Para funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ alcanza un valor máximo, o un valor mínimo, en $x_0$ y $f$ es derivable en $x_0$ entonces, $f^{\prime }(x_0)=0.$

Si $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ alcanza un valor máximo, o mínimo, en $\overrightarrow{x_0}$ y $f$ es diferenciable entonces $$\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}}(x_0),{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}}(x_0),\dots ,{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n}}(x_0))=\overrightarrow{0}$$

Equivalentemente, la diferencial de $f$ en $\overrightarrow{x_0}$ es $df(\overrightarrow{x_0}):{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es la función constante CERO.

Geométricamente: Si $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ el plano tangente a la superficie $z=f(x,y)$ en el punto $(x_0,y_0)$ donde se alcanza el valor extremo es horizontal.

Si $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ y $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{R}}^n$ es un punto crítico de $f$ si $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})=\overrightarrow{0}$, es decir, si $d{f}_{\overrightarrow{x_0}}\equiv 0.$

(*) $y_1\in \mathbb{R}$ es un valor regular si $f^{-1}(y_1)$ es un conjunto que no contiene ningún punto crítico.

(*) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ curva parametrizada es regular si $f^{\prime }(t)\ne \overrightarrow{0}$ para toda $t$, $t_0$ es un punto crítico si $f^{\prime }(t_0)=\overrightarrow{0}.$

(*) $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ y $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{R}}^n$ es un punto crítico si $d{f}_{\overrightarrow{x_0}}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ tiene el rango igual al máximo posible.

$$

Derivadas parciales iteradas (mixtas)

Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ con $U$ abierto, y $(x_0,y_0)\in U.$

Supongamos que existen

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}:U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

Conceptualmente

$${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\ne {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$$

$$

Entonces, quizás te preguntes, ¿existen funciones tales que sus derivadas parciales iteradas (o mixtas) sean iguales?; ¿cuáles son las funciones para las cuales sus derivadas parciales iteradas (o mixtas) son iguales?

Para responder a estas preguntas tenemos el siguiente teorema.

$$

Teorema

Si $f$ es de clase ${\mathcal{C}}^2$ (es decir, que las segundas derivadas existen y son continuas) entonces las derivadas parciales iteradas ( o mixtas) son iguales.

Sea $f:U\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ donde $U$ es abierto, y $(x_0,y_0)\in U$ entonces $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0,y_0)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_0,y_0)$$

Demostración:

Definamos $A=f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0+h,y_0)–f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)=g(x_0+h)–g(x_0)$

Si $g(x,y_0+k)–f(x,y_0)$, fijando $y_0,k$ tenemos que $g(x)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y_0+\theta k)k$ con $0<\theta <1$.

Entonces

${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}(x_0+\eta h)h$ y por tanto

$A={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\eta h,y_0+\theta k)hk$

Por otra parte $A$ también puede verse como una resta de valores de otra función $G$.

$A=G(y_0+k)–G(y_0)$ , donde $G(y)=f(x_0+h,y)–f(x_0,y)$

Fijando $x_0,h$

$G(y_0+k)=f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0+k)$, y por otro lado

$G(y_0)=f(x_0+h,y_0)–f(x_0,y_0)$

Luego

$G(y_0+k)–G(y_0)=f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0+k)–f(x_0+h,y_0)+f(x_0,y_0)$

Además

$G^{\prime }(y_0+\hat{\theta }k)={\displaystyle \frac{G(y_0+k)–G(y_0)}{k}}$

$k{G}^{\prime }(y_0+\hat{\theta }k)=G(y_0+k)–G(y_0)$

Entonces

$\begin{array}{rl}A& =G(y_0+k)–G(y_0)\\ & ={\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}}(y_0+\hat{\theta }k)k\\ & =({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+h,y_0+\hat{\theta }k)k–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0+\hat{\theta }k)k)\\ & ={\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\hat{\eta }h,y_0+\hat{\theta }k)hk\end{array}$

Entonces ${\displaystyle \frac{A}{hk}}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0+\hat{\eta }h,y_0+\hat{\theta }k)$

Luego

$\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{A}{hk}}=\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}[{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0+\hat{\eta }h,y_0+\hat{\theta }k)]={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_0,y_0){}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

$$

Teorema de Taylor ( 1° grado)

Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ , de clase ${\mathcal{C}}^2$ , diferenciable en $\overrightarrow{x_0}\in U$ abierto. Entonces $$f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h})=f(\overrightarrow{x_0})+\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot \overrightarrow{h}+R_1(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})$$

donde $\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}{\displaystyle \frac{R_1(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})}{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}=0$

Teorema de Taylor ( 2° grado)

Sea $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ , de clase ${\mathcal{C}}^3.$ Entonces $$f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h})=f(\overrightarrow{x_0})+\sum _{i=1}^n{h}_i{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}}\overrightarrow{x_0}+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{h}_i{h}_j{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}}\overrightarrow{x_0}+R_2(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})$$

tal que $\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}{\displaystyle \frac{R_2(\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{h})}{\Vert \overrightarrow{h}{\Vert }^2}}=0$ , y $\overrightarrow{h}=(h_1,h_2,\cdots ,h_n).$