Ejemplo:

Sean $F_1=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ ; $F_2=({\displaystyle \frac{-1}{2}},{\displaystyle \frac{-1}{2}})$

y $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sea $P(x,y)$, entonces

$d(P,F_1)=\sqrt{(x–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+(y–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2}$

$d(P,F_2)=\sqrt{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+(y+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2}$

$\sqrt{(x–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+(y–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2}\sqrt{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+(y+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$((x–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+(y–{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2)((x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+(y+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2)=({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2$

$$(x^2–x+{\displaystyle \frac{1}{4}}+y^2–y+{\displaystyle \frac{1}{4}})(x^2+x+{\displaystyle \frac{1}{4}}+y^2+y+{\displaystyle \frac{1}{4}})={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

$$x^4+\cancel{x^3}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2}+x^2{y}^2+\cancel{x^{2}y}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2}–\cancel{x^3}–\cancel{x^2}–\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}x}$$

$$\cancel{-x{y}^2}-xy–\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}x}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}x}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{16}}}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{y}^2}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}y}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{16}}}$$

$$+x^2{y}^2+\cancel{x{y}^2}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{y}^2}+y^4+\cancel{y^3}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{y}^2}–\cancel{x^{2}y}-xy–\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}y}–\cancel{y^3}–\cancel{y^2}–\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}y}$$

$$+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}x}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{16}}}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}{y}^2}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}y}+\cancel{{\displaystyle \frac{1}{16}}}=\cancel{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$$

$$

$$x^4+2x^2{y}^2+y^4-2xy=0$$

Por lo tanto

$$(x^2+y^2{)}^2=2xy$$

$$

En coordenadas polares:

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

$x^2+y^2=r^2$

Luego

$r^4=2r\cos \theta r\sin \theta$

$r^4=2r^2\cos \theta \sin \theta$

$r^2=2\cos \theta \sin \theta$

Por lo tanto, $r^2=\sin (2\theta )$

Observaciones:

$r^2\ge 0$ por lo que $sin(2\theta )\ge 0$

Luego $\sin (2\theta )\ge 0⟺\theta \in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]\bigcup [\pi ,{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}]$

Si $\theta \in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]\Rightarrow 0\le 2\theta \le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Entonces $sin0\le sin(2\theta )\le \sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ por lo que

$0\le \sin (2\theta )\le 1$ entonces $0\le r^2\le 1$ y por tanto $0\le r\le 1.$

Análogamente, si $\theta \in [{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}]\Rightarrow \pi \le 2\theta \le {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de la Lemniscata.

https://www.geogebra.org/classic/xef6rmxd

$$

Se puede calcular el área de cada pétalo de la Lemniscata.

$x(t)=\sqrt{\sin (2t)}\cos t$

$y(t)=\sqrt{\cos (2t)}\sin t$

Entonces $$F(x,y)=(x^2+y^2{)}^2–2xy=0$$

Podemos ver la Lemniscata como una curva de nivel $F:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$

¿Cómo será el valor de $F(x,y)$ cuando el punto $(x,y)$ está fuera de la Lemniscata?

¿Cómo será cuando el punto esté adentro?

Tomemos $P(0,1)$ un punto fuera de la Lemniscata.

Entonces $F(0,1)=(0{)}^2+(1{)}^2–2(0)(1)=1$. $F$ es positiva.

$$

Tomemos $P({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ un punto dentro de la Lemniscata.

Entonces $F({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})=(({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2{)}^2–2({\displaystyle \frac{1}{2}})({\displaystyle \frac{1}{2}})=({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2–{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}–{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{-1}{2}}$. Entonces $F$ es negativa.

Analicemos algunos cortes verticales

$x=0$

$F(0,y)=(0^2+y^2{)}^2–2(0)y=y^4$

$x=1$

$F(1,y)=(1^2+y^2{)}^2–2(1)y=(1^2+y^2{)}^2–2y$

$x=2$

$F(2,y)=(2^2+y^2{)}^2–2(2)y=(4+y^2{)}^2–4y$