La relación entre las derivadas direccionales y el hecho que la función sea diferenciable se expresa en el siguiente teorema.

Teorema:

Si $f$ es diferenciable en $\vec{x_0}$; y $\vec{u}$ es un vector unitario, entonces existe la derivada direccional de $f$ en $\vec{x_0}$ en la dirección de $\vec{u}$, y es igual a $\nabla f (\vec{x_0} ) \cdot \vec{u}.$

En esta entrada mostraremos que la existencia de las derivadas direccionales no implica la diferenciabilidad de la función. Consideremos el siguiente ejemplo:

$ f(x, y) = x^{1/3} y^{1/3}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = 0$ y también $\dfrac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = 0$

$\vec{u} = (\cos \theta, \sin \theta)$ entonces

$\begin{align*} f (t \vec{u}) &= f (t \cos \theta, t \sin \theta) \\ &= t^{1/3} (\cos \theta)^{1/3} t^{1/3} (\sin \theta)^{1/3} \\ &= t^{2/3} (\cos \theta \sin \theta)^{1/3} \end{align*}$

donde $(\cos \theta \sin \theta)$ es constante distinta de CERO para casi cualquier valor de $\theta$, entonces si calculamos la derivada direccional

$\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f (t \vec{u}) \, – \, f ( \vec{0}) }{t} = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{t^{2/3} (\cos \theta \sin \theta)^{1/3} \, – \, 0}{t} = \lim\limits_{t \to 0} t^{-\, 1/3} (\cos \theta \sin \theta)^{1/3} = \infty $

No se cumple que sea igual al $\nabla f \cdot (\vec{u})$ que es CERO.

No hay plano tangente. El único candidato sería el plano $z = 0$, pero no es una buena aproximación para los valores de la función cerca del punto.

Por lo tanto $f$ no es diferenciable en $(0, 0).$

${}$

Comprobemos esto con la definición:

$\lim\limits_{(h, k) \to (0, 0)} \dfrac{\Big| f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) \, – \, (ah + bk) \Big| }{\sqrt{h^2 + k^2 \,}} = 0$

entonces $a = \dfrac{\partial f}{ \partial x} (0, 0) , \, b = \dfrac{\partial f}{\partial y} (0, 0)$

luego $\lim\limits_{(h, k) \to (0, 0)} \dfrac{\Big| f ( h, k) \, – \, 0 \Big| }{\sqrt{h^2 + k^2 \,}} = \lim\limits_{(h, k) \to (0, 0)} \dfrac{ h^{1/3} k^{1/3} }{\sqrt{h^2 + k^2 \,}}$

tomando $ h = k$

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ h^{2/3} }{\sqrt{2 h^2 \,}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \lim\limits_{h \to 0} h^{- 1/3} = \infty $, si $h > 0.$

Esto contradice el hecho de que el límite de la definición fuera CERO por lo tanto $f$ no es diferenciable en $(0,0)$.