Geometría Moderna I: Cuadriláteros cíclicos

Introducción

Definición 1. Si los vértices de un polígono están en una misma circunferencia decimos que está inscrito en ella o que es cíclico.

Sabemos que para un triángulo cualquiera siempre existe una única circunferencia en la que el triángulo está inscrito y cuyo centro es el punto en el que concurren las mediatrices de los lados del triángulo. Para un cuadrilátero cualquiera esto no siempre es posible, aquí veremos algunas condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero sea cíclico y algunos otros resultados.

Algunas caracterizaciones

Teorema 1. (a) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos son suplementarios.

Demostración. Sea$\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en $(O, r)$, los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ son subtendidos por los arcos $\overline{AC}$ y $\overline{CA}$ respectivamente y por el Teorema de la medida del ángulo inscrito tenemos que $\measuredangle ADC + \measuredangle CBA = \dfrac{\measuredangle AOC}{2} + \dfrac{\measuredangle COA}{2} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

De manera análoga se ve que $\angle BAD$ y $\angle DCB$ son suplementarios, por lo tanto, los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios.

Ahora supongamos que los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ de $\square ABCD$ son suplementarios, consideremos el par de puntos fijos $A$ y $C$ entonces el lugar geométrico de los puntos $D’$ tales que el ángulo $\measuredangle AD’C = \pi – \measuredangle CBA$ son dos arcos de circunferencia que son simétricos con respecto a $\overline{AC}$.

Por otra parte, en el circuncírculo $(O, OB)$ de $\triangle ABC$, sabemos que todos los puntos $D’ \in \overset{\LARGE{\frown}}{CA}$ cumplen que $\measuredangle AD’C = \pi – \measuredangle ABC$ (entrada ángulos en la circunferencia, tarea moral, ejercicio 2) y como $(O, OB)$ es única se tiene que $A, B, C, D \in (O, OB)$.

Por lo tanto, $\square ABCD$ es cíclico.

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(b) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si uno de los pares de ángulos formados uno con una diagonal y un lado y el otro con la otra diagonal y el lado opuesto son iguales.

(c) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si las mediatrices de los cuatro lados del cuadrilátero son concurrentes.

La prueba de estas dos últimas proposiciones queda como ejercicio.

Definición 2. Sean $l_{1}$, $l_{2}$ y $l_{3}$, $l_{4}$ dos pares de rectas tales que la bisectriz del primer par es transversal al segundo par y forma ángulos internos iguales entonces decimos que $l_{3}$ y $l_{4}$ son antiparalelas con respecto a $l_{1}$ y  $l_{2}$.

Observación. Dos rectas paralelas también pueden ser antiparalelas entre sí, por ejemplo, en un trapecio isósceles la bisectriz del par de lados que no son paralelos es perpendicular al par de lados paralelos.

En el caso de dos rectas paralelas diferentes decimos que su bisectriz es la recta que equidista de ellas. Con esto podemos decir que en un rectángulo cualquier par de lados opuestos son antiparalelos con respecto al otro.

Teorema 2. Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si un par de lados opuestos es antiparalelo respecto al otro par de lados opuestos.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $E$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$, $F$ y $G$ los puntos en que la bisectriz de $\angle DEA$ interseca a $\overline{DA}$ y $\overline{BC}$ respectivamente.

Por el Teorema 1 (a) sabemos que $\measuredangle DCB + \measuredangle BAD = \pi$ pero $\measuredangle FAE + \measuredangle DAB = \pi$, por lo tanto $\measuredangle DCB = \measuredangle FAE$ y como $\measuredangle FED = \measuredangle AEF$ los triángulos $\triangle AEF$ y $\triangle CEG$ son similares.

Luego $\measuredangle EFA = \measuredangle CGE$ pero $\measuredangle EFA = \measuredangle GFD$ por ser opuestos por el vértice por lo tanto $\measuredangle GFD = \measuredangle CGF$.

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La prueba para la proposición reciproca es exactamente la misma, pero intercambiando la dirección de los argumentos.

Corolario. Si se prolongan los lados de un cuadrilátero cíclico las bisectrices de los ángulos formados por los lados opuestos son perpendiculares entre sí.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $E$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$, $F$ y $G$ los puntos en que la bisectriz de $\angle DEA$ interseca a $\overline{DA}$ y $\overline{BC}$ respectivamente y $H$ la intersección de $\overline{DA}$ con $\overline{BC}$ como en la imagen anterior.

Como $\square ABCD$ es cíclico por el Teorema 2 se tiene que $\measuredangle GFD = \measuredangle CGF$ por lo tanto $\triangle GHF$ es isósceles y por lo tanto la bisectriz de $\angle GHF$ coincide con la mediatriz de $\overline{FG}$ por lo tanto las bisectrices de $\angle BHA$ y $\angle CEB$ son perpendiculares.

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Teorema de Ptolomeo

Teorema 3. En todo cuadrilátero convexo la suma de los productos entre lados opuestos es mayor o igual a el producto de las diagonales.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero, construyamos sobre el segmento $\overline{AB}$ un triángulo $\triangle ABE$ semejante a $\triangle ADC$ tal que $\measuredangle ABE = \measuredangle CAD$ y $\measuredangle BAE = \measuredangle CAD$ entonces tenemos que  $\dfrac{EA}{CA} = \dfrac{BA}{DA}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{CA}{DA}$.

De la última igualdad y dado que $\measuredangle CAE = \measuredangle BAD$, por criterio lado, ángulo, lado, los triángulos $\triangle EAC$ y $\triangle BAD$ son semejantes entonces de la primera y segunda relaciones de semejanza tenemos que
$\dfrac{EB}{CD} = \dfrac{AB}{AD}$ y $\dfrac{EC}{BD} = \dfrac{AC}{AD}$  $\Leftrightarrow$ $EB = \dfrac{AB \times CD}{AD}$ y $EC = \dfrac{AC \times BD}{AD}$.

Ahora notemos que tenemos dos casos:

Caso 1. $B \in \overline{EC}$ $\Leftrightarrow$ $\measuredangle CBA + \measuredangle ADC = \measuredangle CBA + \measuredangle ABE = \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico, y en tal caso $EC = EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{AC \times BD}{AD} = \dfrac{AB \times CD}{AD} + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$.

Caso 2. $E$, $B$ y $C$ son tres puntos no colineales $\Leftrightarrow$ $\measuredangle CBA + \measuredangle ADC = \measuredangle CBA + \measuredangle ABE \ne \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ no es cíclico, entonces aplicando la desigualdad del triángulo a $\triangle EBC$ tenemos que $EC < EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD < AB \times CD + AD \times BC$.

Finalmente tenemos que $AB \times CD + AD \times BC \geq AC \times BD$.

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Nota: El Teorema de Ptolomeo es el caso en el que se da la igualdad y notemos que el reciproco también es cierto pues si suponemos que la igualdad $AB \times CD + AD \times BC = AC \times BD$ es cierta, pero $\square ABCD$ no es cíclico entonces se da la desigualdad lo que es una contradicción.

Problema. Construir un cuadrilátero convexo y cíclico dados sus cuatro lados $a$, $b$, $c$ y $d$.

Solución. Notemos primero que es necesario que la suma de cualesquiera tres de los lados dados sea mayor que el lado restante pues si un lado es mayor que la suma de los otros tres no es posible construir ningún cuadrilátero y si es igual entonces solo es posible construir un cuadrilátero degenerado donde todos los vértices están alineados y en tal caso el cuadrilátero no será cíclico.

Supongamos que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$, la prueba del Teorema anterior nos sugiere una manera de resolver este problema, trazamos el segmento $\overline{BC}$ y lo extendemos del lado de $B$ hasta un punto $E$ tal que $EB = \dfrac{ac}{d}$, el cual es posible construir pues sabemos construir el producto de dos magnitudes y el inverso de una magnitud dadas.

Aquí estamos usando que $B \in \overline{EC}$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico y que los triángulos $\triangle ABE$ y $\triangle ADC$ son semejantes como en la prueba anterior. La razón de semejanza está dada por $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BE}{CD} = \dfrac{ac}{dc} = \dfrac{a}{d}$.

Esto último nos dice que la razón entre las distancias de $A$ a los puntos $E$ y $C$ es una razón fija por lo tanto $A$ esta en la circunferencia de Apolonio determinada por $O$, $C$ y la razón $\dfrac{a}{d}$.

Por otro lado, el vértice $A$ se encuentra en la circunferencia con centro en $B$ y radio $a$, por lo tanto, $A$ esta determinado por la intersección de $(B, a)$ y la circunferencia de Apolonio mencionada.

Ahora que conocemos la diagonal $\overline{AC}$ podemos completar el triángulo $\triangle ACD$ trazando circunferencias $(A, d)$ y $(C, c)$, una de las intersecciones será el cuarto vértice del cuadrilátero buscado.

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Algunas propiedades

Teorema 4. Las perpendiculares trazada desde los puntos medios de un cuadrilátero cíclico a los correspondientes lados opuestos son concurrentes.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ respectivamente consideremos $O$ y $J$ el circuncentro y el centroide respectivamente de $\square ABCD$.

Notemos que la recta que pasa por $\overline{OF}$ es perpendicular a $\overline{BC}$ pues $\triangle BOC$ es un triángulo isósceles donde $BO = OC$ y $\overline{OF}$ es la mediana relativa a  $\overline{BC}$ y por tanto coincide con la altura trazada desde $O$.

La perpendicular a $\overline{BC}$ desde $H$ interseca a $\overline{BC}$ en $H’$, $HH´$ interseca a la recta determinada por $O$ y $J$ en $M$.

Como $\overline{OF} \parallel \overline{HH’}$ $\measuredangle JFO = \measuredangle JHM$ y además $\measuredangle OJF = \measuredangle MJH$ por ser opuestos por el vértice, así tenemos que $\triangle JFO$ y $\triangle JHM$ son semejantes y como $J$ biseca a $HF$ entonces $JO = JM$, en otras palabras, $\overline{HH}$’ pasa por $M$ que es el punto simétrico de $O $ respecto a $J$.

De manera similar podemos ver que las rectas $\overline{EE’}$, $\overline{FF’}$ y $\overline{GG’}$ pasan por $M$, por lo tanto, son concurrentes.

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Definición 3. Nos referiremos al simétrico del circuncentro de un cuadrilátero cíclico respecto de su centroide como el anticentro del cuadrilátero cíclico.

Lema. En un triángulo la distancia de uno de sus lados al circuncentro es igual a la mitad de la distancia del vértice opuesto al ortocentro del triángulo.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $O$ y $H$ el circuncentro y ortocentro del triángulo respectivamente, consideremos también $D$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $E$ el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ desde $O$ como en la imagen.

$\triangle BCD$ es recto pues $\overline{CD}$ es diámetro, entonces $\overline{DB} \parallel \overline{OE}$ y como $O$ es el punto medio de $\overline{CD}$ entonces $\overline{OB}$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ (entrada rectas y puntos notables del triangulo, tarea moral, ejercicio 2) y así $OE = \dfrac{DB}{2}$.

Por otro lado, $\overline{AH}$ y $\overline{DB}$ son ambos perpendiculares a $\overline{BC}$ así que $\overline{AH} \parallel \overline{DB}$ y como $\angle DAC$ es recto entonces $\overline{DA} \parallel \overline{BH}$, así que $\square ADBH$ es un paralelogramo, por lo tanto, $AH = DB = 2OE$.

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Teorema 5. Los ortocentros de los triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico forman un cuadrilátero simétrico al cuadrilátero original respecto del anticentro.

Demostración. Sean $\square ABCD$ cíclico y $H_{a}$, $H_{b}$, $H_{c}$ y $H_{d}$ los ortocentros de $\triangle BCD$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$ y $\triangle ABC$ respectivamente y $F$ el punto medio de $\overline{BC}$.

Por el Lema anterior y considerando los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DBC$ tenemos que $AH_{d} = 2OF = DH_{a}$, además $\overline{AH_{d}}$ y $\overline{DH_{a}}$ son perpendiculares a $\overline{BC}$ por lo tanto $\overline{AH_{d}} \parallel \overline{DH_{a}}$ de esto se sigue que $\square AH_{d}H_{a}D$ es un paralelogramo, así que las diagonales $\overline{AH_{a}}$ y $\overline{DH_{d}}$ se intersecan en su punto medio.

De manera análoga se ve que $\overline{AH_{a}}$ y los segmento $\overline{BH_{b}}$, $\overline{CH_{c}}$, se intersecan en su punto medio. Por lo tanto, estos cuatro segmentos se bisecan mutuamente, es decir el punto de intersección $X$ es el centro de simetría de $\square ABCD$ y $\square H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$.

Ahora en $\triangle AH_{d}D$ consideremos la recta que pasa por $H$ el punto medio de $\overline{DA}$ y el centro de simetría $X$, como esta recta también pasa por el punto medio de $\overline{H_{d}D}$ entonces es paralela a $\overline{AH_{d}}$, por lo tanto, $\overline{HX}$ es la perpendicular a $\overline{BC}$ desde $H$ por el Teorema 4 sabemos que $\overline{HH’}$ pasa por $M$ el anticentro de $\square ABCD$, donde $H’$ es el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ por $H$.

De manera análoga $\overline{EX}$, $\overline{FX}$ y $\overline{GX}$ pasan por $M$, por lo tanto, $X = M$.

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Tarea moral

  1. i) Demuestra los incisos (b) y (c) del Teorema 1.
    ii) Sea $\square ABCD$ convexo y $P$ la intersección de sus diagonales, prueba que $\square ABCD$ es cíclico si y solo si $AP \times CP = BP \times DP$.
  2.  Sea $\ ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $E$ el punto medio de $\overset{\LARGE{\frown}}{BA}$, es decir el punto $E \in \overset{\LARGE{\frown}}{BA}$ tal que $\overset{\LARGE{\frown}}{BE} = \overset{\LARGE{\frown}}{EA}$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overset{\LARGE{\frown}}{CB}$, $\overset{\LARGE{\frown}}{DC}$ y $\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$ respectivamente, muestra que $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ son perpendiculares.
  1. Como podrás haber notado nuestra construcción del cuadrilátero cíclico no es única pues partimos de una suposición arbitraria, que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$ para $a$, $b$, $c$ y $d$ dados. Muestra que es posible construir tres cuadriláteros cíclicos diferentes con los mismos lados y que de estos se obtienen tres diagonales diferentes.
  2. Demuestra que los centroides de los cuatro triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico son los vértices de otro cuadrilátero cíclico.
  3. Demuestra que los incentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico forman un rectángulo.
  4. Muestra que la suma de los cuadrados de las distancias del anticentro de un cuadrilátero cíclico a los cuatro vértices es igual al cuadrado del diámetro de la circunferencia en la que esta inscrito dicho cuadrilátero.
  5. Muestra que el anticentro de un cuadrilátero cíclico es el ortocentro del triangulo formado por los puntos medios de las diagonales y el punto en que estas rectas coinciden.

Más adelante…

En la siguiente entrada resolveremos problemas con la ayuda del Teorema de Ptolomeo.

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