ( 2x , 2y , 0 )$
$\nabla g_2 (x, y, z) = ( 0 , 1 , 2 )$
Si $f \Big|_{\mathcal{K}}$, con $\mathcal{K} = (g_1 = 0 ) \cap ( g_2 = 0)$, alcanza un valor extremo en un punto $(x_0, y_0, z_0)$, entonces ese punto satisface el sistema de ecuaciones:
$g_1 (x, y, z) = 0$
$g_2 (x, y, z) = 0$
$\nabla f = {\lambda}_1 \nabla g_1 \, + \, {\lambda}_2 \nabla g_2$
$\begin{pmatrix} \, – \, 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = {\lambda}_1 \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 0 \end{pmatrix} \, + \, {\lambda}_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Entonces tenemos el siguiente sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas:
$\left\{ \begin{align*} – \, 1 &= 2x {\lambda}_1 \\ \\ 2 &= 2y {\lambda}_1 + {\lambda}_2 \\ \\2 &= 2 {\lambda}_2 \\ \\ x^2 + y^2 &= 2 \\ \\ y + 2z &= 1 \end{align*} \right.$
Resolviendo este sistema se tiene que:
$ {\lambda}_2 = 1$
${\lambda}_1 = \pm \dfrac{1}{2}$
Para ${\lambda}_1 = \dfrac{1}{2}$ se tiene que
$x = \, – \, 1$, $ y = 1$ , $z = 0$
Para ${\lambda}_1 = \, – \, \dfrac{1}{2}$ se tiene que
$x = 1$, $ y = \, – \,1$ , $z = 1$
Por lo que encontramos dos puntos: $(\, – \, 1, 1, 0 )$ y el $( 1, \, – \, 1 , 1 ).$
La elipse $\mathcal{E}$ es un conjunto compacto, suave, por lo que $f \Big|_{\mathcal{E}}$ alcanza un máximo y un mínimo.
$ f (\, – \, 1, 1, 0 ) = 3$ es el valor máximo.
$ f ( 1, \, – \, 1 , 1 ) = \, – \, 1$ es el valor mínimo.