Sea $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ diferenciable.

Entonces existen las derivadas parciales: ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ y ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$

y existe la diferencial de $f$ en $(x_0,y_0)$ $$df(x_0,y_0):{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$$ $$df(x_0,y_0)(h,k)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)k$$

Teorema:

Si $f$ es diferenciable en $(x_0,y_0)$ y además $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =1$ entonces existe la derivada direccional de $f$ en la dirección de $\overrightarrow{u}$ y es igual a $$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\cdot \overrightarrow{u}$$

Demostración:

La derivada direccional es $\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(\overrightarrow{x_0}+t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{x_0})}{t}}$, con $\overrightarrow{x_0}=(x_0,y_0).$

Vamos a ver que existe y que es igual a $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot \overrightarrow{u}$

$[$ por demostrar: existe $\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(\overrightarrow{x_0}+t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{x_0})}{t}}=\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot \overrightarrow{u}]$

$[$ por demostrar: $⟺\underset{t\to 0}{lim}({\displaystyle \frac{f(\overrightarrow{x_0}+t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{x_0})}{t}}–\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot \overrightarrow{u})=0$

$[$ por demostrar: $⟺\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(\overrightarrow{x_0}+t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{x_0})–t\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot \overrightarrow{u}}{t}}=0$

$⟺\underset{t\to 0}{lim}|{\displaystyle \frac{f(\overrightarrow{x_0}+t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{x_0})–\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot t\overrightarrow{u}}{\Vert t\Vert }}|=0$ esta última equivalencia es la que demostraremos.

Por hipótesis sabemos que $f$ es diferenciable en $\overrightarrow{x_0}=(x_0,y_0)$; es decir $$\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}{\displaystyle \frac{|f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h})–f(\overrightarrow{x_0})–\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot t\overrightarrow{h}|}{\Vert h\Vert }}=0$$

Sea $F(\overrightarrow{h})={\displaystyle \frac{|f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h})–f(\overrightarrow{x_0})–\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot t\overrightarrow{h}|}{\Vert h\Vert }}$

$F$ está definida en una vecindad perforada de $\overrightarrow{0}$, es decir $\overrightarrow{h}\ne \overrightarrow{0}$.

Sea $\varphi (t)=|{\displaystyle \frac{f(\overrightarrow{x_0}+t\overrightarrow{u})–f(\overrightarrow{x_0})–\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot t\overrightarrow{u}}{\Vert t\Vert }}|$

$\varphi$ está definida en una vecindad perforada de CERO.

$[$ por demostrar: existe $\underset{t\to 0}{lim}\varphi (t)=0]$ es decir,

$[$ por demostrar: $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0$ tal que si $0<|t|<\delta$ entonces $|\varphi (t)|<ϵ]$ . . . (1)

Sea $ϵ>0$, hay que proponer una $\delta >0$ y ver que tiene la propiedad (1).

Por hipótesis, existe $\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}F(\overrightarrow{h})=\overrightarrow{0}$, entonces $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }{\delta }_1>0$ tal que si $0<\Vert \overrightarrow{h}\Vert <{\delta }_1$ entonces $|F(\overrightarrow{h})|<ϵ$. Es decir, $\overrightarrow{h}\in {\mathring{B}}_{{\delta }_1}(\overrightarrow{0})$.

Relación entre $\varphi$ y $F$

$\varphi (t)=F(t\overrightarrow{u})=F(\alpha (t))=(Fo\alpha )(t)$, donde $\alpha (t)=t\overrightarrow{u}.$

$\alpha$ es continua.

(1) Dada $ϵ>0$ existe ${\delta }_1>0$ tal que si $0<\Vert \overrightarrow{h}\Vert <{\delta }_1$ entonces $|F(\overrightarrow{h})|<ϵ$.

(2) Como $\alpha$ es continua entonces para ${ϵ}^{\prime }={\delta }_1$ existe ${\delta }_2$ tal que si $|t|<{\delta }_2$ entonces $\Vert \alpha (t)\Vert =\Vert t\overrightarrow{u}\Vert =|t|\Vert \overrightarrow{u}\Vert =|t|<{\delta }_1$

Por lo tanto, sirve ${\delta }_2={\delta }_1.$

$$

Teorema: Regla de la cadena.

Sea $f:U\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ una curva parametrizada, con $U$ abierto, y $t_0\in U.$

$f$ derivable en $t_0.$

Sea $g:V\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, con $V$ abierto y $v_0\in V$.

$g$ diferenciable en $\overrightarrow{v_0}.$

Supongamos además que $f(U)\subseteq V$.

Entonces $gof:U\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es derivable en $t_0$ y $$(gof{)}^{\prime }(t_0)=\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{v_0})\cdot f^{\prime }(t_0)$$

Demostración:

$[$ por demostrar: $gof$ es derivable en $t_0$ y su derivada es $\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot f^{\prime }(t_0)]$

$[$ por demostrar: $\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(f(t_0+\mathrm{\Delta }t))–g(f(t_0))}{\mathrm{\Delta }t}}=\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot f^{\prime }(t_0)]$

$[$ por demostrar: $\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}|{\displaystyle \frac{g(f(t_0+\mathrm{\Delta }t))–g(f(t_0))–\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot \mathrm{\Delta }t{f}^{\prime }(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}}|=0]$

$f(t)=(x(t),y(t))$

$f^{\prime }(t_0)=(x(t_0),y(t_0))$

$\mathrm{\Delta }t{f}^{\prime }(t_0)=\mathrm{\Delta }t(x(t_0),y(t_0))$

$\mathrm{\Delta }t{f}^{\prime }(t_0)=(\mathrm{\Delta }tx(t_0),\mathrm{\Delta }ty(t_0))$

Hipótesis:

(*) $f$ es derivable un $t_0$, es decir, existe $\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(t_0+\mathrm{\Delta }t)–f(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}}=f^{\prime }(t_0)$

(*) $g$ es diferenciable en $f(t_0)=\overrightarrow{v_0}$ es decir $\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}|{\displaystyle \frac{g(\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{h})–g(\overrightarrow{v_0})–\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{v_0})\cdot \overrightarrow{h}}{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}|=0$

Definimos $G(h)=|{\displaystyle \frac{g(\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{h})–g(\overrightarrow{v_0})–\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{v_0})\cdot \overrightarrow{h}}{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}|$

Analizaremos dos casos:

Caso 1) $f^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}$

Caso 2) $f^{\prime }(t_0)=\overrightarrow{0}$

Caso 1)

Sea $G(\overrightarrow{h})=|{\displaystyle \frac{g(\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{h})–g(\overrightarrow{v_0})–\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{v_0})\cdot \overrightarrow{h}}{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}|$

Y definimos $\varphi (\mathrm{\Delta }t)=|{\displaystyle \frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)–f(t_0)–\mathrm{\Delta }t{f}^{\prime }(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}}|$

Entonces, por el lema, tenemos que $f(t_0+\mathrm{\Delta }t)\in {\mathring{B}}_{M_1\delta }(f(t_0))$

$[$ por demostrar: $\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{|g(f(t_0+\mathrm{\Delta }t)–g(f(t_0))–\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot f^{\prime }(t_0)\mathrm{\Delta }t|}{|\mathrm{\Delta }t|}}=0$

Sea $ϵ>0$, buscamos $\delta >0$ tal que si $0<|\mathrm{\Delta }t|<\delta$ entonces $|{\displaystyle \frac{g(f(t_0+\mathrm{\Delta }t)–g(f(t_0))–\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot f^{\prime }(t_0)\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t}}|<ϵ$

Sabemos que existe ${\delta }_1>0$ tal que si $0<\Vert \overrightarrow{h}\Vert <{\delta }_1$ entonces ${\displaystyle \frac{|g(f(t_0+\mathrm{\Delta }t)–g(f(t_0))–\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot f^{\prime }(t_0)\mathrm{\Delta }t|}{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}<ϵ$ ya que $g$ es diferenciable en $f(t_0)$.

Además, por el lema, existe $M_1>0$ y ${\delta }_2>0$ tales que si $0<\Vert \mathrm{\Delta }t\Vert <{\delta }_2$ entonces $\Vert f(t_0+\mathrm{\Delta }t)–f(t_0)\Vert <M_1|\mathrm{\Delta }t|.$ Luego $M_1|\mathrm{\Delta }t|<{\delta }_1\Rightarrow |\mathrm{\Delta }t|<{\displaystyle \frac{{\delta }_1}{M_1}}$.

Proponemos $\delta =mín\{{\displaystyle \frac{{\delta }_1}{M_1}},{\delta }_2\}$ entonces $|\mathrm{\Delta }t|<{\delta }_1$ y $|\mathrm{\Delta }t|<{\delta }_2$

Entonces si $\overrightarrow{h}=f(t_0+\mathrm{\Delta }t)–f(t_0)$ cumple que $0<\Vert \overrightarrow{h}\Vert <{\delta }_1$ entonces se cumple que $${\displaystyle \frac{|g(f(t_0+\overrightarrow{h})–g(f(t_0))–\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot f^{\prime }(t_0)\mathrm{\Delta }t|}{|\mathrm{\Delta }t|}}\le {\displaystyle \frac{|g(f(t_0+\overrightarrow{h})–g(f(t_0))–\mathrm{\nabla }g(f(t_0))\cdot f^{\prime }(t_0)\mathrm{\Delta }t|}{|\overrightarrow{h}|}}\cdot M_1$$ ya que como $\Vert \overrightarrow{h}\Vert <M_1\cdot |\mathrm{\Delta }t|$ entonces ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }t}}<{\displaystyle \frac{M_1}{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}$