(1) Probar que $A = int (A) \iff A \cap \partial A = \emptyset$

Demostración:

Todo $\vec{x} \in \mathbb{R} $ cae en alguno de los tres conjuntos siguientes:

$int A$;

$ext A$;

$\partial A$

Sabemos que $int A \cap \partial A = \emptyset$

Si $ A = int A \Rightarrow A \cap \partial A = \emptyset.$

Si $A \cap \partial A = \emptyset$ entonces $A \subseteq int A$

Razón: Sea $ x \in A$ entonces $ x \notin \partial A$ y $x \notin ext A \subset A^c.$

Entonces $ x \in int A$ y por lo tanto $ A \subset int A$.

Como además, $int A \subset A$, concluimos que $$ A = int A \; _{\blacksquare}$$

(2) La intersección de las fronteras de dos conjuntos es igual a la frontera de la intersección.» ¿Verdadero o falso?

Falso.

dibujo 1

¿Siempre se da que $\partial A \cap \partial B \subseteq \partial (A \cap B)$?

No

Definamos los siguientes conjuntos: $A = (-1, 0)$ ; $B = (0, 1)$

$\partial A = \{ -1, 0\}$

$\partial B = \{ 0, 1\}$

$\partial A \cap \partial B = \{ 0\}$ …. (1)

$A \cap B = \emptyset$

$\partial (A \cap B) = \emptyset$….. (2)

Pero , de (1) y (2) se tiene que $$\emptyset \nsubseteq \{ 0 \}$$