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- Geometría Moderna II: Razón Cruzada por la Circunferenciapor Armando Arzola PérezIntroducción Como ya se vio, la razón cruzada tiene varias propiedades, desde seis tipos de razón cruzada hasta la construcción del cuarto elemento, pero falta analizar su relación con la circunferencia. Propiedades de razón cruzada por la circunferencia Se abordarán 3 propiedades en relación con una circunferencia dada. Propiedad 1. Sean cuatro puntos en una… Leer más: Geometría Moderna II: Razón Cruzada por la Circunferencia
- Derivadas Parciales de Orden Superior.por Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textcolor{Red}{\textbf{Derivadas Parciales de Orden Superior}}$ Si $f$ es una función de doas variables $x,y$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones de las mismas variables, cuando derivamos $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ y $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ obtenemos las derivadas parciales de segundo orden, las derivadas de $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ están definidas por: $$\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=\displaystyle\lim_{h\to… Leer más: Derivadas Parciales de Orden Superior.
- Regla de la Cadena. Plano tangente.por Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textcolor{Red}{\textbf{Caso particular de la regla de la cadena}}$ Supongamos que $C:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ es una trayectoria diferenciable y $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$. Sea $h(t)$=$f(x(t), y(t), z(t))$ donde $c(t)$=$(x(t),y(t), z(t))$.Entonces $$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}} = \displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot \frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\cdot\frac{\partial{z}}{\partial{t}}$$ Esto es:$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}$=$\nabla{f(c(t))}\cdot{c'(t)}$, ~donde $c'(t)$=$((x'(t), y'(t), z'(t))$ $\small{Dem.}$ Por definición$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}(t_{0})$=$\displaystyle\lim_{t\rightarrow0}\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$Sumando y restando tenemos que $\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(c(t))-f(c(t_{0}))}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(x(t), y(t), z(t)) – f(x(t_{0}), y(t_{0}), z(t_{0}))}{t-t_{0}}$= =$\frac{f(x(t), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t),z(t))~+~f(x(t_{0}), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t_{0}),z(t))~+~f(x(t_{0}),… Leer más: Regla de la Cadena. Plano tangente.
- Diferenciabilidad y continuidad. Gradiente. Máximo crecimiento. Puntos estacionariospor Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciabilidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$}}$ $\textbf{Definición.}$ Sea $A\subset\mathbb{R}^{2}$, un abierto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $(x_{0},y_{0})\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$ si existen las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),~~\frac{\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ tal que$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$ $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciabilidad implica continuidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$}}$ $\textbf{Teorema 1.}$ Si la función $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ definida… Leer más: Diferenciabilidad y continuidad. Gradiente. Máximo crecimiento. Puntos estacionarios
- Diferenciación, Derivadas Direccionalespor Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciación de funciones $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$}}$ Sea $f:A \subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y $\overline{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) \epsilon {A}$. Se define la derivada pacial $i$-esima en $\overline{a}$ denotada $f_{x}(\overline{a})$, $D_{x}f(\bar{a})$ ó $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{a})$ de la forma $f_{x}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots.a_{n})-f(\bar{a})}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+he_{i})-f(a)}{h}$ siendo$\bar{e}_{i}=(0,\ldots,\underset{i-esimo}{1},\ldots,0)$. Si $n=2$ existen 2 derivadas parciales. Sea $\bar{a}=(x_{0},y_{0})$ un punto del interior del dominio de $f:A \subseteq\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ las… Leer más: Diferenciación, Derivadas Direccionales
- Continuidad, Diferenciabilidadpor Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textbf{Proposición 1}$ Sea $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L$$Entonces para una función real y continua $g$ definida en unentorno da $a$ tal que $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ se tiene que $$\lim_{x\rightarrow a}f(x,g(x))=L$$ $Demostración.$ Por la existencia del límite doble, dado $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$, tal que $$|(x,y)-(a,b)|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon.$$ Ahora $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ quiere decir que dado $\delta>0$ existe… Leer más: Continuidad, Diferenciabilidad
- Criterio de Cauchy, Conjuntos Compactos y compacidad por sucesionespor Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textcolor{Red}{\textbf{Criterio de Convergencia de Cauchy}}$ $\textbf{Definición.-}$ Sea ${\overline{x_{k}}}$ una sucesión de puntos de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que ${\overline{x_{k}}}$ es una sucesión de Cauchy si dado $\epsilon>0$ $\exists N_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x_{l}}|<\epsilon$ $\forall k,l\geq N_{0}$ $\textbf{Teorema 1.-}$ Una sucesión $\overline{x_{k}}\in \mathbb{R}^{n}$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy $Demostración$ $\textcolor{Red}{\Rightarrow}$ Suponemos… Leer más: Criterio de Cauchy, Conjuntos Compactos y compacidad por sucesiones
- Puntos interiores y cerradura de un Conjuntopor Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textcolor{Red}{\textbf{Puntos Interiores y Cerradura de un Conjunto}}$ $\textbf{Proposición.}$ Para todo subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ se tiene: $(1)$ $int(A)\subset A$ $\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in int(A)$ $\exists$ $r>0$ tal que $B(\bar{a},r)\subset A$ $\therefore$ $int(A) \subset A$ $(2)$ $A\subset\bar{A}$ $\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in A$ $\forall$ $B(\bar{a},r)$ se tiene que $B(\bar{a},r)\cap A\neq\emptyset$ $\therefore$ $A\subset\bar{A}$ $Lema.$ Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$… Leer más: Puntos interiores y cerradura de un Conjunto
- Diferenciales de orden uno, dos,…npor Angélica Amellali Mercado Aguilar$\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciales de funciones $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$}}$ Tenemos que $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable si$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$cumple$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$Esto se puede escribir como$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$ tomando$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})=\triangle z$$$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\triangle x$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\triangle y$$tenemos que$$\triangle z=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\triangle x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\triangle y+r(\triangle x,\triangle y)$$haciendo $\triangle x,~\triangle y\rightarrow 0$ tenemos$$dz=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) dy$$$\textbf{Definición.}$Si $z=f(x,y)$… Leer más: Diferenciales de orden uno, dos,…n
- Cálculo Diferencial e Integral II: Funciones integrables con finitas discontinuidadespor Moisés Morales DécigaEn este ejemplo vemos cómo integrar funciones con finitas discontinuidades, por ejemplo las escalonadas o continuas a trozos.
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