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Álgebra Lineal I: Rango de transformaciones lineales y matrices

Introducción

En entradas anteriores hablamos de transformaciones lineales, cómo actúan en conjuntos especiales de vectores y de cómo se pueden representar con matrices. Hablamos también de cómo cambiar de una base a otra y cómo usar esto para entender transformaciones en varias bases. Estamos listos para introducir un concepto fundamental de álgebra lineal, el de rango de una transformación lineal y de una matriz.

Antes de entrar en las definiciones formales, vale la pena hablar un poco de rango de manera intuitiva. Supongamos que V es un espacio vectorial de dimensión n y que W es un espacio vectorial sobre el mismo campo que V. Una transformación lineal T:V\to W puede «guardar mucha independencia lineal» o «muy poquita». Si T es inyectiva, ya vimos antes que T manda linealmente independientes a linealmente independientes. Si T es la transformación 0, entonces se «pierde toda la independencia».

El rango mide algo intermedio entre estos dos extremos. Mientras mayor sea el rango, más independencia lineal se preserva y viceversa. Si mantienes esta intuición en mente, varias de las proposiciones te resultarán más naturales.

Otro buen ejemplo para tener en mente es tomar una transformación lineal T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3. Si es la transformación identidad, la base canónica se preserva. Si es la proyección al plano xy, entonces «perdemos» al vector (0,0,1), pues se va al (0,0,0). Si es la proyección al eje x, «perdemos» al (0,1,0) y al (0,0,1) pues ambos se van a (0,0,0). Y si es la transformación 0, perdemos a todos. El rango precisamente va a medir esto, y para estos ejemplos tendremos rango 3, 2, 1 y 0 respectivamente.

Rango para transformaciones lineales

Como en otras ocasiones, cuando hablemos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales, serán sobre un mismo campo F.

Definición. Sean V y W espacios de dimensión finita. El rango de una transformación lineal T:V\to W es la dimensión de la imagen de T, es decir,

    \[\rank(T)=\dim\Ima T.\]

Si B es una base de V, entonces genera a V. La transformación T es suprayectiva de V a \Ima T, de modo que T(B) es generador de \Ima T. De esta forma, para encontrar el rango de una transformación lineal T:V\to W basta:

  • Tomar una base B de V
  • Aplicar T a cada elemento de B
  • Determinar un conjunto linealmente independiente máximo en T(B)

Para hacer este último paso, podemos poner a los vectores coordenada de T(B) con respecto a una base de W como los vectores fila de una matriz A y usar reducción gaussiana. Las operaciones elementales no cambian el espacio generado por las filas, así que el rango de T es el número de vectores fila no cero en la forma escalonada reducida A_{\text{red}} de A.

Ejemplo. Encuentra el rango de la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\to M_{2}(\mathbb{R}) que manda (x,y,z) a

    \[\begin{pmatrix}x+y-z & 2x \\ 2y-2z & x+z-y\end{pmatrix}.\]

Solución. Tomemos e_1,e_2,e_3 la base canónica de \mathbb{R}^3. Tenemos que T(e_1)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}, T(e_2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1\end{pmatrix} y T(e_3)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ -2 & 1\end{pmatrix}.

Tomando la base canónica E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} de M_2(\mathbb{R}), podemos entonces poner a las coordenadas de T(e_1),T(e_2),T(e_2) como vectores columna de una matriz

    \[\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 & -1\\ -1& 0 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]

Sumando la segunda fila a la tercera, y después restando la primera a la segunda,obtenemos la matriz

    \[\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 2 & -2\\ 0& 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.\]

De aquí, sin necesidad de terminar la reducción gaussiana, podemos ver que habrá exactamente dos filas no cero. De este modo, el rango de la transformación es 2.

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Propiedades del rango

Demostremos ahora algunas propiedades teóricas importantes acerca del rango de una transfromación lineal.

Proposición. Sean U, V y W espacios de dimensión finita. Sean S:U\to V, T:V\to W, T':V\to W transformaciones lineales. Entonces:

  1. \rank(T)\leq \dim V
  2. \rank(T)\leq \dim W
  3. \rank(T\circ S)\leq \rank(T)
  4. \rank(T\circ S)\leq \rank(S)
  5. \rank(T+T')\leq \rank(T) + \rank(T')

Demostración. (1) Pensemos a T como una transformación T:V\to \Ima(T). Haciendo esto, T resulta ser suprayectiva, y por un resultado anterior tenemos que \dim V\geq \dim \Ima T = \rank (T).

(2) Sabemos que \Ima (T) es un subespacio de W, así que \rank(T)=\dim \Ima T \leq \dim W.

(3) La imagen de T contiene a la imagen de T\circ S, pues cada vector de la forma T(S(v)) es de la forma T(w) (para w=S(v)). Así,

    \[\rank(T) =\dim \Ima T \geq \dim \ima T\circ S = \rank (T\circ S).\]

(4) La función T\circ S coincide con la restricción T_{\Ima S} de T a \Ima S. Por el inciso (1), \rank(T_{\Ima S})\leq \dim \Ima S = \rank(S), así que \rank (T\circ S) \leq \rank(S).

(5) Tenemos que \Ima (T+T') \subseteq \Ima T + \Ima T'. Además, por un corolario de la fórmula de Grassman, sabemos que

    \begin{align*}\dim (\Ima T + \Ima T')&\leq \dim \Ima T + \dim \Ima T'\\&= \rank(T) + \rank(T').\end{align*}

Así,

    \begin{align*}\rank(T+T')&\leq \rank(\Ima T + \Ima T')\\&\leq \rank(T)+\rank(T').\end{align*}

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Proposición. Sean R:U\to V, T:V\to W y S:W\to Z transformaciones lineales con R suprayectiva y S inyectiva. Entonces

    \[\rank(S\circ T\circ R)=\rank (T).\]

Dicho de otra forma «composición por la izquierda con transformaciones inyectivas no cambia el rango» y «composición por la derecha con transformaciones suprayectivas no cambia el rango». Un corolario es «composición con transformaciones invertibles no cambia el rango».

Demostración. De la proposición anterior, tenemos que \rank(S\circ T)\leq \rank (T). La restricción S_{\Ima T} de S a la imagen de T es una transformación lineal de \Ima T a \Ima (S\circ T) que es inyectiva, de modo que \dim \Ima T \leq \dim \Ima (S\circ T), que es justo \rank(T)\leq \rank(S\circ T), de modo que tenemos la igualdad \rank(S\circ T)=\rank (T).

Como R es suprayectiva, \Ima R= V, de modo que \Ima(S\circ T \circ R)=\Ima(S\circ T). Así,

    \[\rank (S\circ T \circ R) = \rank (S\circ T)=\rank(T).\]

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Teorema de rango-nulidad

Una transformación lineal T:V\to W determina automáticamente dos subespacios de manera natural: el kernel \ker T y la imagen \Ima T. Resulta que las dimensiones de \ker T, de \Ima T y de V están fuertemente relacionadas entre sí.

Teorema. Sean V y W espacios de dimensión finita. Sea T:V\to W una transformación lineal. Entonces

    \[\dim\ker T + \rank(T) = \dim V.\]

Demostración. Supongamos que \dim V=n y \dim \ker T = k. Queremos mostrar que \rank(T)=n-k. Para ello, tomemos una base B de \ker T y tomemos B'=\{v_1,\ldots,v_{n-k}\} tal que B\cup B' sea base de V. Basta mostrar que T(B')=\{T(v_1),\ldots,T(v_{n-k})\}\subset \Ima T es base de \Ima T. Sea U el generado por B', de modo que V=U \oplus \ker T.

Veamos que T(B') es generador de \Ima T. Tomemos T(v) en \Ima T. Podemos escribir v=z+u con z\in \ker T y u\in U. Así, T(v)=T(z)+T(u)=T(u)\in T(B').

Ahora veamos que T(B') es linealmente independiente. Si

    \[\alpha_1T(v_1)+\ldots+\alpha_{n-k}T(v_{n-k})=0,\]

entonces T(\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_{n-k}v_{n-k})=0, de modo que \alpha_1v_1+\ldots+\alpha_{n-k}v_{n-k} está en U y en \ker T, pero la intersección de estos espacios es \{0\}. Como esta combinación lineal es 0 y B' es linealmente independiente, \alpha_1=\ldots=\alpha_n=0.

De esta forma, T(B') es linealmente independiente y genera a \Ima T, de modo que \rank(T) =|B'|=n-k.

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Ejemplo. Consideremos de nuevo la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\to M_{2}(\mathbb{R}) que manda (x,y,z) a

    \[\begin{pmatrix}x+y-z & 2x \\ 2y-2z & x+z-y\end{pmatrix}.\]

Muestra que T no es inyectiva.

Solución. Ya determinamos previamente que esta transformación tiene rango 2. Por el teorema de rango-nulidad, su kernel tiene dimensión 1. Así, hay un vector v\neq (0,0,0) en el kernel, para el cual T(v)=0=T(0), de modo que T no es inyectiva.

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Problema. Demuestra que para cualquier entero n existe una terna (a,b,c)\neq (0,0,0) con a+b+c=0 y tal que

    \[\int_0^1 at^{2n}+bt^n+c \,dt = 0.\]

Solución. Podríamos hacer la integral y plantear dos ecuaciones lineales. Sin embargo, daremos argumentos dimensionales para evitar la integral. Consideremos las transformaciones lineales T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} y S:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} dadas por

    \begin{align*}T(x,y,z)&=\int_0^1 xt^{2n}+yt^n+z \,dt\\S(x,y,z)&=x+y+z.\end{align*}


Notemos que T(0,0,1)=\int_0^1 1\, dt = 1=S(0,0,1), de modo que ni T ni S son la transformación 0. Como su rango puede ser a lo más \dim\mathbb{R}=1, entonces su rango es 1. Por el teorema de rango-nulidad, \dim \ker S= \dim \ker T = 2. Como ambos son subespacios de \mathbb{R}^3, es imposible que \ker S \cap \ker T=\{0\}, de modo que existe (a,b,c) no cero tal que T(a,b,c)=S(a,b,c)=0. Esto es justo lo que buscábamos.

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Rango para matrices

Definición. El rango de una matriz A en M_{m,n}(F) es el rango de la transformación lineal asociada de F^n a F^m dada por X\mapsto AX. Lo denotamos por \rank(A).

A partir de esta definición y de las propiedades de rango para transformaciones lineales obtenemos directamente las siguientes propiedades para rango de matrices.

Proposición. Sean m, n y p enteros. Sea B una matriz en M_{n,p}(F) y A, A' matrices en M_{m,n}. Sea P una matriz en M_{n,p} cuya transformación lineal asociada es suprayectiva y Q una matriz en M_{r,m} cuya transformación lineal asociada es inyectiva. Entonces:

  1. \rank(A)\leq \min(m,n)
  2. \rank(AB)\leq \min(\rank(A),\rank(B))
  3. \rank(A+A')\leq \rank(A) + \rank(A')
  4. \rank(QAP) = \rank(A)

Como discutimos anteriormente, el rango de una transformación se puede obtener aplicando la transformación a una base y viendo cuál es el máximo subconjunto de imágenes de elementos de la base que sea linealmente independiente. Si tomamos una matriz A en M_{m,n}(F), podemos aplicar esta idea con los vectores e_1,\ldots,e_n de la base canónica de F^{n}. Como hemos visto con anterioridad, para cada i=1,\ldots, n tenemos que el vector Ae_i es exactamente la i-ésima columna de A. Esto nos permite determinar el rango de una matriz en términos de sus vectores columna.

Proposición. El rango de una matriz en M_{m,n}(F) es igual a la dimensión del subespacio de F^m generado por sus vectores columna.

Problema. Determina el rango de la matriz

    \[\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 8 & 2 & -9 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 4 & -2\end{pmatrix}.\]

Solución. Como es una matriz con 3 filas, el rango es a lo más 3. Notemos que entre las columnas están los vectores (3,0,0), (0,2,0) y (0,0,-2), que son linealmente independientes. De esta forma, el rango de la matriz es 3.

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A veces queremos ver que el rango de un producto de matrices es grande. Una herramienta que puede servir en estos casos es la desigualdad de Sylvester.

Problema (Desigualdad de Sylvester). Muestra que para todas las matrices A, B en M_n(F) se tiene que

    \[\rank(AB)\geq \rank(A)+\rank(B)-n.\]

Solución. Tomemos T_1:F^n\to F^n y T_2:F^n\to F^n tales que T_1(X)=AX y T_2(X)=BX. Lo que tenemos que probar es que

    \[\rank(T_1\circ T_2) \geq \rank(T_1) + \rank(T_2) - n.\]

Consideremos S_1 como la restricción de T_1 a \Ima T_2. Tenemos que \ker S_1 \subset \ker T_1, así que \dim \ker S_1 \leq \dim \ker T_1. Por el teorema de rango-nulidad en S_1, tenemos que

    \begin{align*}rank(T_2) &= \dim \Ima T_2 \\&= \dim \ker S_1 + \rank(S_1) \\&= \dim \ker S_1 + \rank(T_1\circ T_2)\\&\leq \dim \ker T_1 + \rank(T_1\circ T_2),\end{align*}

así que

    \[\rank(T_2)\leq \dim \ker T_1 + \rank(T_1\circ T_2).\]

Por el teorema de rango-nulidad en T_1 tenemos que

    \[\dim \ker T_1 + \rank(T_1)=n.\]

Sumando la desigualdad anterior con esta igualdad obtenemos el resultado.

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El teorema PJQ (opcional)

El siguiente resultado no se encuentra en el temario usual de Álgebra Lineal I. Si bien no formará parte de la evaluación del curso, recomendamos fuertemente conocerlo y acostumbrarse a usarlo pues tiene amplias aplicaciones a través del álgebra lineal.

Teorema (Teorema PJQ). Sea A una matriz en M_{m,n}(F) y r un entero en \{0,\ldots,\min(m,n)\}. El rango de A es igual a r si y sólo si existen matrices invertibles P\in M_m(F) y Q\in M_n(F) tales que A=PJ_rQ, en donde J_r es la matriz en M_{m,n} cuyas primeras r entradas de su diagonal principal son 1 y todas las demás entradas son cero, es decir, en términos de matrices de bloque,

    \[J_r=\begin{pmatrix}I_r & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}.\]

No damos la demostración aquí. Se puede encontrar en el libro de Titu Andreescu, Teorema 5.68. Veamos algunas aplicaciones de este teorema.

Problema. Muestra que una matriz tiene el mismo rango que su transpuesta.

Solución. Llamemos r al rango de A. Escribimos A=PJ_rQ usando el teorema PJQ, con P y Q matrices invertibles. Tenemos que ^tA=^tQ\, ^tJ_r \,^tP, con ^tQ y ^tP matrices invertibles. Además, ^t J_r es de nuevo de la forma de J_r. Así, por el teorema PJQ, tenemos que ^t A es de rango r.

Combinando el problema anterior con el resultado del rango de una matriz en términos de sus vectores columna obtenemos lo siguiente.

Proposición. El rango de una matriz en M_{m,n}(F) es igual a la dimensión del subespacio de F^n generado por sus vectores renglón.

Terminamos esta entrada con una aplicación más del teorema PJQ.

Problema. Muestra que una matriz A de rango r se puede escribir como suma de r matrices de rango 1. Muestra que es imposible hacerlo con menos matrices.

Solución. Expresamos A=PJ_rQ usando el teorema PJQ. Si definimos A_i=PE_{ii}Q para i=1,\ldots,r, donde E_{ii} es la matriz cuya entrada (i,i) es uno y las demás cero, claramente tenemos que J_r=E_{11}+E_{22}+\ldots+E_{rr}, por lo que

    \[A=PJ_rQ=A_1+A_2+\ldots+A_r.\]

Además, como E_{ii} es de rango 1, por el teorema PJQ cada matriz A_i es de rango 1.

Veamos que es imposible con menos. Si B_1,\ldots,B_s son matrices de rango 1, como el rango es subaditivo tenemos que \rank (B_1+\ldots+B_s)\leq s. Así, si sumamos menos de r matrices, no podemos obtener a A.

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Tarea Moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Termina de hacer la reducción gaussiana del primer ejemplo.
  • Sea T una transformación de un espacio vectorial V de dimensión finita a si mismo. Usa el teorema de rango-nulidad para mostrar que si T es inyectiva o suprayectiva, entonces es biyectiva.
  • Determina el rango de la matriz

        \[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 8 & 3\\ 7 & 8 & -1 & -2 & 0\\ 3 & -1 & 4 & 4 & -9\end{pmatrix}.\]

  • Demuestra que aplicar operaciones elementales a una matriz no cambia su rango.
  • Demuestra que matrices similares tienen el mismo rango.
  • Demuestra por inducción que para matrices A_1,\ldots, A_n del mismo tamaño tenemos que

        \[\rank (A_1+\ldots+A_n)\leq \sum_{i=1}^n \rank(A_i).\]

  • Escribe la demostración de la última proposición de la sección del teorema PJQ
  • Revisa la demostración del teorema de descomposición PJQ en el libro de Titu Andreescu.

Álgebra Lineal I: Problemas de transformaciones lineales, vectores independientes y forma matricial

El objetivo de esta entrada es mostrar algunos problemas resueltos sobre los temas vistos el jueves y viernes de la semana pasada.

Problema 1. Sean

v_1=(1,0,0), v_2=(1,1,0), v_3=(1,1,1)

y sea T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2 una transformación lineal tal que

T(v_1)=(3,2), T(v_2)=(-1,2), T(v_3)=(0,1)

Calcula el valor de T(5,3,1).

 

Solución. Primero observemos que {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} es una base de \mathbb{R}^3, entonces existen a,b,c\in \mathbb{R} tales que

    \[(5,3,1)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1).\]


Si logramos expresar a (5,3,1) de esta forma, después podremos usar que T es lineal para encontrar el valor que queremos. Encontrar los valores de a,b,c que satisfacen la ecuación anterior lo podemos ver como el sistema de ecuaciones:

    \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}.\]

Ahora consideramos la matriz extendida del sistema y la reducimos

    \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 5\\0 & 1 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\]


Así, a=2, b=2, c=1.

Finalmente, usando que T es transformación lineal,

    \begin{align*}T(5,3,1)&=T(2(1,0,0)+2(1,1,0)+(1,1,1))\\&=2T(1,0,0)+2T(1,1,0)+T(1,1,1)\\&=2(3,2)+2(-1,2)+(0,1)\\&=(6,4)+(-2,4)+(0,1)\\&=(4,9).\end{align*}

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Problema 2. Sea P_n(\mathbb{R}) el espacio de los polinomios de grado a los más n con coeficientes reales.

Considera la transformación lineal T:P_3(\mathbb{R})\longrightarrow P_2(\mathbb{R}) dada por T(p(x))=p'(x).

Sean \beta=\{1,x,x^2,x^3\} y \gamma=\{1,x,x^2\} las bases canónicas de P_3(\mathbb{R}) y P_2(\mathbb{R}), respectivamente. Encuentra la representación matricial de la transformación T.

Solución. Primero le aplicamos T a cada uno de los elementos de \beta

T(1)=0\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2
T(x)=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2
T(x^2)=0\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot x^2
T(x^3)=0\cdot 1 + 0\cdot x + 3\cdot x^2

Así,

    \[\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\]


es la representación matricial de T con respecto a las bases canónicas.

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Problema 3. Sea V=P_2(\mathbb{R}). Considera las transformaciones

T:\mathbb{R}^3\longrightarrow V, T(a,b,c)=a+2bx+3cx^2

y

S:V\longrightarrow M_2(\mathbb{R}), S(a+bx+cx^2)=\begin{pmatrix}a & a+b\\a-c & b\end{pmatrix}.

Consideramos las bases B_1=\{1,x,x^2\} de V, B_2 la base canónica de \mathbb{R}^3 y B_3=\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\} de M_2(\mathbb{R}).

  1. Verifica que T y S son transformaciones lineales.
  2. Escribe las matrices asociadas a T y S con respecto a las bases anteriores.
  3. Encuentra la matriz asociada a la composición S\circ T con respecto a las bases anteriores.
  4. Calcula explícitamente S\circ T, después encuentra directamente su matriz asociada con respecto a las bases anteriores y verifica que el resultado obtenido aquí es el mismo que en el inciso anterior.

Solucion. 1. Sea u\in \mathbb{R} y (a,b,c), (a',b',c')\in \mathbb{R}^3.
Entonces

T(u(a,b,c)+(a',b',c'))=T(au+a',bu+b',cu+c')

=(au+a')+2(bu+b')x+3(cu+c')x^2
=u(a+2bx+3cx^2)+(a'+2b'x+3c'x^2)=uT(a,b,c)+T(a',b',c')

Así, T es lineal.

Ahora, sea u\in \mathbb{R} y a+bx+cx^2, a'+b'x+c'x^2\in V.
Entonces

S(u(a+bx+cx^2)+(a'+b'x+c'x^2))=S(ua+a'+(ub+b')x+(uc+c')x^2)
=\begin{pmatrix}ua+a' & (ua+a')+(ub+b')\\ua+a'-(uc+c') & ub+b'\end{pmatrix}
=u\begin{pmatrix}a & a+b\\a-c & b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a' & a'+b'\\a'-c' & b'\end{pmatrix}
=uS(a+bx+cx^2)+S(a'+b'x+c'x^2)

Así, S es lineal.

2. Empezamos calculando la matrix Mat_{B_1,B_2}(T) de T con respecto de B_1 y B_2.
Sea B_2=\{e_1,e_2,e_3\} la base canónica de \mathbb{R}^3, entonces

T(e_1)=T(1,0,0)=1=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2,
T(e_2)=T(0,1,0)=2x= 0\cdot 1 + 2\cdot x + 0 \cdot x^2,
T(e_3)=T(0,0,1)=3x^2= 0\cdot 1 + 0\cdot x + 3 \cdot x^2,

Así,

Mat_{B_1,B_2}(T)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0& 0 & 3\end{pmatrix}.

De manera análoga, calculamos

S(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix} = 1 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 1 \cdot E_{21} + 0\cdot E_{22},
S(x)=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix} = 0 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 1\cdot E_{22},
S(x^2)=\begin{pmatrix}0 & 0\\-1 & 0\end{pmatrix} = 0 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + (-1) \cdot E_{21} + 0\cdot E_{22},

Por lo tanto

Mat_{B_3,B_1}(S)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}.

3. Usando el teorema visto en la entrada del viernes pasado 

Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)=Mat_{B_3,B_1}(S)\cdot Mat_{B_1,B_2}(T)


=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 2 & 0\\1 & 0 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}.

4. Calculamos

(S\circ T)(a,b,c)=S(T(a,b,c))= S(a+2bx+3cx^2)=\begin{pmatrix}a & a+2b\\a-3c & 2b\end{pmatrix}.

Luego,

(S\circ T)(e_1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 1 \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}
(S\circ T)(e_2)=\begin{pmatrix}0 & 2\\0 & 2\end{pmatrix} = 0\cdot E_{11} + 2 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 2 \cdot E_{22}

y

(S\circ T)(e_2)=\begin{pmatrix}0 & 0\\-3 & 0\end{pmatrix} = 0 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + -3 \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}

Así, la matriz asociada a S\circ T es

Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 2 & 0\\1 & 0 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}

Que es justo lo que se obtuvo en el inciso 3.

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Álgebra Lineal I: Forma matricial de una transformación lineal

Introducción

Durante el primer bloque de nuestro curso vimos que las transformaciones lineales T:F^n \longrightarrow F^m pueden ser descritas por medio de matrices A\in M_{m,n}(F). Nuestro objetivo ahora es extender este resultado para describir transformaciones lineales T:V\longrightarrow W entre espacios vectoriales de dimensión finita V y W. Sin embargo, la descripción no será canónica, es necesario fijar bases para V y W.

Para esta entrada todos los espacios vectoriales que usemos son de dimensión finita sobre el campo F. Usaremos los resultados de la entrada pasada, en la que estudiamos qué le hacen las transformaciones lineales a los conjuntos linealmente independientes, a los generadores y a las bases.

Definición. Decimos que una transformación lineal T:V\longrightarrow W es un isomorfismo de espacios vectoriales si es biyectiva. Lo denotamos como V\simeq_{T} W, que se lee «V isomorfo a W mediante T«.

Problema. Sea T:V\longrightarrow W un isomorfismo de espacios vectoriales. Prueba que su inversa T^{-1}:W\longrightarrow V es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Demostración. La transformación T^{-1} es biyectiva, pues es invertible de inversa T, así que sólo hace falta checar que T^{-1} es lineal. Tomemos w_1, w_2 en W, y c en el campo. Como T es suprayectiva, podemos tomar v_1=T^{-1}(w_1) y v_2=T^{-1}(w_2). Entonces T(v_1)=w_1 y T(v_2)=w_2, así

    \begin{align*}T^{-1}(w_1+cw_2)&=T^{-1}(T(v_1)+cT(v_2))\\&=T^{-1}(T(v_1+cv_2))\\&=v_1+cv_2\end{align*}

Aquí usamos que T es lineal.

\square

Más interesante aún, resulta que es posible clasificar los espacios vectoriales de dimensión finita distintos de \{0\}, salvo isomorfismos: Para cada entero n todos los espacios vectoriales de dimensión n son isomorfos a F^n.

Teorema. Sea n un entero positivo y sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre F. Si B=(e_1,\dots,e_n) es una base de V, entonces la transformación i_B:F^n\longrightarrow V definida por i_B(x_1,\dots,x_n)=x_1e_1+x_2e_2+\dots+x_ne_n es un isomorfismo de espacios vectoriales.

La verificación de los detalles de este teorema queda como tarea moral. Como sugerencia, recuerda que una base B de V te permite expresar a cada vector de V de manera única como combinación lineal de elementos de B.

Corolario. Si T:V\longrightarrow W es un isomorfismo de espacios vectoriales, entonces dim V=dimW.

La matriz asociada a una transformación lineal

Por la discusión anterior, la elección de una base en un espacio vectorial V de dimensión n nos permite identificar V con F^{n}. Considera ahora la transformación lineal T:V\rightarrow W y supón que dimV=n y dimW=m. Escogemos bases B_V=\{v_1,\dots, v_n\} y B_W=\{w_1,\dots,w_m\}, respectivamente. Por el teorema anterior tenemos los isomorfismos

    \[i_{B_{V}}:F^n\to V, \vspace\]

    \[i_{B_{W}}:F^m\longrightarrow W.\]

¿Cómo podemos usar todas estas transformaciones para construir una transformación F^n\to F^m? La idea es usar el inverso de i_{B_W} y componer todo.

Así, consideramos \psi_T como la composición de las transformaciones i_{B_{V}}, T, i_{B_{W}}^{-1}:

\psi_T:F^n\longrightarrow F^m,

\psi_T=i_{B_W}^{-1}\circ T\circ i_{B_{V}}.

De esta forma, \psi_T es una transformación lineal entre F^n y F^m. ¡Este tipo de transformaciones ya las conocemos! Sabemos que \psi_T se describe de manera única por medio de una matriz A\in M_{m,n}(F). Esta es la matriz asociada a T con respecto a las bases B_V y B_W. Dicha matriz depende fuertemente de las dos bases, así que la denotaremos como \text{Mat}_{B_W,B_V}(T) . Por el momento sólo pongamos mucha atención en el orden en el que escribimos las bases, pues esto es importante y será explicado más adelante.

Cuando T:V\to V va de un espacio vectorial a sí mismo y usamos sólo una base B, simplificamos la notación a \text{Mat}_B(T).

Evaluar T usando la matriz asociada

La construcción anterior parece muy complicada, pero en realidad es muy natural. Lo que está sucediendo es esto: tenemos una parametrización de transformaciones lineales entre F^n y F^m dada por matrices, y podemos extenderla a una descripción de transformaciones lineales entre V y W identificando V con F^n y W con F^m vía la elección de bases en V y W.

Notemos que si definimos A:=\text{Mat}_{B_{W},B_{V}}(T), entonces tenemos que

i_{B_{W}}(Ax)=T(i_{B_{V}}(x)) … (1)

Esta igualdad nos va a ayudar a decir quién es T en términos de las entradas de la matriz A. Sea \{e_1,\dots,e_n\} la base canónica de F^n y \{f_1,\dots,f_m\} la base canónica de F^m. SiA=[a_{ij}], entonces por definición Ae_i=a_{1i}f_1+\dots+a_{mi}f_{m}, así para x=e_i se tiene

i_{B_{W}}(Ax)=i_{B_{W}}(a_{1i}f_1+\dots + a_{mi}f_m) = a_{1i}w_1+\dots + a_{mi}w_m.

Por otro lado, i_{B_{V}}(e_i)=v_i, de manera que la relación (1) es equivalente a la relación

T(v_i)=a_{1i}w_1+\dots + a_{mi}w_m

Aquí empieza a haber mucha notación, pero no hay que perderse. Hasta ahora lo que tenemos es que «podemos saber cuándo vale la transformación T en cada elemento de la base de V en términos de la matriz A«. ¡Esto es un paso importante, pues en la entrada anterior vimos que basta saber qué le hace una transformación a los elementos de la base para saber qué le hace a cualquier vector! Resumimos lo obtenido hasta ahora.

Proposición. Sea T:V\longrightarrow W una transformación lineal y sean B_V=\{v_1,\dots v_n\}, B_W=\{w_1,\dots,w_m\} bases en V y W, respectivamente. La columna j de \text{Mat}_{B_W,B_V}(T)=[a_{ij}] entonces para toda 1\leq i\leq n se tiene

    \[T(v_i)=\displaystyle\sum_{j=1}^m a_{ji}w_j.\]

Así, si tenemos la matriz A que representa a T en las bases B_V y B_W y un vector arbitrario v en V, para saber quién es T(V) basta:

  • Usar la proposición anterior para saber quien es T(v_i) para cada v_i en la base B_V.
  • Expresar a v en términos de la base B_V como, digamos, v=c_1v_1+\ldots+c_nv_n.
  • Usar que T es lineal para concluir que T(v)=c_1T(v_1)+\ldots+c_nT(v_n) y usar los valores de T(v_i) encontrados en el primer inciso.

Matrices de composiciones de transformaciones lineales

Para finalizar esta entrada queremos entender la relación entre la composición S\circ T de transformaciones lineales y las matrices asociadas de T y S. En otras palabras, sean T:V\longrightarrow W y S:W\longrightarrow U transformaciones lineales fijas y supongamos que m=dimV, n=dimW, p=dimU. También fijemos las bases B_U, B_V, B_W en U,V,W, respectivamente. Para simplificar las cosas escribamos

\mathcal{A}=\text{Mat}_{B_U,B_W}(S) y \mathcal{B}=\text{Mat}_{B_W,B_V}(T)

Con respecto a las bases B_U,B_V,B_W se tienen los isomorfismos i_{B_U}, i_{B_V}, i_{B_W} definidos como lo hicimos anteriormente en esta misma entrada del blog, y por definición de \mathcal{A}, \mathcal{B} se tiene

i_{B_W}(\mathcal{B}x)=T(i_{B_V}(x)) con x\in F^m,

i_{B_U}(\mathcal{A}y)=S(i_{B_W}(y)) con y\in F^p

Aplicando S en la primera relación y después usando la segunda relación, se tiene para x\in F^m

(S\circ T)(i_{B_V}(x))=S(i_{B_W}(\mathcal{B}x))=i_{B_U}(\mathcal{A} \mathcal{B}x).

Esta última relación y la definición de \text{Mat}_{B_U,B_V}(S\circ T) nos muestra que

\text{Mat}_{B_U,B_V}(S\circ T)=\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}.

En otras palabras, la composición de transformaciones lineales se reduce a multiplicar sus matrices asociadas o de manera más formal

Teorema. Sean T:V\longrightarrow W y S:W\longrightarrow U transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita y sean B_U, B_V, B_W bases de U,V,W, respectivamente. Entonces

\text{Mat}_{B_U,B_V}(S\circ T)=\text{Mat}_{B_U,B_W}(S)\cdot \text{Mat}_{B_W,B_V}(T).

Cuando tenemos transformaciones lineales de un espacio vectorial V a sí mismo, y usamos la misma base B, el resultado anterior se puede escribir de una manera más sencilla.

Corolario. Sean T_1,T_2:V\longrightarrow V transformaciones lineales en un espacio vectorial de dimensión finita V, y sea B una base de V. Entonces

\text{Mat}_{B}(T_1\circ T_2)=\text{Mat}_{B}(T_1)\cdot \text{Mat}_{B}(T_2).

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que la relación «son isomorfos» para espacios vectoriales es una relación de equivalencia.
  • Muestra que la transformación i_B dada en el teorema de clasificiación de espacios vectoriales en efecto es un isomorfismo.
  • Asegúrate de entender el último corolario.