Introducción

La noción de independencia de los eventos juega un papel importante en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.  Generalmente, saber que algún evento B ha ocurrido cambia la probabilidad de que otro evento A ocurra. Si la probabilidad permanece sin cambios entonces llamamos a A y B independientes.

Independencia de eventos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Sean $A$ y $B$ eventos independientes, muestra que
  • $A^c,\ B$
  • $A,\ B^c$
  • $A^c,\ B^c$

Son independientes.

• Demuestra que los eventos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P\left(A\middle|\ B\right)=P\left(A\middle|\ B^c\right)$.
• Sea $\Omega=${$1,2,\ldots,p$} donde $p$ es primo, $\mathcal{F}$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $\Omega$ y para todo evento $A\in\mathcal{F}$, $P(A)=\frac{\left|A\right|}{p}$. Muestra que, si $A$ y $B$ son eventos independientes, entonces al menos uno de los eventos $A$ y $B$ son cualquiera $\emptyset$ o $\Omega$.
• Considera que se lanza un dado n veces. Sea $A_{ij}$ el evento tal que el $i-ésimo$ y $j-ésimo$ resultado producen el mismo número. Muestra que los eventos {$A_{ij}:1\le\ i\le\ j\le\ n$} son independientes dos a dos, pero no son independientes.
• Prueba que si $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son eventos independientes entonces $P\left(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n\right)=1-\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left[1-P\left(A_i\right)\right]$.

Más adelante…

En los siguientes videos veremos dos aplicaciones útiles e importantes de la probabilidad condicional: el teorema de probabilidad total y el teorema de Bayes, que nos permiten a través de una partición correcta del espacio muestral, encontrar probabilidades de una manera conveniente.

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