Esta es la página de videos del curso de Ecuaciones Diferenciales I. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Introducción al curso y ecuaciones diferenciales primer orden
- Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden
- Unidad 3: Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales
- Unidad 4: Teoría cualitativa de sistemas de ecuaciones de primer orden
Videos del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Varias personas han colaborado con su elaboración y revisión.
Unidad 1: Introducción al curso y ecuaciones diferenciales de primer orden
- Introducción al curso y definiciones básicas
- Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial, curvas integrales y método de las isoclinas
- Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones
- Ecuaciones lineales homogéneas
- Ecuaciones lineales no homogéneas: solución por factor integrante
- Ecuaciones lineales no homogéneas: solución por variación de parámetros
- Teorema de existencia y unicidad
- Ecuaciones no lineales separables
- Ecuaciones exactas
- Ecuaciones no exactas: solución por factor integrante
- Ecuaciones de Bernoulli y Riccati
- Teorema de existencia y unicidad de Picard
- Ecuaciones integrales, iteraciones de Picard y su convergencia
- Lema de Gronwall
- Bifurcaciones
Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden
- Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
- Ecuaciones lineales no homogéneas: solución por variación de parámetros
- Ecuaciones lineales no homogéneas: solución por método de coeficientes indeterminados
- Series de potencias
- Ecuaciones lineales con coeficientes variables: soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario
- Ecuaciones lineales con coeficientes variables: soluciones por series de potencias cerca de un punto singular regular
- Método de Frobenius
- Ecuaciones de Hermite, Laguerre y Euler
- Ecuaciones de Bessel y Legendre
- Ecuaciones de Chebyshev e Hipergeométrica
- Transformada de Laplace: solución a una ecuación lineal con coeficientes constantes
Unidad 3: Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales
- Reducción de una ecuación diferencial de orden $n$ a un sistema de $n$ ecuaciones de primer orden
- Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas
- Exponencial de una matriz
- Valores y vectores propios, polinomio característico y sus raíces
- Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas con coeficientes constantes: raíces distintas del polinomio característico
- Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas con coeficientes constantes: raíces iguales del polinomio característico
- Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas con coeficientes constantes: raíces complejas del polinomio característico
- Sistemas de ecuaciones no homogéneas: solución por variación de parámetros
- Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de primer orden
Unidad 4: Teoría cualitativa de sistemas de ecuaciones de primer orden
- Geometría de las soluciones a un sistema de dos ecuaciones de primer orden, campo vectorial asociado y soluciones de equilibrio
- Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
- Plano fase para sistemas lineales con valores propios reales distintos no nulos
- Clasificación de puntos de equilibrio cuando los valores propios asociados al sistema son reales no nulos
- Plano fase para sistemas lineales con valores propios complejos
- Clasificación de puntos de equilibrio cuando los valores propios asociados al sistema son complejos
- Plano fase para sistemas lineales con valores propios repetidos y cuando todo vector en el plano es un vector propio
- Plano fase para sistemas lineales con cero como valor propio
- Linealización de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
- Conjuntos límite y su descripción cualitativa. Teorema de Poincaré-Bendixon en el plano
- Dibujo cualitativo del plano fase
- Sistemas Hamiltonianos
- Sistemas disipativos
- Función de Lyapunov
- Sistemas gradiente
Notas del curso
También se han creado notas del curso elaboradas por Omar González que se se pueden encontrar en el siguiente enlace:
Curso Ecuaciones Diferenciales I
Aunque la mayoría de los temas se abordan tanto en notas como en videos, existen temas que únicamente podrás encontrar en notas ó videos.
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se cuenta con un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Los videos están basados principalmente en los siguientes libros:
- Ecuaciones Diferenciales de Blanchard, Hall y Devaney
- Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems de Boyce y DiPrima
- Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones de Braun
Créditos
Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
- Eduardo Vera Rosales
- Omar González Franco