Demostración:

Supongamos que $f(A)$ no es conexo.

Entonces existen $\mathcal{V_1}, \mathcal{V_2} \subseteq \mathbb{R}^m$ abiertos, ajenos, tales que $$f(A) \subseteq \mathcal{V_1} \cup \mathcal{V_2}$$ $$f(A) \cap \mathcal{V_1} \neq \emptyset$$ $$f(A) \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$$

Como $f$ es continua, entonces $f^{-1}(\mathcal{V_1})$ y $f^{-1}(\mathcal{V_2})$ son abiertos.

Afirmación: $f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cap f^{-1}(\mathcal{V_2}) = \emptyset$

Supongamos que la intersección no es el conjunto vacío.

Entonces existe $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cap f^{-1}(\mathcal{V_2})$ por lo que se cumple que $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_1}$ y $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_2}$ por lo tanto $ \mathcal{V_1} \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$ (CONTRADICCIÓN: ya que los supusimos ajenos).

Entonces $A \subseteq f^{-1}(\mathcal{V_1}) \cup f^{-1}(\mathcal{V_2}).$

Sea $\vec{x} \in A$. Calculamos $f(\vec{x}) \in f(A).$

Entonces $f(A) \subseteq \mathcal{V_1} \cup \mathcal{V_2}$, es decir, se tiene que $\vec{x} \in \mathcal{V_1}$ o $\vec{x} \in \mathcal{V_2}$, por lo tanto $$\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}) \; \text{o} \; \vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_2})$$

Si $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_1}$ entonces $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_1}).$

Si $f(\vec{x}) \in \mathcal{V_2}$ entonces $\vec{x} \in f^{-1}(\mathcal{V_2}).$

Por lo tanto, $$\vec{x} \in f^{-1}\mathcal{V_1}\cup f^{-1}(\mathcal{V_2}).$$

Falta ver que $$A \cap f^{-1} (\mathcal{V_1}) \neq \emptyset$$ $$A \cap f^{-1} (\mathcal{V_2}) \neq \emptyset$$

Como $f(A) \cap \mathcal{V_1} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_1} \in A$ tal que $f^{-1}(\vec{a_1}) \in \mathcal{V_1}$ es decir $\vec{a_1} \in f^{-1}(\vec{a_1}) \cap A \neq \emptyset.$

Análogamente, como $f(A) \cap \mathcal{V_2} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_2} \in A$ tal que $f^{-1}(\vec{a_2}) \in \mathcal{V_2}$ es decir $\vec{a_2} \in f^{-1}(\vec{a_2}) \cap A \neq \emptyset.$ $_{\blacksquare}$

Definición:

Sea $A \subseteq \mathbb{R}^n$

Se dice que $A$ es conexo por trayectorias (c.p.t.) si para todo par de puntos $\vec{p}, \vec{q} \in A$ existe una curva poligonal tal que une $\vec{p}$ con $\vec{q}$ y está contenida en $A.$

Ejemplo:

$$A = \mathbb{R}^n \setminus \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \big| x \leq 0, y = 0 \big\}$$

Ejemplo:

$$\mathcal{C} = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \big| x\neq 0 ; y = \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right\} \cup \; \mathcal{U} = \big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 , -1 \leq y \leq 1 \big\}$$

$\mathcal{C}$ es conexa pero $\mathcal{C}$ no es conexa por trayectorias poligonales.

Sea $f : \mathbb{R}^2 – \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \dfrac{2xy}{x^2+y^2}$$

* ¿Cuál es la gráfica de $f$?

Esta función no tiene límite cuando $(x,y)$ tiende al $(0,0)$.

Para imaginarnos la gráfica de $f$ utilizaremos la técnica de cortes y de curvas de nivel.

Cortes con el plano $x = x_0$ constante.

$z = f(x_0, y) = \dfrac{2x_0 y}{x_0^2+y^2}$

Por ejemplo, si $x_0 = 1$

$f(1, y) = \dfrac{2y}{1 + y^2}$

si $x_0 = 2$

$f(2, y) = \dfrac{4y}{4 + y^2}$

si $x_0 = \dfrac{1}{2}$

$f(\frac{1}{2}, y) = \dfrac{y}{\frac{1}{4} + y^2}$

CASO ESPECIAL $x = x_0 = 0$

$$z = f(0, y) = \dfrac{2(0)y}{0+y^2}$$

$z = 0$

https://www.geogebra.org/classic/r5c2eu76

Curvas de nivel

$f(x, y)=c $ con $ c \neq 0$

$\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = c $

$2xy = c (x^2+y^2)$

$\dfrac{2}{c}xy = x^2+y^2$

$y^2 \, – \, \dfrac{2}{c}xy + x^2 = 0$

Calculamos los valores de $y$.

$$y = \dfrac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4}{c^2}x^2 \, – \, 4x^2}}{2}$$

$$y = \dfrac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4x^2}{c^2}(1-c^2)}}{2}$$

Simplificando obtenemos que:

$$y = \dfrac{x}{c} \pm \dfrac{x}{c} \sqrt{(1-c^2)}$$

Son dos rectas y solo hay curvas para el intervalo $c=[-1, 1].$

En el siguiente enlace puedes observar vistas simultáneas de las curvas de nivel y la gráfica de la función.

https://www.geogebra.org/classic/u8kxbxq5

Definamos $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} $

$$\begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \; \dfrac{y}{x} \; \; \text{si} \; x \neq 0 \\ \; \; 0 \; \; \text{si } \; x = 0 \end{array}\right.\end{equation}$$

Para analizar la gráfica estudiemos las curvas de nivel.

Para cada constante $c \in \mathbb{R}$, el conjunto de nivel $c$ es $\Big\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, | f(x, y) = c \Big\} = f^{-1}(c)$.

$c= 0$

$f(x, y)=0$ lo cumplen los puntos de la forma $(0, y)$ con $y \in \mathbb{R}$ y los puntos de la forma $(x, 0)$ con $x \in \mathbb{R}$.

$c=1$

$f(x, y)=1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=1$ es decir cuando $y=x$ pero $x \neq 0$.

$c=2$

$f(x, y)=2$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = 2$ es decir cuando $y=2x$ pero $x \neq 0$.

$c=\frac{1}{2}$

$f(x, y)=\frac{1}{2}$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = \frac{1}{2}$ es decir cuando $y=\frac{1}{2}x$ pero $x \neq 0$.

$c= -1$

$f(x, y)=-1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=-1$ es decir cuando $y= -x$ pero $x \neq 0$.

Sabemos que la ecuación de una recta está dada por $y=mx+b$ de donde $m=\dfrac{y}{x}$ entonces podemos observar que el plano se llena con rectas de diferentes pendientes, incluso la recta vertical, que es cuando $c=0$.

Se puede ver que los puntos donde $f$ es discontinua son los de la forma $(0, y_0)$ que son los que forman la recta $x=0$, es decir, el eje $y$.

En la siguiente animación puedes observar las curvas de nivel que se calcularon.

https://www.geogebra.org/classic/tgfk7smx

Probar que $\| \; \| : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua.

Demostración:

Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n.$

$\big[$ por demostrar: $f(\vec{x}) = \big\| \vec{x} \big\|$ es continua en $\vec{x_0}$.$\big]$

Sea $\epsilon > 0$

$\big[$ por demostrar: existe $\delta > 0 $ tal que $\big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \delta \Rightarrow \big| f(\vec{x}) \, – \, f(\vec{x_0}) \big| < \epsilon $ $\big]$

¿Cuál es la $\delta$ que sirve? Proponemos $\delta = \epsilon.$

Continuando con la demostración:

Si $\big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \delta $ entonces $\big| f(\vec{x}) \, – \, f(\vec{x_0}) \big| = \big| \big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| \big| \leq \big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \epsilon$ $_{\blacksquare}$

Ejercicio

Sea $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ continua con la definición topológica.

Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n$

$\big[$ por demostrar: $f$ es continua en $\vec{x_0}.$ $\big]$

Sea $ \epsilon > 0.$

$\big[$ por demostrar: existe $\delta > 0$ tal que $\vec{x} \in B_{\delta}(\vec{x_0}) \Rightarrow f(\vec{x}) \in B_{\epsilon}.$ $\big]$

Consideremos $\mathcal{V} = B_{\epsilon}\big( f(\vec{x_0}) \big) \subseteq \mathbb{R}^m$ abierto.

Por hipótesis, $f^{-1}\big( \mathcal{V} \big) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto entonces, todos sus puntos son puntos interiores, en particular $\vec{x_0} \in f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) $ es punto interior,

Existe $ B_{\delta} \big( \vec{x_0} \big) \subseteq f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) .$

$\mathcal{V} = B_{\epsilon} \big( f(\vec{x_0} \big)$

$f^{-1}\big( \mathcal{V} \big) \subseteq A $ es un abierto relativo.

$f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) = A \cap U $ para algún abierto $ U \subseteq \mathbb{R}^n.$

Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A $ es una «vecindad relativa» de $\vec{x_0}$ y además $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \subseteq f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) .$

Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \Longrightarrow f(\vec{x_0}) \in B_{\epsilon}\big( f(\vec{x_0}) \big).$ $_{\blacksquare}$

Proposición: Toda sucesión acotada en $\mathbb{R}^N$ tiene alguna subsucesión convergente.

Demostración:

Sea $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión acotada en $\mathbb{R}^N$.

La imagen de la sucesión está contenida en una caja rectangular cerrada suficientemente grande.

Podemos dividir en dos cada lado de la caja y obtener un número finito de subcajas.

En al menos una de las subcajas está una infinidad de términos de la sucesión.

Podemos construir una «sucesión de cajas» anidadas $$C_1 \supseteq C_2 \supseteq \dots $$

Todos los lados tiende a «cero» en cuanto a su longitud, y siempre elijo la que contiene una infinidad de puntos.

La intersección de otra infinidad de cajas consiste de un punto $\vec{L} \in \mathbb{R}^n.$

La sucesión del teorema se obtiene eligiendo un término de la sucesión original en cada término de la sucesión de cajas $\big\{ \vec{x}_{n_k} \big\}_{k \in \mathbb{N}} \Longrightarrow \vec{L}.$ $_{\blacksquare}$

Proposición: La imagen de un compacto bajo una función continua es un conjunto compacto.

Demostración:

Sea $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \Longrightarrow \mathbb{R}^m$ continua en $A.$

Sea $B \subseteq A$ compacto.

$\big[$ por demostrar: $f(B)$ es compacto.$\big]$

Recordemos que $f(B) = \big\{ f(\vec{x}) \in \mathbb{R}^m \big| \vec{x} \in B \big\}$

Basta demostrar que $f(B)$ es cerrado y acotado.

1.$f(B)$ es acotado.

Supongamos que $f(B)$ no fuera acotado.

Para toda $M > 0$, existe algún $\vec{y} \in f(B)$ donde $\vec{y} = f(\vec{x}) , \; \vec{x} \in B$ tal que $\big\| \vec{y} \big\| > M$

Tomemos $M = n \in \mathbb{N}$ entonces $\vec{y} = \vec{y}_n = f(\vec{x}_n)$ para algún $\vec{x}_n \in B$

Tenemos una sucesión $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq B$ pero $B$ está acotada entonces, $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ es acotada entonces, tiene una subsucesión convergente. $$\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow \vec{L} \in B$$, con $B$ cerrado.

Pero $f$ es continua entonces, $\big\{ f(\vec{x}_{n_k})\big\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow f(\vec{L})$ $$\big\| f(\vec{x}_{n_k}) \big\| \longrightarrow \big\| f(\vec{L}) \big\| \in \mathbb{R}$$ fijo, finito. (CONTRADICCIÓN)

Por lo tanto $f(B)$ es acotada.

2.$f(B)$ es cerrado.

Basta demostrar que si $\vec{y}$ es punto de acumulación de $f(B)$ entonces, $\vec{y} \in f(B)$, es decir, existe $\vec{x} \in B$ tal que $\vec{y}= f(\vec{x})$

Para cada $N$ consideramos la $B_{\frac{1}{n}} (\vec{y}).$

Entonces, existe $\vec{y}_n \in f(B)$ tal que $\vec{y}_n \in B_{\frac{1}{n}}(\vec{y})$

Como $\vec{y}_n \in f(B) \Longrightarrow \exists \, \vec{x}_n \in B$ tal que $\vec{y}_n = f(\vec{x}_n)$ entonces $\vec{y}_n \in f(B).$

Formamos una sucesión acotada $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ que tiene una subsucesión convergente.

$\big\{ \vec{x}_{n_k} \big\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow \vec{L} \in B$ porque $B$ es cerrado.

Como $f$ es continua $\big\{ f(\vec{x}_{n_k}) \big\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow f(\vec{L}) = \vec{y}$

Existe $\vec{x} = \vec{L} \in B $ tal que $ \vec{y} = f(\vec{x})$ $_{\blacksquare}$

Corolario: Si $f : K \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ es continua, y $K$ es compacto entonces, $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $K.$

Demostración:

Sea $f(K)$ compacto $\subseteq \mathbb{R} $, acotado y no vacío.

Existe el supremo, el ínfimo, y $f(K)$ es cerrado.

Sea $a = ínf \, f(K) \Rightarrow a \in f(K) \Rightarrow \exists \, \alpha \in K $ tal que $ f(\alpha) = a .$

$b = sup \, f(K) \Rightarrow b \in f(K) \Rightarrow \exists \, \beta \in K $ tal que $ f(\beta) = b .$

Luego, $a = f(\alpha) \leq f(\vec{x}) \leq f(\beta) = b$ , $\forall \, \vec{x} \in K.$ $_{\blacksquare}$