Si la restricción es que $(x, y) \in \mathcal{K} \subset \mathbb{R}^2$, con $\mathcal{K}$ un subconjunto compacto, $ f$ continua en $\mathcal{K}$, entonces $f$ alcanza un máximo y un mínimo.
El valor máximo y el valor mínimo pueden alcanzarse en:
(*) el interior de $\mathcal{K}$, con $f$ diferenciable $ \iff $ $\nabla f (\bar{x}) = 0$, o con $f$ no diferenciable;
(*) la frontera de $\mathcal{K}$.
Ejemplo:
Maximizar $f (x, y) = x + y$ sujeta a la restricción $x^2 + y^2 \leq 1$, y donde $\mathcal{K} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \big| x^2 + y^2 \leq 1 \}$
$\nabla f (x, y) = (1, 1) \neq (0, 0)$
El gradiente nunca es cero, pero la función tiene un máximo y un mínimo.