Sea $f (x, y) = ( y \, – \, 3x^2) ( y \, – \, x^2)$
¿Cómo son las curvas de nivel de $f$?
¿Cómo es la gráfica de $f$?
«Curva» de nivel 0
$ \Big\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \Big| f (x, y) = 0 \} = f^{-1} ( 0 ) = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \Big| ( y \, – \, 3x^2) ( y \, – \, x^2) = 0 \Big\}$
Entonces
$y \, – \, 3x^2 = 0 \; \iff \; y = 3x^2$ o
$ y \, – \, x^2 = 0 \; \iff \; y = x^2 $
Si $ (x, y) $ cumple que $ x^2 < y < 3 x^2 $ entonces
$0 < y \, – \, x^2 $ pero $ y \, – \, 3 x^2 < 0 $ por lo tanto $ f (x, y) < 0 $
Si $ (x, y) $ cumple que $ y > 3 x^2 $ entonces $ f (x, y) > 0 $ ya que $ y > x^2$
En el siguiente enlace puedes ver la gráfica de la función $f(x,y) = ( y \, – \, 3x^2) ( y \, – \, x^2)$ y de la curva de nivel $ ( y \, – \, 3x^2) ( y \, – \, x^2) = 0$.