Geometría Analítica I: ¿Qué es clasificar?

Introducción

En entradas anteriores, ya hemos hablado las cónicas que son lugares geométricos de puntos en el plano euclidiano que cumplen cierta propiedad dada en términos de distancias. En esta ocasión, nos interesa clasificar a las cónicas, por lo que comenzaremos respondiendo la siguiente pregunta: ¿qué es clasificar?

Definición

«Clasificar» es describir o enumerar las clases de equivalencia de un conjunto de objetos geométricos que cumplen ciertos «criterios».

Por lo anterior, lo primero que debemos hacer es establecer una noción de equivalencia, que es con lo que vamos a definir las condiciones que vamos a aceptar para decir que dos objetos son equivalentes.

Objetos equivalentes

Formalicemos lo anterior.

Recuerda que una figura plana es cualquier subconjunto $F\subset \mathbb R^2$. Considera a $G$ un grupo de transformaciones de $\mathbb R^2$.

Decimos que dos figuras $F_1, F_2 \subset \mathbb R^2$ son $G$-equivalentes ($F_1 \sim^GF_2$), si existe $g \in G$ tal que $g(F_1)=F_2$.

Veamos que $\sim^G$ es una relación de equivalencia.

Demostración

  • P.D. $\sim^G$ es reflexiva ($F\sim^GF)

Como $id(F)=F$ e $id$ está en $G$, entonces $\sim^G$ es reflexiva.

  • P.D. $\sim^G$ es simétrica (Si $F_1\sim^G F_2 \Rightarrow F_2\sim^G F_1$)

Si existe $g\in G$ tal que $g(F_1)=F_2$, entonces existe $g^{-1}\in G$ tal que $g^{-1}(F_2)=F_1$. Lo que implica que $\sim^G$ es simétrica.

  • P.D. $\sim^G$ es transitiva (Si $F_1\sim^G F_2 y F_2\sim^G F_3 \Rightarrow F_1\sim^G F_3$)

Si $g_1(F_1)=F_2$ y $g_2(F_2)=F_3$ con $g_1,g_2\in G$, entonces, $(g_2 \circ g_1)\in G$ y, además, $(g_2 \circ g_1)(F_1)=F_3. Entonces, $\sim^G$ es transitiva.

Por lo tanto, $\sim^G$ es una relación de equivalencia

Finalmente, observa que estas relaciones de «anidan» siguiendo la contención de grupos, esto quiere decir que, si $H\subset G$, entonces $F_1\sim^H F_2 \Rightarrow F_1\sim^G F_2$.

Tarea moral

  1. Describe, de forma matemática, la clasificación de triángulos.

Más adelante

A continuación, como ya sabemos a qué nos referimos con clasificar, vamos a ver los diferentes tipos de cónicas que existen.

Geometría Analítica I: Homotecias y semejanzas

Introducción

En esta ocasión, vamos a estudiar dos transformaciones importantes en las matemáticas, que ya hemos mencionado en entradas anteriores, pero que no hemos definido. Estas transformaciones son las semejanzas y las homotecias.

Homotecias

Las homotecias son las transformaciones que hacen que una figura aumente o disminuya de tamaño (como si aplicáramos un «zoom» a la figura). El cuánto aumenta o disminuye esta figura, es lo que llamaremos «factor de expansión», que tendrá un centro que se va a mantener mientras la figura aumenta o disminuye de tamaño, a este centro lo llamaremos «centro de expansión».

Cuando el centro de expansión es el origen, tenemos una transformación lineal con la siguiente matriz asociada:

\begin{equation}kI=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}\end{equation}

Con $k>0$.

Si $k>1$, tenemos un aumento y, si $k<1$, tenemos una disminución.

Si ahora componemos esta matriz con una traslación por $b \in \mathbb R^2$, obtenemos una homotecia de factor $k$ con centro de expansión $c$ que es el punto fijo que se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

\begin{equation}kx+b=x \end{equation}

Semejanzas

Las semejanzas son transformaciones que preservan ángulos.

Observa que las homotecias y las isometrías son semejanzas. Lo anterior muestra que las tres transformaciones están relacionadas, a continuación hablaremos más a fondo de esta relación.

Teorema 3.25: Si $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza, entonces existen $k>0$, $A\in O(2)$ y $b \in \mathbb R^2$ tales que:

\begin{equation} f(x)=kAx+b \end{equation}

Demostración

Considera la transformación lineal $g(x)=f(x)-b$, con $b:=f(0)$. Esta transformación es una traslación, por lo que preserva ángulos.

También considera a $B=(u,v)$, la matriz asociada a $g$, donde $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma $(*)$.

Finalmente, sean $k=|u|=|v|$ y $A=\frac{B}{k}$.

Observa que $A\in O(2)$ porque sus columnas son ortonormales y que, además:

\begin{equation} f(x)=g(x)+b=Bx+b=k Ax+b\end{equation}

Lo que concluye la demostración.

Tarea moral

  1. Demuestra, en $(*)$, que $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma.
  2. Encuentra la expresión de la homotecia de factor de expansión $k$ y centro $c$.
  3. Demuestra que una transformación $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza si y solo si, existe $k>0$ tal que $d(f(x),f(y))=kd(x,y)$ para todo $x,y \in \mathbb R^2$.

Más adelante…

No te pierdas la siguiente entrada en la que hablaremos de un nuevo tema, la clasificación.

Geometría Analítica I: Reflexiones y pasos

Introducción

En entradas anteriores, ya estudiamos algunas isometrías, en esta ocasión, dedicaremos esta sección al estudio de las isometrías que cambian de orientación, es decir, de las que son de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ una matriz de reflexión.

Algunas definiciones informales

Antes de empezar con este capítulo, es importante entender a qué nos referimos con reflexiones y «pasos».

  • Reflexiones: Como ya hemos estado estudiando en otras entradas, se tiene una reflexión cuando hay un comportamiento similar a un espejo, es decir, que se tiene exactamente lo mismo y a la misma altura, pero de forma «reflejada».
  • Pasos: Entenderemos por «pasos» a la acción que realizamos al caminar y avanzar. Y, a los pasos con traslación trivial, a los que damos reflejando nuestros pasos con una línea recta.

Un teorema importante

Teorema 3.24: Una isometría que invierte orientación es un paso (con traslación trivial) o una reflexión.

Demostración

La isometría que invierte orientación, como ya mencionamos al inicio, es de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ matriz de reflexión.

  • Puntos fijos

Primero vamos a ver si hay puntos fijos, para esto, debemos analizar el siguiente determinante:

\begin{equation}det(I-E_\theta)=det\begin{pmatrix} 1-\cos(2\theta) & – \sin(2\theta) \\
– \sin(2\theta) & 1+\cos(2\theta)\end{pmatrix}\end{equation}

De donde obtenemos:

\begin{equation}det(I-E_\theta)=1-\cos^2(2\theta)-\sin^2(2\theta)=1-1=0\end{equation}

Esto significa que no hay una solución única, es decir, que no tiene solución o tiene muchas soluciones.

  • Análisis de soluciones

Si $b=0$, entonces $f$ es una reflexión y las soluciones son los puntos de la recta espejo: l.

Veamos cuáles son los puntos de la recta l satisfacen la ecuación anterior que encontramos. Si $u=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ es el vector unitario que genera a l, entonces:

\begin{equation}E_\theta u=\begin{pmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\theta)\\
\sin(\theta) \end{pmatrix}\end{equation}

Donde, después de aplicar las funciones trigonométricas, llegamos a:

\begin{equation}E_\theta u=\begin{pmatrix} \cos(2\theta-\theta)\\
\sin(2\theta-\theta) \end{pmatrix}=u\end{equation}

Esto implica que $E_\theta(tu)=t(E_\theta u)=tu$ son todos los puntos de la recta l que satisfacen que $(I-E_\theta) x=0$.

Si para alguna $b$, el sistema $(I-E_\theta)x=b tiene una solución en particular, $c$, entonces toda la recta l$+c$ tiene soluciones para el sistema y se trata de una reflexión con espejo l$+c$, es decir, se trata de un «paso».

Pero, ¿cuáles son estas $b$ para las que hay solución?

Encontremos estas $b$ pensando de forma geométrica.

Observemos que, para cualquier $x \in \mathbb R^2$, la expresión $(I-E_\theta)x=x-E_\theta x$ indica el vector que va de $E_\theta x$ a $x$ y que es perpendicular al «espejo».

Si vemos a $(I-E_\theta)$ como función, encontraremos que es la proyección ortogonal a $l^T$, lo que implica que su imagen sea $l^T$.

De lo anterior, podemos concluir que la isometría $f(x)=E_\theta x+b$ solo tiene puntos fijos si $b\in l^T$

  • Otra forma de escribir la isometría

Finalmente, observemos que, cualquier $b \in \mathbb R^2$ puede ser escrito como suma de sus componentes respecto a la base normal $u, u^T$, es decir, como: $b-b1+b2$

Entonces podemos escribir la la isometría como:

\begin{equation}f(x)=(E_\theta x+b_2)+b_1\end{equation}

Con lo que concluimos la demostración.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $f$ es una isometría que invierte orientación, entonces $f^2=f\circ f$ es una traslación.
  2. Con la notación usada en esta sección, demuestra usando coordenadas e identidades trigonométricas, que $(I-E_\theta) u^T=2u^T$
  3. Si $f(x)=E_\theta x+b$. Encuentra y argumenta geométricamente una expresión para $f^{-1}$.

Más adelante…

No te pierdas la siguiente sección de estudio en la que analizaremos las homotecias y semejanzas.

Geometría Analítica I: Tipos de matrices

Introducción

Hemos conocido en esta unidad las transformaciones lineales y que a partir de ellas podemos asociarles una matriz única. En la sección anterior comenzamos con las primeras operaciones entre matrices: el producto de matrices y su estrecha relación con la composición de matrices. En esta unidad veremos las matrices más representativas y sus funciones lineales a las cuales están asociadas.

Matriz identidad

No es una familia de matrices, pero es el primer tipo de matriz que debemos mencionar. La matriz identidad está asociada a la función identidad y su tamaño es de $n\times n$, es decir el número de filas es el mismo que el de columnas. Se denota por $I$ pero como se tiene una matriz identidad para cada dimensión, se puede escribir como $I_n$.

La matriz identidad se caracteriza porque todos sus elementos son ceros ($0$) excepto aquellos elementos que se encuentran en la diagonal principal, que son unos ($1$).

Ejemplo. Para la función identidad $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, su matriz identidad asociada es

\[ I_2 = I_{2 \times 2} = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array} \right), \]

y para la función identidad $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$, su matriz identidad asociada es

\[ I_n = I_{n \times n} = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&\cdots&0\\
0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&1
\end{array} \right). \]

De hecho el producto de cualquier matriz por a matriz identidad no tiene ningún efecto, ya que siempre se cumple que $AI = A$ e $IA = A$.

Homotecias

Las homotecias son funciones de cambios de escala, porque conservan los ángulos pero no las distancias entre cualquier par de puntos. Sin embargo, todas las distancias se incrementan o disminuyen en una misma razón $k \in \mathbb{R}$, con $k \neq 0$, para una función $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ definida por $f(x) = kx$, la cual es lineal.

La matriz asociada a estas funciones es $kI$, es decir la matriz que sólo tiene elementos $k$ en la diagonal principal y ceros ($0$) fuera de dicha diagonal. Cuando $k>1$ aumentan las distancias (dilataciones), cuando $k<1$ disminuyen (contraen) y en caso de que $k=1$, las distancias se conservan.

Ejemplo. Para el caso de una función lineal $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, la matriz de homotecia de $2\times 2$ asociada es de la forma

\[ I_n = I_{n \times n} = \left(\begin{array}{cc}
k&0\\
0&k
\end{array} \right), \]

Ejemplo. Dada la función lineal definida por

\[ f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
\frac{x}{4}\\
\frac{y}{4}
\end{array} \right), \]

cuya matriz asociada es

\[ \left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{4}&0\\
0&\frac{1}{4}
\end{array} \right), \]

ya que

\[ f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{4}&0\\
0&\frac{1}{4}
\end{array} \right) \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
\frac{x}{4}\\
\frac{y}{4}
\end{array} \right).\]

Vemos que la función corresponde a una homotecia que reduce las distancias entre cualquier par de puntos en una razón de $\frac{1}{4}$.

Rotaciones

Recordemos que en las rotaciones, todo el plano gira un ángulo $\alpha$ alrededor de un punto fijo (el origen del sistema coordenado) pero permanecen invariantes el tamaño y forma de las figuras.

Las columnas de la matriz asociada a las rotaciones en $\mathbb{R}^2$ con centro en el origen mediante un ángulo $\alpha$ son:

\[ f(e_1) = \left(\begin{array}{c}
cos\, \alpha\\
sen\, \alpha
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} f(e_2)= \left(\begin{array}{c}
-sen\, \alpha\\
cos\, \alpha
\end{array} \right). \]

En consecuencia las rotaciones mandan al vector canónico $e_1$ en un vector unitario $u$ y al vector canónico $e_2$ en su vector ortogonal $u^{\perp}.$

Por tanto, para una función lineal $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, su matriz de rotación asociada correspondiente es

\[ R_{\alpha} = \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & -sen\, \alpha\\
sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right). \]

Ejemplo. Si $\alpha = 45°$ y queremos calcular la rotación de $45°$del vector $\vec{x}$ entonces la matriz en este caso será:

\begin{align*}
R_{45°}(\vec{x}) &= \left(\begin{array}{cc}
cos\, 45°& -sen\, 45°\\
sen\, 45°& cos\, 45°
\end{array} \right) \vec{x}\\
&= \left(\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array} \right) \vec{x}.
\end{align*}

Un hecho importante es que una vez que hubo una rotación de ángulo $\alpha$ y volvemos a aplicar una rotación pero de ángulo $-\alpha$, regresaremos a la matriz identidad. Es decir que con la ayuda de las igualdades

\[ cos\, (-\alpha) = cos\, \alpha \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} sen\, (-\alpha) = – sen \, \alpha,\]

se cumple que $R_{-\alpha}\, R_{\alpha} = I$. Este resultado lo dejaremos como ejercicio en la sección Tarea moral.

Ahora bien, si rotamos un ángulo $\beta$ y posteriormente un ángulo $\alpha$, rotamos entonces en total un ángulo $\alpha + \beta$, entonces se cumple que $R_{\alpha}\, R_{\beta} = R_{\alpha + \beta}$, pues

\begin{align*}
R_{\alpha}\, R_{\beta} &= \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha& -sen\, \alpha\\
sen\, \alpha& cos\, \alpha
\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}
cos\, \beta& -sen\, \beta\\
sen\, \beta& cos\, \beta
\end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha \, cos \, \beta \,- \, sen\, \alpha\, sen\, \beta & -cos\, \alpha \, sen \, \beta \,- \, sen\, \alpha\, cos\, \beta\\
sen\, \alpha \, cos \, \beta \,+ \, cos\, \alpha\, sen\, \beta & -sen\, \alpha \, sen \, \beta \, + \, cos\, \alpha\, cos\, \beta
\end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{cc}
cos(\alpha + \beta)& -sen(\alpha + \beta)\\
sen(\alpha + \beta)& cos(\alpha + \beta)
\end{array} \right) = R_{\alpha + \beta},
\end{align*}

obteniendo las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la suma de ángulos como consecuencia de la composición de funciones y la multiplicación de matrices.

Reflexiones

Para ver el significado geométrico que una reflexión ejerce sobre un vector, consideremos las funciones lineales:

  1. Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c}
    x\\
    y
    \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
    -x\\
    y
    \end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto al eje $y$.
  2. Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c}
    x\\
    y
    \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
    x\\
    -y
    \end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto al eje $x$.
  3. Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c}
    x\\
    y
    \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
    y\\
    x
    \end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto a la recta $y=x$.

La representación matricial de cada caso es

\[ R_y = \left(\begin{array}{cc}
-1&0\\
0&1
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} R_x = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-1
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} R_{y=x} = \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right), \]

respectivamente. De forma más general, las reflexiones deben parametrizarse por la mitad del ángulo de la imagen de $e_1$, quien es el ángulo de la recta respecto a la cual se hace la reflexión. Con ello, la reflexión en la recta con ángulo $\theta$ manda a $e_1$ en el vector unitario de ángulo $2\theta$, y su matriz asociada es:

\[ E_{\theta} = \left(\begin{array}{cc}
cos\, 2\theta & sen\, 2\theta \\\
sen\, 2\theta & -cos\, 2\theta
\end{array} \right) \]

Reflexión respecto a un eje

Dejaremos como ejercicio moral ver que se cumplen $E_{\theta} E_{\theta} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha} E_{\beta}= R_{2(\alpha – \beta).}$

Matrices ortogonales

Una matriz ortogonal debe cumplir ser cuadrada y su función lineal asociada debe ser ortogonal (es decir, que preserva el producto interior). Entonces, para que se cumplan dichas condiciones, recurrimos a la siguiente definición:

Definición. Una matriz A de $n\times n$ es ortogonal (la matriz de una transformación ortogonal) si y sólo si $A \cdot A^T = I$.

Ejemplo. Para la matriz de reflexión con respecto a la recta $x=y$

\[
A = \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right),
\]

el producto de A con su transpuesta $A^T$ es

\[
A \cdot A^T = \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array} \right) = I
\]

Ejemplo. Para la matriz de rotación

\[ B = \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & sen\, \alpha\\
-sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right), \]

el producto de B con su transpuesta $B^T$ es

\[
B \cdot B^T = \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & -sen\, \alpha\\
sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & sen\, \alpha\\
-sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array} \right) = I.
\]

De hecho las matrices ortogonales de $2 \times 2$ son: las rotaciones y las reflexiones.

Tarea moral

  1. ¿Las siguientes matrices son matrices identidad?

\[ A = \left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&3
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} B = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1\\
0&0
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} C = \left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array} \right), \]

2. Demostrar que las homotecias tienen la propiedad de conmutar con cualquier otra matriz, es decir, $A(kI) = (kI) A$, donde $k$ es una constante real, $I$ es la matriz identidad y $A$ una matriz de $n\times n$.

3. Demostrar que la rotación de un ángulo $-\theta$ nos regresa a la unidad, es decir, probar que se cumple $R_{-\theta}R_{\theta}= I$

4. En la sección de reflexiones de esta entrada definimos a la matriz $E_{\theta}$. Demostrar que se cumple $E_{\theta} E_{\theta} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha}E_{\beta}= R_{2(\alpha – \beta).}$

Más adelante

En la siguiente entrada vamos a conocer al grupo de matrices invertibles de $n\times n$, el grupo general lineal de orden $n$; a las cuales pertenecen las matrices ortogonales. Además veremos la forma más fácil de saber si una matriz de $2\times 2$ es invertible, mediante el determinante y su relación con los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Enlaces relacionados

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Geometría Moderna I: Homotecia

Introducción

En esta entrada estudiamos el tema de homotecia, que es una transformación que lleva una figura del plano a otra semejante, con lados correspondientes paralelos y vértices correspondientes concurrentes, estas propiedades nos permitirán abordar algunos problemas de construcciones geométricas.

Definición 1. Considera un punto $H$, un conjunto de puntos $F$ y $0 \neq k$ un numero real, para cada $X \in F$ sea $X’$ tal que $X’$, $X$ y $H$ son colineales y $\dfrac{HX’}{HX} = k$.

Sea $F’$ el conjunto de puntos $X’$, diremos que los conjuntos $F$ y $F’$ son figuras homotéticas y los puntos $X$ y $X’$ son puntos homólogos.

$H$ se llama centro de homotecia, $k$ es la razón de homotecia y la relación entre $F$ y $F’$ es una homotecia con centro en $H$ y razón $k$. Por convención el centro de homotecia $H$ es su propio punto homólogo.

Si puntos homólogos de una homotecia están del mismo lado del centro de homotecia decimos que los conjuntos son directamente homotéticos y la razón de homotecia es positiva, si los puntos homólogos están en lados opuestos respecto del centro de homotecia decimos que las figuras son inversamente homotéticas y la razón de homotecia será negativa.

Homotecia de una recta

Teorema 1. La homotecia de una recta que no pasa por el centro de homotecia es una recta paralela.

Demostración. Sean $H$ y $k$ el centro y la razón de homotecia, y sea $l$ una recta que no pasa por $H$. Tomemos tres puntos arbitrarios $P$, $Q$, $R \in l$, sean $P’$, $Q’$ y $R’$ sus correspondientes puntos homólogos.

Figura 1

Como $\dfrac{HP’}{HP} = k = \dfrac{HQ’}{HQ}$, por el reciproco del teorema de Thales, $\overline{PQ} \parallel \overline{P’Q’}$, análogamente $\overline{QR} \parallel \overline{Q’R’}$ y $\overline{PR} \parallel \overline{P’R’}$.

Supongamos que $P’$, $Q’$ y $R’$ no son colineales, entonces $\triangle P’Q’R’$ es un triángulo y así $\triangle PQR$ es un triángulo con lados paralelos a los de $\triangle P’Q’R’$, lo cual es una contradicción, pues $\overline{PQR}$ es una recta.

Si fijamos $P$ y $Q$, y tomamos $R$ como variable, entonces $P’$ y $Q’$ son fijos y $R’$ es variable, así todos los puntos $R’$ son colineales con $P’$ y $Q’$.

Por lo tanto, la homotecia de una recta es una recta paralela a esta.

$\blacksquare$

Definición 2. Decimos que dos polígonos $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ son semejantes si los correspondientes lados son proporcionales $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} =…$ y los ángulos correspondientes son iguales $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$, $…$

Corolario. Dos polígonos homotéticos son semejantes.

Demostración. Sean $A$, $B$ y $C$ vértices de un polígono $ABCD…$, entonces por el teorema anterior, los lados del triángulo $\triangle A’B’C’$, formado por los puntos homólogos de $A$, $B$ y $C$, son paralelos a los lados correspondientes de $\triangle ABC$, por lo tanto, los triángulos son semejantes y así los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

$\blacksquare$

Polígonos homotéticos

Teorema 2. Si los lados correspondientes de dos polígonos son proporcionales y paralelos entonces los polígonos son homotéticos.

Demostración. Sean $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ dos polígonos que cumplen las condiciones dadas, sea $H$ la intersección de las rectas $\overline{AA’}$ y $\overline{BB’}$ y supongamos que $\overline{CC’}$ no pasa por $H$, entonces sea $H’ = \overline{CC’} \cap \overline{BB’}$.

Figura 2

Como $\overline{AB} \parallel \overline{A’B’}$ y $\overline{BC} \parallel \overline{B’C’}$ entonces $\triangle HAB \sim \triangle HA’B’$ y $\triangle H’BC \sim \triangle H’B’C’$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{HB}{HB’}$ y $\dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{H’B}{H’B’}$ 

Ya que los lados correspondientes de $ABCD…$ son proporcionales a los de $A’B’C’D’…$, entonces $ \dfrac{HB}{HB’} = \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{H’B}{H’B’} $
$\Rightarrow \dfrac{HB}{HB’} – 1= \dfrac{H’B}{H’B’} – 1 \Rightarrow \dfrac{HB – HB’}{HB’} = \dfrac{H’B – H’B’}{H’B’}$
$\Rightarrow \dfrac{B’B}{HB’} = \dfrac{B’B}{H’B’} \Rightarrow HB’ = H’B’$

Por lo tanto, $H = H’$

Así, $\overline{AA’}$, $\overline{BB’}$ y $\overline{CC’}$ son concurrentes y $\dfrac{HA’}{HA} = \dfrac{HB’}{HB} = \dfrac{HC’}{HC}$, es análogo ver que las demás rectas que unen vértices correspondientes concurren en $H$.

Por tanto, $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ se encuentran en homotecia desde $H$ y por el corolario 1, $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$, son semejantes, la razón de homotecia es la razón de semejanza, $\dfrac{HA’}{HA} = \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} =…$.

$\blacksquare$

Observación. Si los lados correspondientes de las figuras $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ son congruentes entonces $\square AA’B’B$ es un paralelogramo, es decir $\overline{AA’}$ y $\overline{BB’}$ no pueden ser concurrentes.

Rectas concurrentes

Proposición. Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de tangencia del incírculo $(I, r)$ de $\triangle ABC$, con los lados $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ respectivamente, sean $A’$, $B’$ y $C’$ la intersección de las rectas $\overline{AI}$, $\overline{BI}$ y $\overline{CI}$ con el circuncírculo del triángulo $\triangle ABC$, entonces la rectas $\overline{A’D}$, $\overline{B’E}$ y $\overline{C’F}$ son concurrentes.

Demostración. Notemos que $AF = AE$, pues son las tangentes trazadas desde $A$ a $(I, r)$ , como $\triangle AEF$ es isósceles entonces la bisectriz de $A$ es perpendicular a $\overline{EF}$, $\overline{AI} \perp \overline{EF}$.

Figura 3

Por otro lado, tenemos que $\angle C’B’B = \angle C’CB = \dfrac{\angle C}{2}$ pues abarcan el mismo arco; el ángulo $\angle B’IA$ es un ángulo exterior del triángulo $\triangle AIB$, entonces
$\angle B’IA = \angle BAI + \angle IBA = \dfrac{\angle A + \angle B}{2}$.

Sea $G = \overline{AI} \cap \overline{C’B’}$, en el triángulo $\triangle GIB’$ tenemos que $\angle IGB’ = \pi – (\angle C’B’B + \angle B’IA) = \pi – \dfrac{\angle A + \angle B + \angle C}{2} = \dfrac{\pi}{2}$.

Por lo tanto, $\overline{AI} \perp \overline{B’C’}$ $\Rightarrow \overline{EF} \parallel \overline{B’C’}$, de manera análoga podemos ver que $\overline{ED} \parallel \overline{B’A’}$ y $\overline{DF} \parallel \overline{A’C’}$.

De lo anterior se sigue que $\triangle DEF \sim \triangle A’B’C’$, y por el teorema 2, $\overline{A’D}$, $\overline{B’E}$ y $\overline{C’F}$ concurren en algún punto $H$ que es el centro de homotecia de los triángulos $\triangle DEF$ y $\triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Inscribir un triángulo en otro triángulo dado

Problema. 1 En un triángulo dado inscribir un triángulo cuyos lados sean perpendiculares a los lados del triángulo dado.

Solución. Sea $\triangle ABC$ el triángulo dado, la idea es construir una homotecia desde uno de los vértices, tomemos $D \in \overline{BC}$, distinto de $B$, $C$ y también diferente al pie de la altura por $A$.

Por $D$ trazamos la perpendicular a $\overline{BC}$ que interseca a $\overline{AC}$ en $E$, por $E$ trazamos la perpendicular a $\overline{AC}$ que interseca a $\overline{AB}$ en $F$. Por $F$ trazamos la perpendicular a $\overline{AB}$ que interseca a $\overline{DE}$ en $G$.

Figura 4

Sea $G’ = \overline{BC} \cap \overline{AG}$, por $G’$ trazamos la paralela a $\overline{GE}$ que interseca a $\overline{AC}$ en $E’$, también trazamos la paralela a $\overline{GF}$ por $G’$ que interseca a $\overline{AB}$ en $F’$.

Por construcción $\overline{EE’}$, $\overline{FF’}$ y $\overline{GG’}$ concurren en $A$, $\overline{G’F’} \perp \overline{AB}$ y $\overline{G’E’} \perp \overline{AC}$.

Como $\triangle AF’G’ \sim \triangle AFG$ y $\triangle AG’E’ \sim \triangle AGE$
$\dfrac{AF’}{AF} = \dfrac{AG’}{AG} = \dfrac{AE’}{AE}$.

Por tanto, $E’$, $F’$ y $G’$ son puntos homólogos de $E$, $F$ y $G$ respectivamente, con centro de homotecia en $A$.

Por el teorema 1, $\overline{E’F’} \parallel \overline{EF}$ y así $\overline{E’F’} \perp \overline{AC}$.

$\blacksquare$

Observación. Notemos que construimos $ \overline{DE} \perp \overline{BC}$ y tal que $E \in \overline{AC}$, pero pudimos haber construido $E \in \overline{AB}$ de lo que resultaría un triangulo distinto $\triangle E’F’G’$ y por lo tanto tenemos dos soluciones.

Inscribir un cuadrado en un triángulo dado

Problema 2. Dado un triángulo, inscribir un cuadrado en el triángulo dado.

Solución. Sea $\triangle ABC$ el triángulo dado, construimos un cuadrado exteriormente $\square BDEC$ sobre $\overline{BC}$, sean $D’ = \overline{AD} \cap \overline{BC}$ y $E’ = \overline{AE} \cap \overline{BC}$.

Como $\overline{BC} \parallel \overline{DE}$ entonces $D’$ y $E’$ son puntos homólogos de $D$ y $E$ respectivamente con centro de homotecia en $A$.

Por $D’$ trazamos una paralela a $\overline{BD}$ que interseca a $\overline{AB}$ en $B’$ y por $E’$ trazamos una paralela a $\overline{CE}$ que interseca a $\overline{AC}$ en $C’$.

Figura 5

Como $\overline{B’D’}$ es transversal a $\overline{AB}$ y a $\overline{AD}$ y es paralela a $\overline{BD}$ entonces $\dfrac{AB’}{AB} =\dfrac{AD’}{AD}$ y por tanto, $B$ y $B’$ son puntos homólogos, de manera similar podemos ver que $C$ y $C’$ son puntos homólogos.

Como $\square BDEC$ y $\square B’D’E’C’$ son figuras homotéticas entonces, por el corolario, son semejantes, por lo tanto, $\square B’D’E’C’$ es un cuadrado.

$\blacksquare$

Observación. Si alguno de los ángulos $\angle B$ o $\angle C$ es obtuso, entonces una de las rectas $\overline{AD}$ o $\overline{AE}$ intersecaría a $\overline{BC}$ por fuera y no seria posible la construcción.

Así, si nuestro triángulo $\triangle ABC$ es obtusángulo tenemos que tomar como centro de homotecia el vértice del ángulo obtuso.

Si $\triangle ABC$ es acutángulo existen tres soluciones, una por cada vértice como centro de homotecia, y si es rectángulo hay dos soluciones.

Construir una secante a un triángulo dado

Problema 3. Dado un triángulo $\triangle ABC$, construye $D \in \overline{AB}$ y $E \in \overline{AC}$ tal que $BD = DE = EC$.

Solución. Supongamos que ya tenemos la figura requerida (figura 6). Por $A$ trazamos una paralela a $\overline{DE}$ que interseca a $\overline{BE}$ en $F$, por $F$ trazamos una paralela a $\overline{AC}$ que interseca a $\overline{BC}$ en $G$.

Figura 6

Como $\overline{AF} \parallel \overline{DE}$ y $\overline{FG} \parallel \overline{EC}$, por el teorema de Thales, tenemos
$\dfrac{BA}{BD} = \dfrac{BF}{BE} = \dfrac{BG}{BC}$
así que $(A, D)$, $(F, E)$ y $(G, C)$ son pares de puntos homólogos, con centro en $B$.

Inversamente, para construir el cuadrilátero auxiliar $\square BAFG$ hacemos lo siguiente (figura 7), trazamos una circunferencia con centro en $A$ y radio $\overline{AB}$, $(A, AB)$, construimos $L \in \overline{AC}$ tal que $LC = AB$, trazamos una paralela $l_1$ a $\overline{BC}$ por $L$, sea $F = (A, AB) \cap l_1$, trazamos una paralela $l_2$ a $\overline{AC}$ por $F$, sea $G = \overline{BC} \cap l_2$.

Figura 7

Como $\square LCGF$ es un paralelogramo entonces $FG = LC = AB = AF$.

Finalmente, sean $E = \overline{AC} \cap \overline{BF}$ y $D$ la intersección de la paralela por $E$ a $\overline{AF}$ con $\overline{AB}$.

Por construcción $\square BDEC$ y $\square BAFG$ son homotéticos, con centro de homotecia en $B$, y tenemos que $\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{DE}{AF} = \dfrac{EC}{FG}$ $\Rightarrow BD = DE = EC$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Sean $B$, $B’$ y $C$, $C’$ pares de puntos homólogos de dos figuras homotéticas $F$ y $F’$, considera $A \in F$, por $B’$ y $C’$ tracemos paralelas a $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ respectivamente, sea $A’$ la intersección de estas dos últimas rectas, prueba que $A$ y $A’$ son puntos homólogos.
  2. Si dos triángulos están en homotecia muestra que sus incentros, circuncentros, ortocentros y centroides son puntos homólogos, y que sus bisectrices, mediatrices, alturas y medianas son rectas homotéticas.
  3. Dadas dos rectas $l_1$ y $l_2$ que se intersecan en un punto inaccesible, trazar una recta que pase por un punto dado $P$ y la intersección de las rectas dadas (figura 8).
Figura 8
  1. En un triangulo dado inscribir un triangulo cuyos lados sean paralelos a las bisectrices internas del triangulo dado.
  2. En un triangulo dado $\triangle ABC$, construir un cuadrado tal que un vértice este en la extensión de $\overline{AB}$, otro en la exención de $\overline{AC}$ y los otros dos vértices en $\overline{BC}$.
  3. Construir un triangulo $\triangle ABC$ dados $\angle A$, $AB + BC$ y $AC + BC$.

Más adelante…

Continuando con el tema de homotecia, en la próxima entrada veremos circunferencias homotéticas.

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