Motivación:

Comparar una curva parametrizada $\alpha$ con una familia de curvas (círculos, rectas, …).

Círculos

$F^{-1} (0)$ para una función $F(x, y) = x^2 + y^2 – r^2$

Rectas

$F^{-1} (0)$ para una función $F(x, y) = ax + by + c$

${}$

Sea $\alpha : \mathcal{I} \rightarrow \mathbb{R}^2$ una curva parametrizada $\alpha (t) = \big( x (t), y (t) \big).$

Sea $F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ una función $F (x, y).$

Consideremos un punto $p = \alpha (t_0)$ y supongamos que $p$ está en la curva de nivel cero de $F$, es decir, $F (p) = 0$

Sea $g : \mathcal{I} \rightarrow \mathbb{R}$ la composición $F \circ \alpha$ donde a cada $ t \rightarrow F \big( \alpha (t_0) \big) = F (p) = 0$

Decimos que la curva $\alpha$ y la curva de nivel $F^{-1} (0)$ tienen un contacto de orden $k$ en $p = \alpha (t_0)$ si: $$g (t_0) = 0$$ $$g’ (t_0) = 0$$ $${g}^{\prime \prime} (t_0) = 0$$ $$\vdots$$ $$g^{k-1} (t_0) = 0$$ pero $$g^k (t_0) \neq 0$$

Apliquemos este concepto.

Sea $\vec{u} = (a, b) \in \mathbb{R}^2$ un vector distinto de $\vec{0}.$

$F (\vec{x}) = \big\| \vec{x} \, – \, \vec{u} \big\|^2 \, – \, \big\| \vec{p} \, – \, \vec{u} \big\|^2$

$\vec{p} \in F^{-1} (0)$

$g (s) = F( \alpha (s))$

$g (s) = \big\| \alpha (s) \, – \, \vec{u} \big\|^2 \, – \ \big\| \alpha(s_0) \, – \, \vec{u} \big\|^2$

$g (s_0) = F (p) = 0 $

$g (s) = \langle \alpha \, – \, u, \alpha \, – \, u \rangle $

$g’ (s) = \langle {\alpha}’ , \alpha \, – \, u \rangle \langle \alpha \, – \, u, {\alpha}’ \rangle = 2 \langle \alpha \, – \, u, {\alpha}’ \rangle $

Además $g’ (s_0) = 0 \iff \langle \alpha (s_0) \, – \, u, {\alpha}’ (s_0) \rangle = 0$, es decir, si el vector $\alpha (s_0) \, – \, u$ es ortogonal al vector tangente ${\alpha}’ (s_0) = T (s_0).$

$g (s_0) = 0$ y $g’ (s_0) = 0 \iff $ la curva $\alpha$ y $F^{-1} (0)$ pasan por el punto $p = \alpha (s_0) $ y el círculo $F^{-1} (0)$ es tangente a la curva $\alpha$ en el punto $p$ si y sólo si, $u$ céntro del círciño, está en la recta normal a la curva $\alpha$ en el punto $p = \alpha (s_0).$ Es decir, $$\alpha (s_0) \, – \, u \perp T$$

¿Cómo debe ser $\vec{u}$ para que ${g}^{\prime \prime} (s_0) = 0$? Además de que $ g (s_0) = 0$ y ${g}’ (s_0) = 0$

${g}’ (s) = 2 \langle \alpha (s) \, – \, u, {\alpha}’ (s) \rangle$

${g}^{\prime \prime} (s) = 2 \Big[ \langle {\alpha}’ (s), {\alpha}’ (s) \rangle + \langle {\alpha} (s) \, – \, u, {\alpha}^{\prime \prime} (s) \rangle \Big]$

Luego

$${g}^{\prime \prime} (s) = 0 \iff \langle {\alpha} (s_0) \, – \, u, {\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \rangle + 1 = 0$$

$${g}^{\prime \prime}(s) = 0 \iff \langle {\alpha} (s_0) \, – \, 1, \mathcal{K} N (s_0) \rangle + 1 = 0$$

como ${\alpha} (s_0) \, – \, u \perp T \iff u\, – \, {\alpha} (s_0) = \lambda N (s_0)$ para algún $\lambda \in \mathbb{R}$

$${g}^{\prime \prime} (s) = 0 \iff \langle \, – \, \lambda N, \mathcal{K} N \rangle = 0$$

Despejemos ${\lambda}^*$, entonces

$$ 1 \, – \, {\lambda}^* \mathcal{K} \langle N, N \rangle = 0 $$

$$ 1 \, – \, {\lambda}^* \mathcal{K} = 0 $$

$$ {\lambda }^* = \dfrac{1}{\mathcal{K}}$$

de todos los círculos con centro en la recta normal a $\alpha$ en $p$ que pasan por $p$, el que tiene un orden de contacto mayor con la curva $\alpha$ es el que tiene centro en el punto $$u = \alpha (s_0) + {\lambda}^* N (s_0)$$ $$u = p + \dfrac{1}{\mathcal{K}} N(s_0)$$

es el CÍRCULO OSCULADOR.

Si pedimos $g (s_0) = 0$ nos quedamos con círculos que pasan por el punto $p.$

Si además pedimos que ${g}^{\prime } (s_0) = 0$ nos quedamos con círculos cuyos centros están en la recta normal a $\alpha$ en el punto $p.$

Si también pedimos ${g}^{\prime \prime} (s_0) = 0$ nos quedamos con círculos cuyo centro coincide con el círculo osculador. (esto ocurre si ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \neq \vec{0}$) Si $\mathcal{K} (s_0) = 0$ no existiría tal círculo.

Si además pedimos que ${g}^{ \prime \prime \prime} (s_0) = 0$ ¿qué sucede?

${g}’ (s) = 2 \langle \alpha (s) \, – \, u, {\alpha}’ (s) \rangle$

${g}^{\prime \prime} (s) = 2 \Big[ \langle {\alpha}’ (s), {\alpha}’ (s) \rangle + \langle \alpha (s) \, – \, u , {\alpha}^{\prime \prime} (s) \rangle \Big]$

${g}^{\prime \prime \prime} (s) = 2 \Big[ \langle {\alpha}’ (s), {\alpha}^{\prime \prime} (s) \rangle + \langle \alpha (s) \, – \, u , {\alpha}^{\prime \prime \prime} (s) \rangle \Big]$

Luego ${g}^{\prime \prime \prime} (s) = 0 \iff \langle \alpha (s_0) \, – \, u , {\alpha}^{\prime \prime \prime} (s_0) \rangle = 0 $

Como $u \, – \, \alpha (s_0) = \lambda N (s_0)$

Entonces $\begin{align*} \langle \alpha (s_0) \, – \, u , {\alpha}^{\prime \prime \prime} (s_0) \rangle &= \langle \lambda N (s_0), \mathcal{K}’ (s_0) N (s_0) + \mathcal{K} N’ (s_0) \rangle \\ &= \lambda \mathcal{K}’ (s_0) \\ &= \dfrac{1}{\mathcal{K} (s_0)} \mathcal{K}’ (s_0) \end{align*}$

Entonces tenemos que $ g (s_0) = g’ (s_0) = {g}^{\prime \prime} (s_0) = {g}^{\prime \prime \prime} (s_0) \iff \mathcal{K} (s_0) \neq 0$ contacto de orden $ \geq 4$

${}$

Definición:

Sea $p = \alpha (s_0)$ un punto en una curva $\alpha = \alpha (s_0).$

Decimos que $p$ es un vértice si existe un círculo $\mathcal{C}$ que tiene contacto de orden al menos 4 con la curva $\alpha.$

Vértice Ordinario, si el contacto es de orden 4.

Vértice Degenerado, si el contacto es de orden mayor que 4.

Orden 4 $ \iff g (s_0) = g’ (s_0) = {g}^{\prime \prime} (s_0) = {g}^{\prime \prime \prime} (s_0) = 0.$

${}$

Definición:

Sea $p = \alpha (s_0)$ un punto en una curva. Decimos que $p$ es un punto de inflexión si tiene contacto de orden al menos 3 con la recta tangente.

Punto de inflexión Ordinario, si el contacto es de orden 3.

Punto de inflexión Degenerado, si el contacto es de orden mayor que 3.