Introducción
En las notas anteriores desarrollamos teoría interesante acerca de las formas canónicas de Jordan, ahora vamos a ver algunos ejemplos de todo eso.
Ejemplo 1
Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$
Calculamos $\chi_{A}(X)$ expandiendo $det(XI_{5} – A)$ con respecto a la tercera fila y obtenemos (usando de nuevo la expansión respecto a la segunda fila en el nuevo determinante) \begin{align*} \chi_{A}(X) &= X \begin{vmatrix} X-1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & X & 0 \\ 1 & 0 & 0 & X+2 \end{vmatrix} \\ &= X^{2} \begin{vmatrix} X-1 & 0 & 2 \\ 0 & X & 0 \\ 1 & 0 & X+2 \end{vmatrix} \\ &= X^{3} \begin{vmatrix} X-1 & -2 \\ 1 & X+2 \end{vmatrix} \\ &= X^{4} (X+1) \end{align*}
El eigenvalor $-1$ tiene multiplicidad algebraica 1, por lo que hay un solo bloque de Jordan asociado con este eigenvalor, de tamaño 1. Ahora, veamos qué pasa con el eigenvalor 0 que tiene multiplicidad algebraica 4. Sea $N_{m}$ el número de bloques de Jordan de tamaño $m$ asociados con ese eigenvalor. Por el Teorema visto en la nota anterior tenemos que $$N_{1} = rango(A^{2}) – 2rango(A) + 5,$$ $$N_{2} = rango(A^{3}) – 2rango(A^{2}) + rango(A)$$ etcétera. Puedes checar fácilmente que $A$ tiene rango 3.
Luego, calculemos $A^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, $A^{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$.
Nota que $A^{2}$ tiene rango 2 (pues una base del generado por sus filas está dada por la primera y cuarta fila) y $A^{3}$ tiene rango 1. De donde, $$N_{1} = 2-2 \cdot 3 + 5 = 1,$$ por lo que hay un bloque de Jordan de tamaño 1 y $$N_{2} = 1-2 \cdot 2 + 3 = 0,$$ entonces no hay un bloque de Jordan de tamaño 2. Dado que la suma de los tamaños de los bloques de Jordan asociados con el eigenvalor 0 es 4, y como ya sabemos que hay un bloque de tamaño 1 y no hay de tamaño 2, deducimos que hay un bloque de tamaño 3 y que la forma canónica de Jordan de $A$ es $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$
Ejemplo 2
Más adelante…
Con esto finalizamos el curso de Álgebra Lineal II, lo que sigue es el maravilloso mundo del Álgebra Moderna.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Usa el Teorema de Jordan para probar que cualquier matriz $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ es similar a su transpuesta.
- Prueba que si $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ es similar a $2A$, entonces $A$ es nilpotente.
- Usa el teorema de Jordan para probar que si $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ es nilpotente, entonces $A$ es similar a $2A$.
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: Clasificación de matrices por similaridad
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»