Introducción

Ya que hemos visto el concepto de función, en esta entrada veremos cómo están definidas las operaciones de suma, producto y cociente. De igual modo, definiremos la composición entre un par de funciones. Para dejar más claras dichas operaciones, daremos ejemplos.

Operaciones de funciones

Definición (operaciones): Sean $f: D_{f}\subseteq \r \rightarrow \r$, $\quad g: D_{g}\subseteq \r \rightarrow \r$. Definimos las siguientes operaciones como:

• $f+g: D_{f} \cap D_{g} \subseteq \r \rightarrow \r$
  $$(f+g)(x)= f(x)+g(x)\quad \text{.}$$
• $\alpha f: D_{f}\subseteq \r \rightarrow \r \quad$ y $\quad \alpha \in \r$
  $$(\alpha f)(x)= \alpha f(x)\quad \text{.}$$
• $fg: D_{f} \cap D_{g} \subseteq \r \rightarrow \r$
  $$(fg)(x)= f(x)g(x)\quad \text{.}$$
• $\begin{multline*} \frac{f}{g}: D_{f/g} \subseteq \r \rightarrow \r \end{multline*}$
  \begin{equation*}
  \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\quad \text{.}
  \end{equation*}
  donde $D_{f/g}=D_{f} \cap (D_{g} – \left\{x \in D_{g}: g(x)=0 \right\})$

Notación: Cuando escribamos $f-g$ hacemos referencia a:
$$f-g=f+ (-g) \quad \text{.}$$

Ejemplos

Consideremos a las siguientes funciones:
\begin{align*}
f: \r – \left\{-1\right\} &\rightarrow \r & g: \r &\rightarrow \r & h: \r &\rightarrow \r^{+}
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)&= \frac{1}{x+1}& g(x)&= x^{3}+3 & h(x)&=x^{2}+2x+1
\end{align*}
Notación: Usamos $\r^{+}$ para referirnos al conjunto de los números reales positivos.

Realizaremos las siguientes operaciones para ejemplificar lo visto anteriormente:

• $$(f+g)(x)= f(x)+g(x)= \frac{1}{x+1} + x^{3}+3$$
  con $D_{f+g}=D_{f} \cap D_{g}= \r \cap (\r- \left\{-1\right\})= \r- \left\{-1\right\}$
• $$(fg)(x)= f(x)g(x)=\left(\frac{1}{x+1}\right)(x^{3}+3)=\frac{x^{3}+3}{x+1}$$
  con $D_{fg}=D_{f} \cap D_{g}= \r \cap (\r- \left\{-1\right\})= \r- \left\{-1\right\}$
• Si $\alpha = – 4$:
  $$(\alpha g)(x)= \alpha g(x)= -4(x^{3}+3)=-4x^{3}-12$$
  con $D_{\alpha g}= D_{g}= \r$
• $$\left(\frac{g}{h}\right)(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^{3}+3}{x^{2}+2x+1}$$
  como $D_{g/h}=D_{g} \cap (D_{h} – \left\{x \in D_{h}: h(x)=0 \right\})$
  Observemos que $x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}$ por lo que $(x+1)^{2}=0$ cuando $x=-1$.
  Así el dominio sería:
  $$D_{g/h}=\r \cap (\r- \left\{-1 \right\})= \r – \left\{-1\right\}$$
• $$(h-g)(x)=h(x)-g(x)=x^{2}+2x+1-(x^{3}+3)=x^{2}+2x+1-x^{3}-3$$
  con $D_{h-g}= D_{h} \cap D_{g}= \r \cap \r= \r$

Composición de funciones

Definición (composición): Consideremos a las funciones $g: A \rightarrow B$ y $f: B \rightarrow C$ definimos a la composición de $g$ seguida de $f$ como:

$$f \circ g: A \rightarrow C$$
$$f \circ g(x)= f(g(x)),$$
observamos que la composición sólo está definida si $Im_g \subseteq D_f$, por lo que $g(x) \in B$.
En el siguiente diagrama podemos ver más claramente cómo funciona la composición $f \circ g$:

Primero tomamos $x \in A$ a la cual le aplicamos la función $g$ para así obtener $g(x) \in B$.

Ahora tomamos a $g(x) \in B$ para aplicarle la función $f$ y finalmente obtener $f(g(x)) \in C$.

Así la composición de $f \circ g$ se vería como en el diagrama anterior.

Observación: La composición no es conmutativa, es decir, ocurre que:
$$f \circ g \neq g \circ f\quad \text{.}$$

Ejemplos

Retomando las funciones:
\begin{align*}
f(x)&= \frac{1}{x+1}& g(x)&= x^{3}+3 & h(x)&=x^{2}+2x+1
\end{align*}

Realicemos las siguientes composiciones de funciones para tener más claro cómo funciona lo antes explicado:

• Ejemplo 1:
  \begin{align*}
  (g \circ f)(x)&= g(f(x))\\
  &= g\left(\frac{1}{x+1} \right)\\
  &= \left( \frac{1}{x+1} \right)^{3} +3\\
  &= \frac{1}{(x+1)^{3}}+3
  \end{align*}
  Así tenemos que la composición obtenida es:
  \begin{equation*}
  (g \circ f)(x)=\frac{1}{(x+1)^{3}}+3
  \end{equation*}
• Ejemplo 2:
  \begin{align*}
  (f \circ h)(x)&= f(h(x))\\
  &= f((x^{2}+2x+1))\\
  &= \frac{1}{(x^{2}+2x+1)+1}\\
  &=\frac{1}{x^{2}+2x+2}
  \end{align*}
  Por lo que la composición quedaría como:
  \begin{equation*}
  (f \circ h)(x) = \frac{1}{x^{2}+2x+2}
  \end{equation*}

Más adelante

Ahora que ya hemos definido las operaciones entre funciones y la composición, en la siguiente entrada veremos qué características debe cumplir una función para poder determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Del mismo modo, examinaremos el concepto de función inversa, donde haremos uso de la composición de funciones y algunas condiciones.

Tarea moral

• Si tenemos a las funciones $f : \r \rightarrow \r$ y $g : \r \rightarrow \r^{+}$ definidas como siguen:
  $$ f(x) = x-8$$
  $$g(x)= x^{4}$$
  Realiza las siguientes operaciones:
  • $f + g$
  • $f – g$
  • $fg$
  • $\frac{g}{f}$
  • $g \circ f$
• Da una función $f$ y una función $g$ que ejemplifiquen que la composición no es conmutativa:
  $$f \circ g \neq g \circ f\quad \text{.}$$
• Demuestra que la composición es asociativa, es decir,
  $$f\circ (g \circ h)= (f\circ g) \circ h\quad \text{.}$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»