Introducción
Quizás en algunos de tus cursos anteriores te presentaron funciones parecidas a las siguientes:
\begin{align*}
f(x)&= 4x^{2}-3x+1, & t(x)&=\frac{x^{2}+2x+5}{x^{3}+3}, & k(x)&= x^{3}\text{.}\\
\end{align*}
Todas pertenecen al conjunto de las funciones algebraicas. A lo largo de esta entrada, veremos las definiciones formales para cada una y comenzaremos a realizar un análisis geométrico con este conjunto de funciones.
Funciones polinomiales
Definición (función polinomial): Sea $f$ una función. Decimos que $f$ es una función polinomial si está definida como:
$$p(x)=a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_{0}$$
donde $ n \in \mathbb{N}\cup \left\{0 \right\}$ y los coeficientes $a_{i} \in \r$.
Definición (grado de una función polinomial): Llamamos grado de p(x) a la potencia mayor de $x$ con un coeficiente $a_{i} \neq 0$.
Ejemplos:
- $g(x)= 120x^{10}+34x^{6}+14$
el grado de $g(x)$ es $10$ - $h(x)= \pi x^{3}+ 2\pi x^{2}+x$
el grado de $h(x)$ es $3$
Una observación importante es que las funciones del tipo $f(x)=x^{n}$ con $n\in \mathbb{N}$, mejor conocidas como potencias de $x$, son un caso particular de las funciones polinomiales.
Funciones racionales
Definición (función racional): Consideremos $g$ una función. Diremos que $g$ es una función racional si está definida como el cociente de dos polinomios:
$$g(x)=\frac{a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_{0}}{b_{n}x^{n}+ b_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + b_{0}}$$
donde $ n \in \mathbb{N}\cup \left\{0 \right\}$, los coeficientes $a_{i}, b_{i} \in \r$ y $b_{n}x^{n}+ b_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + b_{0} \neq 0$.
Ejemplos:
- $$h(x)=\frac{x^{2}-1}{x+3}$$
- $$g(x)=\frac{x}{x^{3}+1}$$
Análisis geométrico
En numerosas ocasiones tendremos la necesidad de realizar un bosquejo de la gráfica de una función. Para ello nos basaremos en la gráfica de una función conocida previamente y la siguiente serie de elementos donde consideremos a $f(x)$ una función en los reales y a $\alpha$ una constante:
Traslaciones
- Para $h(x)= f(x)+ \alpha$ con $\alpha >0$ tenemos que la gráfica de $h$ es la gráfica de $f$ trasladada verticalmente $\alpha$ unidades hacia arriba (sobre el eje $y$).
- Y para $h(x)= f(x)- \alpha$ con $\alpha >0$ la gráfica de $h$ es la gráfica de $f$ trasladada verticalmente $\alpha$ unidades hacia abajo (sobre el eje $y$).
- Ahora si $h(x)= f(x-c)$ con $\alpha >0$ entonces la gráfica de $h$ sería la gráfica de $f$ trasladada horizontalmente $\alpha$ unidades hacia la derecha (sobre el eje $x$).
- En cambio si $h(x)= f(x+c)$ con $\alpha >0$ entonces la gráfica de $h$ sería la gráfica de $f$ trasladada horizontalmente $\alpha$ unidades hacia la izquierda (sobre el eje $x$).
Consideremos los siguientes ejemplos para $f(x)= x^{2}$:
Ampliaciones y reducciones
- Si $g(x)= f(\alpha x)$ con $\alpha >1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ comprimida horizontalmente (sobre el eje $x$).
- Para $g(x)= f(\alpha x)$ con $0<\alpha <1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ expandida horizontalmente (sobre el eje $x$).
- Y para $g(x)= f(\alpha x)$ con $\alpha <-1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ comprimida horizontalmente (sobre el eje $x$) y reflejada respecto del eje $y$.
- Finalizamos con $g(x)= f(\alpha x)$ con $-1<\alpha <0$ su gráfica sería la gráfica de $f$ expandida horizontalmente (sobre el eje $x$) y reflejada respecto del eje $y$.
Observación: Si $\alpha=1$ vemos que $f((1)x)=f(x)$ por lo que no hay cambios.
- Ahora bien si $g(x)= \alpha f(x)$ donde $\alpha >1$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ expandida verticalmente (sobre el eje $y$).
- Cuando $g(x)= \alpha f(x)$ donde $0<\alpha <1$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ comprimida verticalmente (sobre el eje $y$).
- Si $g(x)= \alpha f(x)$ donde $-1<\alpha $ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ expandida verticalmente (sobre el eje $y$) y reflejada respecto del eje $x$.
- Para $g(x)= \alpha f(x)$ donde $-1<\alpha <0$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ comprimida verticalmente (sobre el eje $y$) y reflejada respecto del eje $x$.
Observación: Para $\alpha =1$ tenemos que $(1)(f(x))=f(x)$.
Hablemos sobre la función inversa
Recordemos que si tenemos $f: A \rightarrow B$ una función esto significa que:
$$Graf(f)= \left\{(x, f(x)): x \in A \right\}\quad\text{.}$$
Ahora si consideramos a $f$ una función invertible, vemos que para $f^{-1}: B \rightarrow A$ ocurre:
$$Graf(f^{-1})= \left\{(f(x), x): f(x) \in B \right\}\quad \text{.}$$
Esto nos permite observar que un punto $(y,x) \in Graf(f^{-1})$ es la reflexión ortogonal del punto $(x,y) \in Graf(f)$ respecto a la función identidad.
De este modo podemos obtener la gráfica de $f^{-1}$ reflejando ortogonalmente la gráfica de $f$ respecto a la identidad.
En este ejemplo tomamos la función $f(x)=x^{2}$ en el dominio donde cumple ser biyectiva por lo que su función inversa sería $h(x)= \sqrt{x}$:
En la sección de Tarea moral encontrarás algunos ejercicios que te ayudarán a poner en práctica lo desarrollado en esta entrada.
Más adelante
En la siguiente entrada, comenzaremos a revisar el conjunto de las funciones trigonométricas. Veremos sus definiciones, algunas identidades trigonométricas que serán de utilidad y sus gráficas.
Tarea moral
Realiza las gráficas de las siguientes funciones dado que $f(x)=x^{3}$:
- $f(x)+4$
- $f(x-3)+2$
- $f^{-1}(x)$
- $f(2x)$
- $2f(x)$
Entradas relacionadas
- Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
- Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones crecientes y decrecientes. Funciones acotadas.
- Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas. (Primera parte)
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»