Ejemplo

Determine el valor máximo y mínimo de $f(x,y,z)=–x+2y+2z$ en la elipse en el espacio dada por la intersección de las superficies $x^2+y^2=2$ y $y+2z=1$

Una forma de abordar el problema

Las dos restricciones

$\begin{array}{rl}{g}_1(x,y,z)& =0\\ g_2(x,y,z)& =0\end{array}$

nos dan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.

En principio, podemos despejar dos variables en función de la tercera.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $x={\phi }_1(z)$ y $y={\phi }_2(z).$

$z\to ({\phi }_1(z),{\phi }_2(z),{\phi }_3(z))$ es una parametrización de la curva.

Necesitamos una versión adecuada del teorema de la función implícita.

$g:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$

$g(x,y,z)=(g_1(x,y,z),g_2(x,y,z))$

$(x_0,y_0,z_0)\in {\mathbb{R}}^3$ tal que $g_1(x,y,z)=0$ y $g_2(x,y,z)=0$

El vector tangente a la curva será colineal con el producto cruz de los vectores normales $\mathrm{\nabla }{g}_1$ y $\mathrm{\nabla }{g}_2$

$$\mathrm{\nabla }{g}_1\times \mathrm{\nabla }{g}_2$$

Tres vectores en ${\mathbb{R}}^3$ anclados en el punto son $\mathrm{\nabla }{g}_1$, $\mathrm{\nabla }{g}_2$ y $\mathrm{\nabla }f.$

$T$ es el vector tangente a la curva tal que

$$T\perp \mathrm{\nabla }{g}_1$$

$$T\perp \mathrm{\nabla }{g}_2$$

$$T\perp \mathrm{\nabla }f$$

$$\mathrm{\nabla }f={\lambda }_1\mathrm{\nabla }{g}_1+{\lambda }_2\mathrm{\nabla }{g}_2$$

Calculemos los gradientes

$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}})$

$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=(–1,2,2)$

$\mathrm{\nabla }{g}_1(x,y,z)=(2x,2y,0)$

$\mathrm{\nabla }{g}_2(x,y,z)=(0,1,2)$

Si $f{|}_{\mathcal{K}}$, con $\mathcal{K}=(g_1=0)\cap (g_2=0)$, alcanza un valor extremo en un punto $(x_0,y_0,z_0)$, entonces ese punto satisface el sistema de ecuaciones:

$g_1(x,y,z)=0$

$g_2(x,y,z)=0$

$\mathrm{\nabla }f={\lambda }_1\mathrm{\nabla }{g}_1+{\lambda }_2\mathrm{\nabla }{g}_2$

$\left(\begin{array}{c}–1\\ 2\\ 2\end{array}\right)={\lambda }_1\left(\begin{array}{c}2x\\ 2y\\ 0\end{array}\right)+{\lambda }_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Entonces tenemos el siguiente sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas:

$\{\begin{array}{rl}–1& =2x{\lambda }_1\\ \\ 2& =2y{\lambda }_1+{\lambda }_2\\ \\ 2& =2{\lambda }_2\\ \\ x^2+y^2& =2\\ \\ y+2z& =1\end{array}$

Resolviendo este sistema se tiene que:

${\lambda }_2=1$

${\lambda }_1=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$

Para ${\lambda }_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ se tiene que

$x=–1$, $y=1$ , $z=0$

Para ${\lambda }_1=–{\displaystyle \frac{1}{2}}$ se tiene que

$x=1$, $y=–1$ , $z=1$

Por lo que encontramos dos puntos: $(–1,1,0)$ y el $(1,–1,1).$

La elipse $\mathcal{E}$ es un conjunto compacto, suave, por lo que $f{|}_{\mathcal{E}}$ alcanza un máximo y un mínimo.

$f(–1,1,0)=3$ es el valor máximo.

$f(1,–1,1)=–1$ es el valor mínimo.

https://www.geogebra.org/classic/rzqsc3xa