La función $f : \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (x, y) \big| x \neq 0 \big\} \longrightarrow \mathbb{R}$
Dada por $f(x, y) = \frac{y}{x}$
$$f \, \circ \, T(r,\theta) = f \big( T(r, \theta) \big)$$
$$f \, \circ \, T (r, \theta) = f \big(r \cos \theta, r \sin \theta \big)$$
$$f \, \circ \, T (r, \theta) = \frac{ r \sin \theta}{ r \cos \theta}$$
$$f \, \circ \, T (r, \theta) = \tan \theta$$
https://www.geogebra.org/classic/exswze2h
${}$
En el otro ejemplo $g : \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, 0) \big\} \longrightarrow \mathbb{R}$ $$g(x, y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}$$
$$g \, \circ \, T(r,\theta) = g \big( T (r, \theta) \big)$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = g \big(r \cos \theta, r \sin \theta \big)$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = \frac{ 2 r \cos \theta r \sin \theta}{ (r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2}$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = \frac{ 2 r^2 \cos \theta \sin \theta}{ r^2}$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = \sin (2 \theta)$$
En el siguiente enlace puedes observar una animación del cambio de coordenadas.