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Álgebra Superior II: Problemas de exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Introducción

En entradas anteriores, vimos la construcción de los números complejos, sus operaciones y varias de sus características algebraicas. Conociendo ya las funciones exponencial y logaritmo, así como las funciones trigonométricas seno y coseno, vamos a iniciar con un breve análisis geométrico de la función exponencial. Posteriormente pasaremos a hacer unos ejercicios simples de operar dichas funciones en números complejos concretos.

Geometría de la exponencial compleja

Para empezar, estudiamos qué le hace la función exponencial al plano complejo de manera geométrica. Para hacer esto, tomamos varias rectas en el plano complejo para entender en qué se transforman tras aplicarles la función exponencial.

A grandes rasgos, cuando tomamos una recta vertical, la imagen de esta le da la vuelta al origen repetidamente. Cuando tomamos una recta horizontal, su imagen es un rayo que emana del origen (sin tocarlo).

En este video se explican estas ideas de manera visual.

Calcular una exponencial compleja

Lo siguiente que haremos es resolver un ejercicio de calcular la exponencial de un número complejo. Recuerda que, por definición, se tiene que

    \[e^{x+iy}=e^x\text{cis}(y).\]

Ejercicio. Expresa e^{4+\frac{\pi}{6}i} en la forma x+iy.

Problema de logaritmo complejo

Recuerda que el logaritmo complejo funciona como inverso de la función exponencial. Para que esto sea cierto, tenemos que restringir la exponencial a una franja del plano complejo.

Por definición, tenemos que

    \[L(z)=\ln \norm{z} + \text{arg}(z)i.\]

Para que la definición funcione bien, es necesario que tomemos el argumento en el intervalo (-\pi,\pi].

Resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula L\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right).

Problema de trigonometría compleja

Por último, haremos un ejercicio de calcular una función trigonométrica compleja. Sólo necesitaremos la definición de la función coseno, pero por conveniencia, a continuación recordamos tanto la definición de seno, como la de coseno.

    \begin{align*}\cos(z)=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2},\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2}.\end{align*}

Con esto en mente, resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} i\right).

Más tarde les subo fotos por si alguien tiene dificultades para ver los videos.

Álgebra Superior II: Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas

Introducción

En una entrada anterior, vimos cómo se comporta la multiplicación en forma polar y cómo podemos aprovechar esto para hacer potencias. Concretamente, el teorema de De Moivre es muy útil para elevar complejos a potencias sin tener que hacer gran cantidad de productos.

Los primeros dos videos son ejercicios que ejemplifican lo anterior. Después, usamos lo que aprendimos en la entrada de raíces n-ésimas para resolver dos problemas más.

Al final, compartimos un enlace en el que puedes practicar más con operaciones de números complejos.

Problemas de fórmula de De Moivre

Para empezar, vemos dos problemas de exponenciación completa. El primero es una aplicación directa de la fórmula de De Moivre.

Problema. Usa el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada

    \[\left(\sqrt{3}(\cos 25^\circ + i \sin 25^\circ\right)^6.\]

En algunos problemas es posible que sea necesario primero obtener la forma polar de un complejo antes de poder usar la fórmula de De Moivre. El segundo problema es un ejemplo de esto.

Problema. Encuentra el valor de (\sqrt{3}-i)^{12}.

Problemas de raíces n-ésimas

Si ahora, en vez de querer elevar a cierta potencia, queremos obtener raíces n-ésimas, con el uso de un poderoso teorema que dedujimos a partir de la fórmula de De Moivre, sabemos que son exactamente n raíces, y podemos calcularlas explícitamente. A continuación, vemos dos ejercicios que ejemplifican lo anterior.

Problema. Obtén las raíces cúbicas del complejo 3+4i.

Problema. Obtén las raíces quintas del complejo 16\sqrt{2}(-1+i).

Fotos de los ejercicios de hoy

Finalmente, les dejo fotos de lo resuelto en los videos, para quienes tengan dificultades para ver los videos. En la tercera foto no están tan desarrolladas las cuentas como en el video.

Problemas de fórmula de De Moivre, 1
Problemas de fórmula de De Moivre y de raíces
Problemas de raíces n-ésimas.

Más material de De Moivre y raíces

Puedes practicar más acerca de exponenciación y raíces complejas con los videos y ejercicios del tema en Khan Academy.

Álgebra Superior II: Ejercicios de conjugados complejos

Aquí van los videos de hoy, en donde vemos ejemplos resueltos de conjugación compleja. Expliqué con un poco más de detalle el ejemplo 132 del libro de Bravo, Rincón y Rincón. Resolví el ejercicio 325 completo, así como otros 3 ejercicios de conjugados complejos del libro Álgebra Superior II de Antonio Lascurain. Más adelante les pondré en foto para los que no tengan facilidad para ver los videos de YouTube.

Ejemplos y ejercicios de conjugados complejos del Bravo, Rincón, Rincón

Primero, resolvemos el ejemplo 132 del libro:

Problema. Calcular z si iz+(2-i)\overline{z}=10+6i.

Ejemplo 132 detallado

Inciso 1 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve (1+i)z+(1-i)\overline{z}=4.

Inciso 1 del ejercicio 325

Inciso 2 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve z\overline{z}+3(z+\overline{z})=7

Inciso 2 del ejercicio 325

Inciso 3 del ejercicio 325. Nota importante de este ejercicio: Alrededor del 7:09 me equivoqué en un signo, el término 6d de la parte imaginaria debería ser negativo. Eso puede que cambie el resultado final, pero esa es la idea de la resolución del problema.

Problema. Resuelve el sistema

    \begin{align*}iz+(1+i)&=3+i\\ (1+i)\overline{z}-(6+i)\overline{w}&=4\end{align*}

Ejercicios del libro de Lascurain

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro de Álgebra Superior II de Antonio Lascurain.

Problema. Realiza la siguiente operación de números complejos:

    \[\overline{\left(\frac{2-4i}{5-5i}\right)}\]

.

Una división con conjugados complejos

Problema. Encuentra las parejas u,v de números complejos para las cuales sucede que u \overline{\overline{v}u}=v.

Problema 1 de conjugación compleja

Problema. Encuentra las parejas u,v de números complejos para las cuales sucede que v+iu=-\overline{v}+i\overline{u}.

Problema 2 de conjugación compleja

Álgebra Superior II: Simplificación, suma y producto de complejos

Introducción

En una entrada de blog anterior, construimos el campo de los números complejos y definimos sus operaciones básicas. Ahora resolveremos algunos problemas de operaciones con complejos.

Haremos dos tipos de problemas. El primer tipo se trata de simplificar expresiones en números complejos para que se vuelvan de la forma x+yi con x y y números reales. El segundo tipo es de realizar operaciones de suma, resta, producto y división de complejos, y luego simplificar.

Simplificación de expresiones complejas

Comenzamos con un video de simplificar expresiones de números complejos.

Expresar en la forma a+bi las expresiones…

Problemas de operaciones con complejos

Ahora vemos varios ejemplos de realizar sumas con números complejos.

Sumar números complejos

En todos los ejemplos del video, realizamos sólo sumas de dos números, pero se podrían realizar sumas con cualquier cantidad de sumandos. Por ejemplo, podemos considerar la suma

    \[(5+2i)+(8+i)-(1-7i).\]

¿Cuál sería el resultado de esta operación?

Finalmente, a continuación se muestra un video en donde see realizan operaciones de productos y de divisiones de números complejos.

Productos y divisiones de números complejos

En el video se define al conjugado del número complejo z=a+bi, que se denota por \overline{z} y se obtiene de cambiarle el signo a la parte imaginaria. Por ejemplo, \overline{4-5i}=4+5i. Si multiplicas a un número complejo a+bi por su conjugado, obtienes el real a^2+b^2. Esto es útil para quitar las partes imaginarias de los denominadores de expresiones fraccionales con complejos.

Más ejemplos y práctica extra

En otro curso, el Seminario de Resolución de Problemas, escribimos una entrada de cómo se pueden usar los números complejos para la resolución de problemas matemáticos. Ahí hay teoría más avanzada, pero puedes echarle un ojo para que veas lo que veremos más adelante en el curso.

En la página de Khan Academy en Español, puedes aprender más acerca de los números complejos, así como hacer muchos ejercicios de práctica.

Álgebra Superior II: Ejercicios de los teoremas de Fermat y de Wilson

Primero, un ejercicio más de congruencias:

Un ejercicio de congruencias

Un ejercicio utilizando el teorema de Fermat:

Ejercicio utilizando el teorema de Fermat

Ejercicio sencillo utilizando el Teorema de Wilson:

17!=1 (mod 19)

Otro ejercicio utilizando el Teorema de Wilson:

Si p primo, (p-1)! = -1 (mod p)