Motivación:

Comparar una curva parametrizada $\alpha$ con una familia de curvas (círculos, rectas, …).

Círculos

$F^{-1}(0)$ para una función $F(x,y)=x^2+y^2–r^2$

Rectas

$F^{-1}(0)$ para una función $F(x,y)=ax+by+c$

$$

Sea $\alpha :\mathcal{I}\to {\mathbb{R}}^2$ una curva parametrizada $\alpha (t)=(x(t),y(t)).$

Sea $F:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ una función $F(x,y).$

Consideremos un punto $p=\alpha (t_0)$ y supongamos que $p$ está en la curva de nivel cero de $F$, es decir, $F(p)=0$

Sea $g:\mathcal{I}\to \mathbb{R}$ la composición $F\circ \alpha$ donde a cada $t\to F(\alpha (t_0))=F(p)=0$

Decimos que la curva $\alpha$ y la curva de nivel $F^{-1}(0)$ tienen un contacto de orden $k$ en $p=\alpha (t_0)$ si: $$g(t_0)=0$$ $$g^{\prime }(t_0)=0$$ $$g^{\prime \prime }(t_0)=0$$ $$⋮$$ $$g^{k-1}(t_0)=0$$ pero $$g^k(t_0)\ne 0$$

Apliquemos este concepto.

Sea $\overrightarrow{u}=(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ un vector distinto de $\overrightarrow{0}.$

$F(\overrightarrow{x})=\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{u}{\Vert }^2–\Vert \overrightarrow{p}–\overrightarrow{u}{\Vert }^2$

$\overrightarrow{p}\in F^{-1}(0)$

$g(s)=F(\alpha (s))$

$g(s)=\Vert \alpha (s)–\overrightarrow{u}{\Vert }^2–\Vert \alpha (s_0)–\overrightarrow{u}{\Vert }^2$

$g(s_0)=F(p)=0$

$g(s)=⟨\alpha –u,\alpha –u⟩$

$g^{\prime }(s)=⟨{\alpha }^{\prime },\alpha –u⟩⟨\alpha –u,{\alpha }^{\prime }⟩=2⟨\alpha –u,{\alpha }^{\prime }⟩$

Además $g^{\prime }(s_0)=0⟺⟨\alpha (s_0)–u,{\alpha }^{\prime }(s_0)⟩=0$, es decir, si el vector $\alpha (s_0)–u$ es ortogonal al vector tangente ${\alpha }^{\prime }(s_0)=T(s_0).$

$g(s_0)=0$ y $g^{\prime }(s_0)=0⟺$ la curva $\alpha$ y $F^{-1}(0)$ pasan por el punto $p=\alpha (s_0)$ y el círculo $F^{-1}(0)$ es tangente a la curva $\alpha$ en el punto $p$ si y sólo si, $u$ céntro del círciño, está en la recta normal a la curva $\alpha$ en el punto $p=\alpha (s_0).$ Es decir, $$\alpha (s_0)–u\perp T$$

¿Cómo debe ser $\overrightarrow{u}$ para que $g^{\prime \prime }(s_0)=0$? Además de que $g(s_0)=0$ y $g^{\prime }(s_0)=0$

$g^{\prime }(s)=2⟨\alpha (s)–u,{\alpha }^{\prime }(s)⟩$

$g^{\prime \prime }(s)=2[⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime }(s)⟩+⟨\alpha (s)–u,{\alpha }^{\prime \prime }(s)⟩]$

Luego

$$g^{\prime \prime }(s)=0⟺⟨\alpha (s_0)–u,{\alpha }^{\prime \prime }(s_0)⟩+1=0$$

$$g^{\prime \prime }(s)=0⟺⟨\alpha (s_0)–1,\mathcal{K}N(s_0)⟩+1=0$$

como $\alpha (s_0)–u\perp T⟺u–\alpha (s_0)=\lambda N(s_0)$ para algún $\lambda \in \mathbb{R}$

$$g^{\prime \prime }(s)=0⟺⟨–\lambda N,\mathcal{K}N⟩=0$$

Despejemos ${\lambda }^{\ast }$, entonces

$$1–{\lambda }^{\ast }\mathcal{K}⟨N,N⟩=0$$

$$1–{\lambda }^{\ast }\mathcal{K}=0$$

$${\lambda }^{\ast }={\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}}}$$

de todos los círculos con centro en la recta normal a $\alpha$ en $p$ que pasan por $p$, el que tiene un orden de contacto mayor con la curva $\alpha$ es el que tiene centro en el punto $$u=\alpha (s_0)+{\lambda }^{\ast }N(s_0)$$ $$u=p+{\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}}}N(s_0)$$

es el CÍRCULO OSCULADOR.

Si pedimos $g(s_0)=0$ nos quedamos con círculos que pasan por el punto $p.$

Si además pedimos que $g^{\prime }(s_0)=0$ nos quedamos con círculos cuyos centros están en la recta normal a $\alpha$ en el punto $p.$

Si también pedimos $g^{\prime \prime }(s_0)=0$ nos quedamos con círculos cuyo centro coincide con el círculo osculador. (esto ocurre si ${\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\ne \overrightarrow{0}$) Si $\mathcal{K}(s_0)=0$ no existiría tal círculo.

Si además pedimos que $g^{\prime \prime \prime }(s_0)=0$ ¿qué sucede?

$g^{\prime }(s)=2⟨\alpha (s)–u,{\alpha }^{\prime }(s)⟩$

$g^{\prime \prime }(s)=2[⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime }(s)⟩+⟨\alpha (s)–u,{\alpha }^{\prime \prime }(s)⟩]$

$g^{\prime \prime \prime }(s)=2[⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime \prime }(s)⟩+⟨\alpha (s)–u,{\alpha }^{\prime \prime \prime }(s)⟩]$

Luego $g^{\prime \prime \prime }(s)=0⟺⟨\alpha (s_0)–u,{\alpha }^{\prime \prime \prime }(s_0)⟩=0$

Como $u–\alpha (s_0)=\lambda N(s_0)$

Entonces $\begin{array}{rl}⟨\alpha (s_0)–u,{\alpha }^{\prime \prime \prime }(s_0)⟩& =⟨\lambda N(s_0),{\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)N(s_0)+\mathcal{K}{N}^{\prime }(s_0)⟩\\ & =\lambda {\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}(s_0)}}{\mathcal{K}}^{\prime }(s_0)\end{array}$

Entonces tenemos que $g(s_0)=g^{\prime }(s_0)=g^{\prime \prime }(s_0)=g^{\prime \prime \prime }(s_0)⟺\mathcal{K}(s_0)\ne 0$ contacto de orden $\ge 4$

$$

Definición:

Sea $p=\alpha (s_0)$ un punto en una curva $\alpha =\alpha (s_0).$

Decimos que $p$ es un vértice si existe un círculo $\mathcal{C}$ que tiene contacto de orden al menos 4 con la curva $\alpha .$

Vértice Ordinario, si el contacto es de orden 4.

Vértice Degenerado, si el contacto es de orden mayor que 4.

Orden 4 $⟺g(s_0)=g^{\prime }(s_0)=g^{\prime \prime }(s_0)=g^{\prime \prime \prime }(s_0)=0.$

$$

Definición:

Sea $p=\alpha (s_0)$ un punto en una curva. Decimos que $p$ es un punto de inflexión si tiene contacto de orden al menos 3 con la recta tangente.

Punto de inflexión Ordinario, si el contacto es de orden 3.

Punto de inflexión Degenerado, si el contacto es de orden mayor que 3.