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Álgebra Superior II: Ecuaciones en congruencias

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En entradas anteriores platicamos de congruencias y de algunos teoremas que se pueden usar para trabajar con potencias y factoriales módulo un entero. Ya que tenemos un buen manejo de la aritmética en congruencias, podemos comenzar a hacernos preguntas acerca de las ecuaciones que pueden se plantear y resolver en estos términos.

Ejemplo 1. ¿Cuáles son las soluciones enteras a la ecuación $x\equiv 3 \pmod 6$?

Solución. Un número $x$ satisface la ecuación si y sólo si $6$ divide a $x-3$, lo cual sucede si y sólo si $x$ es de la forma $x=6r+3$, donde $r$ es un número entero. Así, el conjunto de soluciones es de la forma $$6\mathbb{Z}+3:= \{6r+3: r\in \mathbb{Z}\}.$$ Dicho de otra forma, el conjunto de soluciones es la clase de equivalencia del $3$ módulo $6$, es decir, $[3]_6$.

$\triangle$

Cuando tengamos ecuaciones más complicadas, usualmente lo que haremos es dejar expresada la solución en términos de congruencias, es decir, como uno o varios elementos de $\mathbb{Z}_n$. Si se quiere encontrar a todos los enteros (en $\mathbb{Z}$) que sean solución, basta recordar este ejemplo para expresar a las soluciones en $\mathbb{Z}_n$ como conjuntos de soluciones en $\mathbb{Z}$.

Ejemplo 2. ¿Cuáles son las soluciones enteras a la ecuación $2x+1\equiv 0 \pmod 7$?

Solución. Trabajemos módulo $7$. Restando $1$ de ambos lados obtenemos $$2x\equiv -1\equiv 6 \pmod 7.$$ Multiplicando por $4$ de ambos lados tenemos que $$8x\equiv 24\equiv 3\pmod 7.$$ Como $8x\equiv x \pmod 7$, tenemos que $x\equiv 3 \pmod 7$ es la solución.

$\triangle$

En el ejemplo anterior encontramos las soluciones módulo $7$. Si queremos encontrar las soluciones en enteros, basta expresar esta congruencia en términos de enteros: las soluciones en $\mathbb{Z}$ son los números de la forma $7r+3$ con $r$ entero.

Ecuaciones lineales en congruencias

Una ecuación lineal en congruencias es de la forma $$ax\equiv b\pmod n.$$ Vamos a estudiar esta ecuación, viendo cuándo tiene solución y cuántas soluciones módulo $n$ tiene. Hay un caso fácil de estudiar, que es cuando $a$ y $n$ son primos relativos.

Proposición 1. Sean $a,b$ enteros y $n$ un entero positivo tales que $\text{MCD}(a,n)=1$. Entonces la ecuación $$ax\equiv b \pmod n$$ tiene una única solución $x$ módulo $n$.

Demostración. Como $a$ y $n$ son primos relativos, $a$ tiene un inverso multiplicativo módulo $n$, digamos $a^{-1}$. Afirmamos que $x=a^{-1}b$ es solución. En efecto, $a(a^{-1}b)\equiv 1\cdot b\equiv b \pmod n$.

Ahora, afirmamos que la solución es única. Supongamos que $x$ y $y$ son solución. Tendríamos entonces que $$ax\equiv b \equiv ay \pmod n.$$ Multiplicando ambos extremos de esta ecuación por $a^{-1}$, tenemos que $$x\equiv a^{-1}ax\equiv a^{-1}a y \equiv y \pmod n.$$

$\square$

Sin embargo, como ya vimos antes, no siempre pasa que todo elemento tenga inverso multiplicativo. Necesitamos un análisis más detallado.

Notemos que $x$ es solución de $ax\equiv b\pmod n$ si y sólo si $n$ divide a $ax-b$, lo cual sucede si y sólo si existe un entero $y$ tal que $ax-b=ny$. Reordenando, tenemos que $ax-ny=b$. En otras palabras, la ecuación en congruencias tiene solución si y sólo si podemos expresar a $b$ como combinación lineal entera de $a$ y $n$, lo cual sucede si y sólo si $$b\in a\mathbb{Z} + n \mathbb{Z}=\text{MCD}(a,n)\mathbb{Z},$$ es decir, si y sólo si $b$ es múltiplo del máximo común divisor de $a$ y $n$. Resumimos esta primer parte del análisis en la siguiente proposición.

Proposición 2. Sean $a,b$ enteros y $n$ un entero positivo. La ecuación $ax\equiv b\pmod n$ tiene solución si y sólo si $\text{MCD}(a,n)$ divide a $b$.

Ahora, queremos entender cuántas soluciones diferentes hay módulo $n$.

Ejemplo. Encuentra todas las soluciones a la ecuación $4x\equiv 1 \pmod 8$ y a la ecuación $4x\equiv 0 \pmod 8$.

Solución. Tenemos que $\text{MCD}(4,8)=4$ y que $4$ no divide a $1$, así que la primer ecuación no tiene solución. Tenemos que $4$ sí divide a $0$, así que la segunda ecuación sí tiene solución. Veamos cuántas tiene.

Notemos que al multiplicar por $4$ cada uno de los elementos $0,2,4,6$ obtenemos respectivamente $0,8,16,24$, que son todos múltiplos de $8$, así que estos elementos de $\mathbb{Z}_8$ son solución. Al multiplicar $4$ por $1,3,5,7$ obtenemos $4,12,20,28$, que módulo $8$ son $4,4,4,4$, así que ninguno de estos números son solución. Así, las soluciones son $x\equiv 0,2,4,6\pmod 8$.

$\triangle$

Una forma alternativa de expresar la solución del problema anterior es darse cuenta de que las soluciones en enteros son los números pares, o bien los enteros $n$ tales que $n\equiv 0\pmod 2$. En general, cuando la solución existe, podemos encontrar un módulo en la que la podemos describir de manera única. Este es el contenido de las siguientes dos proposiciones.

Proposición 3. Sean $a,b$ enteros y $n$ un entero positivo tales que $M=\text{MCD}(a,n)$ divide a $b$. Sean $a’=a/M$, $b’=b/M$ y $n’=n/M$ (con $a’$, $b’$, $n’$ enteros). El entero $x$ es solución a la ecuación en congruencias $ax\equiv b \pmod n$ si y sólo si es solución a la ecuación en congruencias $a’x\equiv b’\pmod {n’}$.

Demostración. Tenemos que $x$ es solución a $ax\equiv b \pmod n$ si y sólo si existe una combinación lineal entera $ax-ny=b$. Al dividir entre $M\neq 0$, esto sucede si y sólo si $a’x-n’y=b’$, lo cual sucede si y sólo si $x$ es solución a la ecuación en congruencias $a’x\equiv b’\pmod {n’}$.

$\square$

Estamos listos para enunciar el resultado principal de esta sección. Viene de la combinación de las ideas anteriores.

Teorema 1. Sean $a,b$ enteros y $n$ un entero positivo. La ecuación $ax\equiv b\pmod n$ tiene solución si y sólo si $M:=\text{MCD}(a,n)$ divide a $b$. Cuando sí hay solución, ésta se puede expresar de manera única en módulo $n’:=n/M$.

Demostración. La primer parte es la Proposición 2. Una vez que sabemos que la ecuación tiene solución, por la Proposición 3 podemos encontrar la ecuación equivalente $a’x\equiv b’\pmod {n’}$, en donde $a’=a/M$ y $b’=b/M$. En esta ecuación, $a’$ y $n’$ son primos relativos (ver Tarea moral abajo). Por la Proposición 1, tiene una solución única módulo $n’$.

$\square$

Como empezamos con una ecuación módulo $n$, quizás queremos saber cuántas soluciones tiene módulo $n$, y no módulo $n’$. De manera inmediata, obtenemos el siguiente resultado.

Corolario. Con la notación del teorema anterior, cuando la ecuación tiene solución, entonces tiene $M$ soluciones módulo $n$.

Ejercicio. Resuelve la ecuación lineal en congruencias $$12x\equiv 18 \pmod {30}.$$

Intenta resolver este ejercicio antes de ver la solución. Puedes comenzar calculando el máximo común divisor de $12$ y $30$.

Solución. El máximo común divisor de $12$ y $30$ es $6$, que sí divide a $18$. Entonces sí hay soluciones, y habrá $6$ soluciones módulo $30$. Para encontrar la ecuación reducida equivalente, dividimos entre $6$ para obtener $$2x\equiv 3 \pmod 5.$$

El inverso de $2$ módulo $5$ es $3$. Multiplicando en ambos lados por $3$ obtenemos la solución $$x\equiv 9 \equiv 4 \pmod 5.$$

Para recuperar las soluciones módulo $30$, a cada una de estas soluciones le sumamos $30/6=5$ repetidamente para obtener las soluciones $x\equiv 4, 9, 14, 19, 24, 29 \pmod {30}$.

$\triangle$

En la siguiente entrada veremos cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que tenemos más de una congruencia.

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $a$ un entero y $n$ un entero positivo. Sea $M=\text{MCD}(a,n)$ y sean $a’=a/M$ y $n’=n/M$. Muestra que $\text{MCD}(a’,n’)=1$.
  2. Demuestra el corolario al Teorema 1.
  3. Verifica que, en efecto, las soluciones que obtuvimos en el ejemplo después del Teorema 1 sí son soluciones de la ecuación original.
  4. Diseña una ecuación lineal módulo $60$ que tenga exactamente $15$ soluciones módulo $60$.
  5. Para prepararte para la siguiente entrada, intenta resolver por completo el sistema de congruencias

\begin{align*}
x&\equiv -1 \pmod{77}\\
x&\equiv -1 \pmod{55}\\
\end{align*}

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Problemas de divisibilidad y algoritmo de Euclides

Por Claudia Silva

Introducción

A continuación les dejo los links que les preparé para hoy. Se ven en el orden que están. Si tienen dudas, pueden ponerlas en la sección de comentarios de aquí del blog.

Ejemplo de algoritmo de la división de Euclides
Condición necesaria para que $2^n+1$ sea primo
$a-b$ divide a $a^n-b^n$

Más adelante…

Tarea moral

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Congruencias y el anillo de enteros módulo n

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En notas pasadas hemos platicado del algoritmo de la división, del máximo común divisor, del mínimo común múltiplo, de primos, del teorema fundamental de la aritmética, la infinidad del conjunto de primos y del algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor.

En esta entrada platicaremos acerca del anillo de los enteros módulo $n$. La idea de esta entrada es:

  • Dar la intuición a través de un ejemplo concreto.
  • Dar la definición formal de $a\equiv b \pmod n$.
  • Definir a $\mathbb{Z}_n$, el anillo de enteros módulo $n$, dando sus elementos y sus operaciones de suma y resta.
  • Dar ejemplos adicionales de operaciones concretas.
  • Hablar de cuáles son los elementos de $\mathbb{Z}_n$ que tienen inversos multiplicativos y cuándo $\mathbb{Z}_n$ es un campo.

A grandes rasgos, el anillo de los enteros módulo $n$ consiste en ver a los enteros «como si sólo nos importara el residuo que dejan al dividirse entre $n$».

Ejemplo introductorio

Hablemos de las horas que tiene un día. Un día tiene $24$ horas y las podemos llamar del $0$ al $24$ para no tener que hacer distinción entre AM y PM. Por ejemplo, las 4PM serían las $16$. Las 10AM simplemente las $10$. La hora $24$ vamos a pensarla más bien como la hora $0$ del siguiente día.

Si son las $8$ (de la mañana, pero ya no hace falta aclarar), entonces tres horas después serán las $11$. Si son las $10$, entonces cuatro horas después serán las $14$. Pero si son las $22$ y pasan $7$ horas, entonces van a ser las $29$, pero conviene pensar a esa hora como las $5$ (del día siguiente), pues así es más claro qué hora entre $0$ y $23$ es. Finalmente si son las $17$ y pasan $24$ horas, entonces la hora que obtenemos es la $17+24=41$, pero justo como pasan $24$ horas, siguen siendo las $17$: aunque el día cambió, la hora no.

De esta discusión recuperamos lo siguiente:

  • En «el mundo de las horas», la hora $29$ es la misma que la hora $5$. En símbolos, esto lo ponemos como $29\equiv 5 \pmod {24}$.
  • Podemos «sumar en el mundo de las horas». Ahí, $10+4$ es $14$, pero $22+7$ es $5$. Vamos a escribir $10+4\equiv 14 \pmod {24}$ y $22+7\equiv 5 \pmod {24}$.
  • En «el mundo de las horas», si sumamos $24$ horas no pasa nada.

Definición del anillo $\mathbb{Z}_n$

En el ejemplo de motivación trabajamos con horas, que «se ciclan cada 24». Pero aquí el $24$ no tiene nada de especial y de hecho lo podemos hacer con cualquier número $n$. Comencemos definiendo qué quiere decir que dos enteros sean iguales «en el mundo de $n$».

Definición. Sea $n$ un entero positivo. Sean $a$ y $b$ enteros. Vamos a decir que $a$ es congruente con $b$ módulo $n$ si $n$ divide a $a-b$. En símbolos: $$ a\equiv b \pmod n \quad \iff \quad n\mid b-a.$$

Proposición. Para todo entero positivo $n$ la relación en $\mathbb{Z}$ de «ser congruente módulo $n$ » es una relación de equivalencia.

Demostración. Tenemos que probar que dicha relación es reflexiva, simétrica y transitiva.

Para ver que la relación es reflexiva, tomemos $a$ en $\mathbb{Z}$. Tenemos que $n$ divide a $0=a-a$, pues $n\cdot 0 =0$ (dicho de otra forma, $0$ está en $n\mathbb{Z}$). Así, $a\equiv a \pmod n$.

Veamos ahora que la relación es simétrica. Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $n$ divide a $a-b$, pero entonces también divide a su inverso aditivo $b-a$ (aquí estamos usando que $n\mathbb{Z}$ es ideal, y que los ideales son cerrados bajo inversos aditivos), de modo que $b\equiv a \pmod n$.

Finalmente, veamos que la relación es transitiva. Para ello, a partir de enteros $a$, $b$ y $c$ tales que $a\equiv b \pmod n$ y $b\equiv c \pmod n$ tenemos que mostrar que $a\equiv c \pmod n$. Por definición, las primeras dos congruencias quieren decir que $n$ divide a $a-b$ y a $b-c$. Pero sabemos que si un entero divide a dos enteros, entonces divide a su suma. Así, $n\mid (a-b)+(b-c)=a-c$, que por definición quiere decir que $a\equiv c \pmod n$.

$\square$

Ya que «ser congruente módulo $n$» es una relación de equivalencia, entonces podemos dividir a todo $\mathbb{Z}$ en las clases de equivalencia de esta relación, y escribir como $[a]_n$ a la clase de equivalencia que tiene al entero $a$. La siguiente proposición muestra que para cada clase de equivalencia siempre podemos encontrar un representante chiquito.

Proposición. Sea $n$ un entero positivo. Se tiene que $a\equiv b \pmod n$ si y sólo si $a$ y $b$ dejan el mismo residuo al dividirse entre $n$ en el algoritmo de la división. En particular, para cada $a$ siempre existe un entero $r$ en $\{0,1,\ldots,n-1\}$ tal que $a\equiv r \pmod n$.

Demostración. Usemos el algoritmo de la división para escribir $a=qn+r$ y $b=pn+s$ con $r$ y $s$ los residuos de la división, que el algoritmo de la división garantiza que están en $\{0,1,\ldots,n-1\}$.

Si $r=s$, entonces $a-b=(q-p)n$, así que $n\mid a-b$ y así $a\equiv b \pmod n$. Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $$n\mid a-b= (q-p)n+(r-s).$$ Como $n\mid (q-p)n$, entonces $n\mid r-s$. Sin embargo, usando que $r$ y $s$ están en $\{0,1,\ldots,n-1\}$, tenemos que $r-s$ es un número entre $-(n-1)$ y $n-1$, de modo que la única posibilidad es $r-s=0$, es decir, $r=s$. Esto prueba la primer parte de la proposición.

Como $a$ y $r$ dejan el mismo residuo $r$ al dividirse entre $n$, entonces $a\equiv r \pmod n$.

$\square$

Ejemplo. Fijemos $n=7$. Tenemos que las siguientes clases de equivalencia son la misma: $[13]_7$, $[20]_7$, $[-1]_7$. Esto es ya que, por ejemplo, $7$ divide a $20-13=14$ y $7$ divide a $20-(-1)=21$. De hecho, todas estas clases son iguales a la clase $[6]_7$, pues tanto $-1$, $6$, $13$ como $20$ son números que al dividirse entre $7$ dejan residuo $6$.

Estamos listos para presentar a los elementos del anillo de enteros módulo $n$.

Definición. Para $n$ un entero positivo, definimos a $Z_n$ como el conjunto de clases de equivalencia de la relación «ser congruente módulo $n$». Por la proposición anterior, tenemos entonces que $$Z_n=\{[0]_n, [1]_n, \ldots, [n-1]_n\}$$

Nota que $Z_n$ tiene exactamente $n$ elementos, uno por cada uno de los posibles residuos de dividir un número entre $n$. Nota también que $\mathbb{Z}_n$ no es lo mismo que el ideal $n\mathbb{Z}$, y que hay que ser cuidadosos con la notación. De hecho, el ideal $n\mathbb{Z}$ es uno de los elementos de $\mathbb{Z}_n$.

Ejemplo. $Z_4=\{[0]_4,[1]_4, [2]_4,[3]_4\}$ tiene $4$ elementos. El elemento $[3]_4$ consiste de todos los enteros que dejan residuo $3$ al dividirse entre $4$, es decir, $[\ldots,-5,-1,3,7,\ldots]$.

Definición. Sea $n$ un entero positivo y $[a]_n$ y $[b]_n$ clases de equivalencia de la relación «ser congruentes módulo $n$». Definimos las siguientes operaciones de suma y producto:

  • $[a]_n + [b]_n = [a+b]_n$, y
  • $[a]_n [b]_n = [ab]_n$.

Estas operaciones es decir, esta suma y producto «están bien definidas» y no dependen de los representantes elegidos, como muestra la siguiente proposición:

Proposición. Sea $n$ un entero positivo. Si $a\equiv a’ \pmod n$ y $b\equiv b’ \pmod n$, entonces $a+b \equiv a’+b’ \pmod n$ y $ab\equiv a’b’ \pmod n$.

Demostración. De la primer congruencia tenemos $n\mid a-a’$ y de la segunda $n\mid b-b’$. Como $n$ divide a estos dos números, divide a su suma, y reacomodando tenemos que $n\mid (a+b) – (a’+b’)$, que es equivalente a $a+b\equiv a’+b’ \pmod n$, una de las congruencias que queríamos.

Para el producto, de $n\mid a-a’$ podemos obtener $$n\mid (a-a’)b=ab-a’b$$ y de $n\mid b-b’$ podemos obtener $$n\mid a'(b-b’)=a’b-a’b’.$$ Así, $$n\mid (ab-a’b)+(a’b-a’b’)=ab-a’b’.$$ De aqui, $ab\equiv a’b’ \pmod n$, la otra congruencia que queríamos.

$\square$

El anillo de enteros módulo $n$ es precisamente $\mathbb{Z}_n$ equipado con las operaciones de suma y producto que acabamos de definir.

Ejemplos de operaciones en $\mathbb{Z}_n$

Estos son algunos ejemplos básicos de operaciones en $\mathbb{Z}_7$ y en $\mathbb{Z}_{11}$:

  • $[8]_7+[4]_7=[12]_7=[5]_7$
  • $[4]_{11}[8]_{11}=[32]_{11}=[21]_{11}=[10]_{11}$

En una siguiente entrada, preparada por Clau, verán más ejemplos de operaciones en $\mathbb{Z}_n$.

Inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_n$

El cero del anillo de enteros módulo $n$ es $[0]_n$, pues para cualquier entero $a$ se tiene que $[a]_n+[0]_n=[a+0]_n=[a]_n$. Como $[0]_n$ consiste precisamente de los múltiplos de $n$, tenemos entonces que $[a]_n+[kn]_n=[a]_n$.

La multiplicación en este anillo tiene como identidad a $[1]_n$, de lo cual te puedes convencer con una cuenta similar.

La suma de este anillo tiene inversos aditivos pues para cualquier entero $a$ se tiene que la clase de $a$ y la de $-a$ cumplen $$[a]_n+[-a]_n=[a+(-a)]_n=[0]_n.$$

Sin embargo, no es cierto que para cualquier clase $[a]_n$ esta tenga un inverso multiplicativo. A los números que sí tienen un inverso multiplicativo se les conoce como unidades del anillo.

Problema: Muestra que $[4]_{12}$ no tiene inverso multiplicativo en $\mathbb{Z}_{12}$

Intenta resolver este problema antes de ver la solución.

Solución. Procedamos por contradicción. Si $[a]_{12}$ fuera el inverso multiplicativo de $[4]_{12}$, tendríamos que $[1]_{12}=[4a]_{12}$ y por lo tanto que $4a\equiv 1 \pmod {12}$, es decir, que $12\mid 4a-1$. Como $4\mid 12$ y $4\mid 4a$, tendríamos entonces que $4\mid (4a-1)-4a = -1$. Esto es una contradicción.

La siguiente proposición dice exactamente quienes son los elementos en $\mathbb{Z}_n$ que tienen inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_n$.

Teorema. Sea $n$ un entero positivo. La clase $[a]_n$ de $\mathbb{Z}_n$ tiene inverso multiplicativo si y sólo si $a$ y $n$ son primos relativos.

Demostración. Recordemos que por definición $a$ y $n$ son primos relativos si su máximo común divisor $MCD(a,n)$ es igual a $1$. Recordemos también que $MCD(a,n)$ puede escribirse como combinación lineal entera de $a$ y $n$.

Si $a$ y $n$ son primos relativos, entonces existen $p$ y $q$ enteros tales que $1=ap+nq$. Así, $$[ap]_n=[ap+nq]_n=[1]_n,$$ de modo que la clase $[a]_n$ tiene como inverso multiplicativo a la clase $[p]_n$.

Si $a$ y $n$ no son primos relativos y suponemos que $[a]_n$ tiene inverso multiplicativo, entonces llegaremos a una contradicción similar a la del problema anterior. Verifica los detalles.

$\square$

Recuerda que un campo es un anillo conmutativo en el cual todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Terminamos esta sesión con un resultado que nos dice cuándo $\mathbb{Z}_n$ es un campo.

Proposición. Sea $n$ un entero. El conjunto $\mathbb{Z}_n$ con las operaciones de suma y producto que definimos es un campo si y sólo si $n$ es un número primo.

Demostración. Como ya sabemos que es un anillo conmutativo, basta con determinar cuándo sucede que todos los elementos distintos de cero tienen un inverso multiplicativo. Estos elementos son son $[1]_n, \ldots, [n-1]_n$. Por la proposición anterior, estos tienen inversos si y sólo si cada uno de los números $1,2,\ldots,n-1$ es primos relativos con $n$.

Si $n$ es primo, entonces todos esos números son primos relativos con $n$ pues el único factor en común que tienen con $n$ es $1$. Si $n$ no es primo, entonces tiene un divisor $d$ que satisface $1<d<n$, y por lo tanto $n$ y $d$ no son primos relativos, así que $[d]_n$ no tiene inverso multiplicativo.

De esta forma, $\mathbb{Z}_n$ es un campo si y sólo si $n$ es primo.

$\square$

Más adelante…

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Argumenta por qué «el mundo de los minutos» también es un ejemplo de enteros módulo $n$.
  2. Muestra que $n\mathbb{Z}$ es uno de los elementos de $\mathbb{Z}_n$.
  3. Muestra que las operaciones de suma y producto en $\mathbb{Z}_n$ en efecto satisfacen la definición de anillo conmutativo. Sugerencia: aprovecha que $\mathbb{Z}$ es un anillo conmutativo con sus operaciones de suma y producto.
  4. Muestra que $[1]_n$ es identidad para el producto en $\mathbb{Z}_n$.
  5. Completa la prueba del teorema de inversos multiplicativos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»