(1) Probar que $A = int (A) \iff A \cap \partial A = \emptyset$
Demostración:
Todo $\vec{x} \in \mathbb{R} $ cae en alguno de los tres conjuntos siguientes:
$int A$;
$ext A$;
$\partial A$
Sabemos que $int A \cap \partial A = \emptyset$
Si $ A = int A \Rightarrow A \cap \partial A = \emptyset.$
Si $A \cap \partial A = \emptyset$ entonces $A \subseteq int A$
Razón: Sea $ x \in A$ entonces $ x \notin \partial A$ y $x \notin ext A \subset A^c.$
Entonces $ x \in int A$ y por lo tanto $ A \subset int A$.
Como además, $int A \subset A$, concluimos que $$ A = int A \; _{\blacksquare}$$
(2) La intersección de las fronteras de dos conjuntos es igual a la frontera de la intersección.» ¿Verdadero o falso?
Falso.
dibujo 1
¿Siempre se da que $\partial A \cap \partial B \subseteq \partial (A \cap B)$?
No
Definamos los siguientes conjuntos: $A = (-1, 0)$ ; $B = (0, 1)$
$\partial A = \{ -1, 0\}$
$\partial B = \{ 0, 1\}$
$\partial A \cap \partial B = \{ 0\}$ …. (1)
$A \cap B = \emptyset$
$\partial (A \cap B) = \emptyset$….. (2)
Pero , de (1) y (2) se tiene que $$\emptyset \nsubseteq \{ 0 \}$$