Teoría de los Conjuntos I: Isomorfismos

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de funciones biyectivas entre conjuntos ordenados, algunas con propiedades particulares a las que llamaremos isomorfismos.

Concepto

Definición: Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados. Decimos que $A$ es isomorfo a $B$ si existe $f:A\to B$ una función biyectiva tal que $f$ preserva el orden, es decir,

$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $f(a_1)\leq_B f(a_2)$.

Ejemplo:

Sea $(A, \leq_A)$ un orden parcial. Resulta que $A$ es isomorfo a sí mismo, pues la función identidad $id_A:A\to A$ es una función biyectiva que preserva el orden en $A$. Efectivamente, la función $id_A$ es claramente biyectiva de $A$ en $A$ y, además, $a_1\leq_Aa_2$ si y sólo si $id_A(a_1)\leq_Aid_A(a_2)$.

$\square$

Teorema: Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y sea $f:A\to B$ un isomorfismo de $A$ en $B$. Entonces, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.

Demostración:

Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f:A\to B$ es un isomorfismo de $A$ en $B$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden.

Dado que $f$ es una función biyectiva, entonces es invertible y más aún, $f^{-1}:B\to A$ es biyectiva. Resta ver que $f^{-1}$ preserva el orden, es decir,

$b_1\leq_B b_2$ si y sólo si $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.

$\rightarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $b_1\leq_B b_2$. Entonces $(f\circ f^{-1})(b_1)\leq_B (f\circ f^{-1})(b_2)$, es decir, $f(f^{-1}(b_1))\leq_B f(f^{-1}(b_2))$ y dado que $f$ es isomorfismo, se tiene que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.

$\leftarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$. Entonces, $f (f^{-1}(b_1))\leq_B f( f^{-1}(b_2))$ y así $b_1\leq_B b_2$.

Por lo tanto, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.

$\square$

Teorema: Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y $f:A\to B$ y $g:B\to C$ isomorfismos de orden. Entonces, $g\circ f:A\to C$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.

Demostración:

Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f$ es un isomorfismo de $A$ en $B$ y $g$ un isomorfismo de $B$ en $C$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden y $g:B\to C$ es una función biyectiva y preserva el orden.

Dado que $f$ y $g$ son funciones biyectivas, entonces $g\circ f: A\to C$ es una función biyectiva. Resta ver que $g\circ f$ preserva el orden, es decir,

$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $g\circ f(a_1)\leq_C g\circ f(a_2)$.

$\rightarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $a_1\leq_A a_2$, entonces $f(a_1)\leq_B f(a_2)$. Luego, $f(a_1), f(a_2)\in B$ y como $f(a_1)\leq_B f(a_2)$ se sigue que $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$.

$\leftarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $g\circ f(a_1)\leq_C g\circ f(a_2)$, lo que es equivalente a $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$. Luego, como $g$ es un isomorfismo preserva el orden y, por ende, $f(a_1)\leq_Bf(a_2)$. Finalmente, como $f$ es isomorfismo preserva el orden y, en consecuencia, $a_1\leq_A a_2$.

Por lo tanto, $g\circ f$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.

$\square$

Tarea moral

En la siguiente lista podrás fortalecer el contenido visto en esta sección:

  • Da un ejemplo de dos conjuntos ordenados $A$ y $B$, tales que existe $f:A\to B$ función biyectiva tal que si $a\leq_A b$, entonces $f(a)\leq_B f(b)$, pero que $f^{-1}$ no preserva el orden, es decir, existen $c,d\in B$ tal que $c\leq_B d$ pero $f^{-1}(c)\leq_A f^{-1}(d)$.

Más adelante

En la siguiente sección comenzaremos a construir al conjunto que conocemos como los naturales. Para ello será de gran importancia el contenido acerca de conjuntos ordenados que hemos visto hasta este momento.

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