El blog de Leo

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El blog de Leo comenzó siendo un proyecto personal, pero ahora es una página con decenas de autores que escriben notas para aprender matemáticas a nivel universitario. Puedes consultar el material navegando el menú superior o los siguientes enlaces. Para conocer más de este sitio, puedes ir a la sección Acerca de.

Entradas recientes

  • Derivadas Parciales de Orden Superior.
    $\textcolor{Red}{\textbf{Derivadas Parciales de Orden Superior}}$ Si $f$ es una función de doas variables $x,y$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones de las mismas variables, cuando derivamos $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ y $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ obtenemos las derivadas parciales de segundo orden, las derivadas de $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ están definidas por: $$\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=\displaystyle\lim_{h\to… Leer más: Derivadas Parciales de Orden Superior.
  • Regla de la Cadena. Plano tangente.
    $\textcolor{Red}{\textbf{Caso particular de la regla de la cadena}}$ Supongamos que $C:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ es una trayectoria diferenciable y $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$. Sea $h(t)$=$f(x(t), y(t), z(t))$ donde $c(t)$=$(x(t),y(t), z(t))$.Entonces $$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}} = \displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot \frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\cdot\frac{\partial{z}}{\partial{t}}$$ Esto es:$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}$=$\nabla{f(c(t))}\cdot{c'(t)}$, ~donde $c'(t)$=$((x'(t), y'(t), z'(t))$ $\small{Dem.}$ Por definición$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}(t_{0})$=$\displaystyle\lim_{t\rightarrow0}\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$Sumando y restando tenemos que $\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(c(t))-f(c(t_{0}))}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(x(t), y(t), z(t)) – f(x(t_{0}), y(t_{0}), z(t_{0}))}{t-t_{0}}$= =$\frac{f(x(t), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t),z(t))~+~f(x(t_{0}), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t_{0}),z(t))~+~f(x(t_{0}),… Leer más: Regla de la Cadena. Plano tangente.
  • Diferenciabilidad y continuidad. Gradiente. Máximo crecimiento. Puntos estacionarios
    $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciabilidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$}}$ $\textbf{Definición.}$ Sea $A\subset\mathbb{R}^{2}$, un abierto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $(x_{0},y_{0})\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$ si existen las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),~~\frac{\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ tal que$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$ $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciabilidad implica continuidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$}}$ $\textbf{Teorema 1.}$ Si la función $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ definida… Leer más: Diferenciabilidad y continuidad. Gradiente. Máximo crecimiento. Puntos estacionarios
  • Diferenciación, Derivadas Direccionales
    $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciación de funciones $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$}}$ Sea $f:A \subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y $\overline{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) \epsilon {A}$. Se define la derivada pacial $i$-esima en $\overline{a}$ denotada $f_{x}(\overline{a})$, $D_{x}f(\bar{a})$ ó $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{a})$ de la forma $f_{x}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots.a_{n})-f(\bar{a})}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+he_{i})-f(a)}{h}$ siendo$\bar{e}_{i}=(0,\ldots,\underset{i-esimo}{1},\ldots,0)$. Si $n=2$ existen 2 derivadas parciales. Sea $\bar{a}=(x_{0},y_{0})$ un punto del interior del dominio de $f:A \subseteq\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ las… Leer más: Diferenciación, Derivadas Direccionales
  • Continuidad, Diferenciabilidad
    $\textbf{Proposición 1}$ Sea $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L$$Entonces para una función real y continua $g$ definida en unentorno da $a$ tal que $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ se tiene que $$\lim_{x\rightarrow a}f(x,g(x))=L$$ $Demostración.$ Por la existencia del límite doble, dado $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$, tal que $$|(x,y)-(a,b)|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon.$$ Ahora $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ quiere decir que dado $\delta>0$ existe… Leer más: Continuidad, Diferenciabilidad
  • Criterio de Cauchy, Conjuntos Compactos y compacidad por sucesiones
    $\textcolor{Red}{\textbf{Criterio de Convergencia de Cauchy}}$ $\textbf{Definición.-}$ Sea ${\overline{x_{k}}}$ una sucesión de puntos de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que ${\overline{x_{k}}}$ es una sucesión de Cauchy si dado $\epsilon>0$ $\exists N_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x_{l}}|<\epsilon$ $\forall k,l\geq N_{0}$ $\textbf{Teorema 1.-}$ Una sucesión $\overline{x_{k}}\in \mathbb{R}^{n}$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy $Demostración$ $\textcolor{Red}{\Rightarrow}$ Suponemos… Leer más: Criterio de Cauchy, Conjuntos Compactos y compacidad por sucesiones
  • Puntos interiores y cerradura de un Conjunto
    $\textcolor{Red}{\textbf{Puntos Interiores y Cerradura de un Conjunto}}$ $\textbf{Proposición.}$ Para todo subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ se tiene: $(1)$ $int(A)\subset A$ $\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in int(A)$ $\exists$ $r>0$ tal que $B(\bar{a},r)\subset A$ $\therefore$ $int(A) \subset A$ $(2)$ $A\subset\bar{A}$ $\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in A$ $\forall$ $B(\bar{a},r)$ se tiene que $B(\bar{a},r)\cap A\neq\emptyset$ $\therefore$ $A\subset\bar{A}$ $Lema.$ Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$… Leer más: Puntos interiores y cerradura de un Conjunto
  • Diferenciales de orden uno, dos,…n
    $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciales de funciones $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$}}$ Tenemos que $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable si$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$cumple$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$Esto se puede escribir como$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$ tomando$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})=\triangle z$$$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\triangle x$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\triangle y$$tenemos que$$\triangle z=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\triangle x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\triangle y+r(\triangle x,\triangle y)$$haciendo $\triangle x,~\triangle y\rightarrow 0$ tenemos$$dz=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) dy$$$\textbf{Definición.}$Si $z=f(x,y)$… Leer más: Diferenciales de orden uno, dos,…n
  • Cálculo Diferencial e Integral II: Funciones integrables con finitas discontinuidades
    En este ejemplo vemos cómo integrar funciones con finitas discontinuidades, por ejemplo las escalonadas o continuas a trozos.
  • 1.10. BASE DE ESPACIOS VECTORIALES: obtención a partir de un conjunto linealmente independiente o generador
    INTRODUCCIÓN Llegamos a la conclusión de que la base de un espacio vectorial (con dimensión finita) es un conjunto lo «suficientemente grande» para generar al espacio y lo «suficientemente pequeño» para seguir siendo linealmente independiente. Ahora bien, veremos que siempre será posible encontrar un base si conocemos un conjunto generador finito o un conjunto linealmente… Leer más: 1.10. BASE DE ESPACIOS VECTORIALES: obtención a partir de un conjunto linealmente independiente o generador

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