Geometría Moderna I: Introducción

Introducción

Esta es la primera entrada del curso de Geometría Moderna I el cual está basado en el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Aquí presentaremos algunos elementos básicos que nos serán de ayuda para poder arrancar con el curso.

El termino Geometría Moderna se refiere a aquella geometría deductiva, que fue desarrollada después de Euclides y hasta el desarrollo de las geometrías no euclidianas, este periodo está comprendido entre los siglos III AC y XIX DC, es decir, la geometría griega hecha con regla y compás, pero después de los griegos. A diferencia de Geometría Analítica, aquí no será necesario un eje de coordenadas, solo haremos uso de Álgebra muy elemental y nociones básicas de Teoría de Conjuntos.

Elementos básicos

Muchas de las proposiciones en Geometría moderna nos hablan sobre la intersección de rectas, colinealidad de puntos o sobre la igualdad-desigualdad entre magnitudes del mismo tipo, estas pueden ser ángulos, segmentos, distancia entre puntos etc. Y la mayoría del tiempo empleamos este tipo de relaciones para demostrar proposiciones mayores. Con la finalidad de no perdernos en el camino empezaremos por definir algunos de los objetos más básicos con los que estaremos trabajando a lo largo de todo el curso.

Definición 1. Una línea recta es la que está determinada por cualesquiera dos de sus puntos. De aquí en adelante nos referiremos a una línea recta simplemente como recta.

Una línea recta divide al plano en tres partes, la recta misma y dos porciones del plano, a cada una de estas porciones le llamaremos semiplano. Para dos puntos dados $A$ y $B$ de una recta, a la porción de recta comprendida entre los puntos lo denotaremos como segmento $AB$.

Definición 2. Definimos la distancia entre dos puntos $A$ y $B$ como la longitud del segmento de recta que los une.

Definición 3. Todo punto $O$ de una recta divide a esta a en dos partes, a cada una de estas partes le llamamos rayo con punto inicial $O$ y lo denotaremos $Ox$. A la parte en común de dos semiplanos formados por dos rectas distintas que se cortan le llamamos ángulo.

Al punto de intersección formado por los rayos $Ox$ y $Oy$ le llamamos vértice y a los rayos lados del ángulo. Para un punto $A$ en $Ox$ y un punto $B$ en $Oy$ denotaremos al ángulo como $\angle AOB$.

Definición 4. Cuando dos ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ tienen un mismo vértice $O$ y un mismo lado $OB$ en común, decimos que los ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ son adyacentes.

Si dos rectas se intersecan en un punto $O$ se forman 4 ángulos, en este caso a los ángulos no adyacentes les llamamos opuestos por el vértice. En la imagen los pares de ángulos $\angle AOB, \angle COD$ y $\angle BOC, \angle DOA$ son opuestos por el vértice. Una propiedad que cumplen los lados opuestos por el vértice es que son iguales.

Definición 5. A las rectas que no tienen ningún punto en común les llamamos paralelas. Si dos rectas que se intersecan forman cuatro ángulos iguales decimos que estas son perpendiculares y a los ángulos les llamamos ángulos rectos.

Definición 6. Cuando una recta $l_{3}$ interseca a otras dos $l_{1}$ y $l_{2}$ decimos que la primera es transversal a las otras y en este caso se forman 8 ángulos.

A los ángulos entre las rectas les llamamos ángulos internos y a los restantes les llamamos ángulos externos. En la imagen $a, d, f$ y $g$ son ángulos internos y $b, c, e$ y $h$ son ángulos externos.

El par de ángulos interiores que yacen en lados opuestos de la transversal son alternos internos. En este caso los ángulos $a$ y $g$, $d$ y $f$ son alternos internos.

El par de ángulos exteriores que yacen en lados opuestos de la transversal son alternos externos. En este caso los ángulos $c$ y $e$, $b$ y $h$ son alternos externos.

Llamamos ángulos correspondientes al par de ángulos, uno exterior y otro interior, que yacen al mismo lado de la transversal. Aquí $b$ y $f$, $a$ y $e$, $c$ y $g$, $d$ y $h$ son correspondientes.

Esta configuración es útil a la hora de demostrar la igualdad entre ángulos, pues para el caso de rectas paralelas se cumple que los ángulos correspondientes son iguales, de manera reciproca si encontramos que un par de ángulos correspondientes son iguales entonces las rectas son paralelas. Puedes asumir esta propiedad para resolver la tarea moral.

El triángulo

El triángulo es el único polígono que tiene el mismo número de vértices que de lados, es por eso no empleamos el termino trilátero. Por ejemplo, un cuadrángulo completo es aquel construido a partir de cuatro puntos y todas las rectas que unen cualesquiera dos pares de puntos o vértices.

Empleamos indistintamente el termino lado para referirnos a la recta que acota una parte de un polígono o al segmento comprendido entre dos vértices.

Otra característica importante del triángulo es que es el único polígono rígido, es decir no es posible modificar la magnitud de uno de sus ángulos sin al mismo tiempo modificar la longitud de uno de sus lados. Gracias a esta última característica el triángulo es muy útil para resolver problemas de geometría euclidiana.

Ejemplo: En un terreno se ha producido un socavón y nos gustaría medir la longitud de uno de su ejes, así que marcamos dos puntos $A$ y $B$ no muy cerca del borde para no correr peligro. ¿Cómo podemos medir la distancia entre estos puntos, sin atravesar el socavón?

Una solución seria ubicar un punto $C$ fuera del socavón desde donde sean visibles $A$ y $B$, podemos trazar los segmentos $AC$ y $BC$, después extender estos mismos segmentos hasta puntos $A’$ y $B’$ respectivamente tales que $AC = CA’$ y $BC = CB’$.

¿Podemos asegurar que los lados $AB$ y $A’B’$ son iguales?

Por construcción sabemos que los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A’CB’$ tienen dos lados iguales y ya que los ángulos $\angle ACB$ y $\angle B’CA’$ son opuestos por el vértice entonces son iguales, por lo que $\triangle ABC$ y $\triangle A’CB’$ tienen tres elementos en común, dos lados y el ángulo entre ellos.

Como ya mencionamos, el triángulo es un polígono rígido esto nos sugiere que debe existir algún criterio para determinar si dos triángulos son iguales cuando comparten algunos elementos en común, más adelante veremos que en efecto el criterio lado, ángulo, lado, nos asegura que $AB = A’B’$.

Tarea moral

  1. Muestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
  2. Demuestra que los pares de ángulos alternos internos son iguales y también que los pares de ángulos alternos externos son iguales, para el caso de rectas paralelas.
  3. Dibuja un cuadrilátero completo.
  4. Geogebra es un software libre de matemáticas muy útil, con él que te puedes apoyar para hacer tus demostraciones durante este curso, aquí esta la versión online, también lo puedes descargar.
  5. Puedes leer las primeras entradas de Geometría Analítica I que hablan de los objetos aquí expuestos desde un punto de vista más algebraico.

Más adelante…

En la siguiente entrada presentaremos los axiomas de Euclides que son el punto de partida para poder establecer relaciones entre los objetos que hemos definido.

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