Teorema:

Si $f$ es diferenciable, entonces la derivada direccional de $f$ en $\overrightarrow{x_0}$ en la dirección de $\overrightarrow{u}$, con $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =1$ es $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x_0})\cdot \overrightarrow{u}.$

En entradas anteriores hemos trabajado con la función $f(x,y)=x^{1/3}{y}^{1/3}$, regresemos a este ejemplo.

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$ y también ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$

$\overrightarrow{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ entonces

$\begin{array}{rl}f(t\overrightarrow{u})& =f(t\cos \theta ,t\sin \theta )\\ & =t^{1/3}(\cos \theta {)}^{1/3}{t}^{1/3}(\sin \theta {)}^{1/3}\\ & =t^{2/3}(\cos \theta \sin \theta {)}^{1/3}\end{array}$

donde $(\cos \theta \sin \theta )$ es constante, entonces si calculamos la derivada direccional

$\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(t\overrightarrow{u}–f(\overrightarrow{0})}{t}}=\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{t^{2/3}(\cos \theta \sin \theta {)}^{1/3}–0}{t}}=\underset{t\to 0}{lim}{t}^{-1/3}(\cos \theta \sin \theta {)}^{1/3}=\mathrm{\infty }$

No se cumple que sea igual al $\mathrm{\nabla }f\cdot (\overrightarrow{u})$ que es CERO.

No hay plano tangente. El único candidato sería $z=0.$

Por lo tanto no es diferenciable en $(0,0).$

$$

Con la definición:

$\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{|f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)–(ah+bk)|}{\sqrt{h^2+k^2}}}=0$

entonces $a={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0),b={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)$

luego $\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{|f(h,k)–0|}{\sqrt{h^2+k^2}}}=\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{h^{1/3}{k}^{1/3}}{\sqrt{h^2+k^2}}}$

tomando $h=k$

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{h^{2/3}}{\sqrt{2h^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\underset{h\to 0}{lim}{h}^{-1/3}=\mathrm{\infty }$, si $h>0.$

$f$ es diferenciable en $(x_0)$ si existe $f^{\prime }(x_0)$, luego

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)}{h}}⟺\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)}{h}}–f^{\prime }(x_0)=0\dots (1)$

$f$ es diferenciable en $x_0$ si eiste la diferencial de $f$ en $x_0$

$d{f}_{x_0}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lineal.

$d{f}_{x_0}(h)=f^{\prime }(x_0)h=m.h$ tal que

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)–m.h}{h}}=0$ ocurre si

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)}{h}}–m=0\dots (2)$

Observemos que, de $(1)$ y $(2)$

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)}{h}}–f^{\prime }(x_0)=0=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)}{h}}–m$

Luego ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f^{\prime }(x_0)$ entonces $dy=f^{\prime }(x_0)dx$ y además «$h=dx$»

$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+h)–f(x_0)$. También $dy\ne \mathrm{\Delta }y$ pero se aproxima.

Tratando de generalizar

$f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

$f^{\prime }(\overrightarrow{x_0}):=\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}{\displaystyle \frac{f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h}–f(\overrightarrow{x_0})}{\overrightarrow{h}}}$

pero ¿cómo dividimos entre un vector? Una alternativa es la siguiente:

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)–mh}{h}}=0⟺\underset{h\to 0}{lim}|{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)–mh}{h}}|=0⟺\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{|f(x_0+h)–f(x_0)–mh|}{|h|}}=0$

Otra vía de generalización

$\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{0}}{lim}{\displaystyle \frac{\Vert f(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{h}–f(\overrightarrow{x_0})–\mathcal{M}\overrightarrow{h}\Vert }{\Vert \overrightarrow{h}\Vert }}=0$

$T(\overrightarrow{h})=\mathcal{M}\overrightarrow{h}$ donde $\mathcal{M}$ es la matriz de derivadas parciales.

$T(\overrightarrow{h})$ es la diferencial.

Ahora bien para funciones de ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ tenemos que:

(*) La derivada es el vector gradiente ( o el vector de derivadas parciales) $$\mathrm{\nabla }f=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}})$$

(*) La diferencial es la función lineal ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ tal que a cada $(h,k)\to {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}k$

(*) El plano tangente está dado por la ecuación $$z=f(x_0,y_0)+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)(x–x_0)+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)(y–y_0)$$

donde $x–x_0=h$ y $y–y_0=k.$

(*) La derivada direccional de $f$ en $(x_0,y_0)$ en la dirección del vector $\overrightarrow{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ es la pendiente de la recta tangente a la curva que resulta de cortar a la superficie $z=f(x,y)$ con el plano $(x–x_0,y–y_0,z–z_0)\cdot (–\sin \theta ,\cos \theta ,0)=0$, donde $\overrightarrow{v}=(–\sin \theta ,\cos \theta )$, entonces la ecuación del plano es $$–\sin \theta (x–x_0)+\cos \theta (y–y_0)=0$$

Es decir, $\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|–\sin \theta (x–x_0)+\cos \theta (y–y_0)=0\}$ es un plano que pasa por el punto $(x_0,y_0,z_0)$, donde $z_0=f(x_0,y_0).$