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Seminario de Resolución de Problemas: Sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

Finalmente, en esta serie de entradas, veremos temas selectos de álgebra lineal y su aplicación a la resolución de problemas. Primero, hablaremos de sistemas de ecuaciones lineales. Luego, hablaremos de evaluación de determinantes. Después, veremos teoría de formas cuadráticas y matrices positivas. Finalmente, estudiaremos dos teoremas muy versátiles: el teorema de factorización PJQ y el teorema de Cayley-Hamilton.

Como lo hemos hecho hasta ahora, frecuentemente no daremos las demostraciones para los resultados principales. Además, asumiremos conocimientos básicos de álgebra lineal. También, asumiremos que todos los espacios vectoriales y matrices con los que trabajaremos son sobre los reales o complejos, pero varios resultados se valen más en general.

Para cubrir los temas de álgebra lineal de manera sistemática, te recomendamos seguir un libro como el Essential Linear Algebra de Titu Andreescu, o el Linear Algebra de Friedberg, Insel y Spence. Mucho del material también lo puedes consultar en las notas de curso que tenemos disponibles en el blog.

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal en n incógnitas en \mathbb{R} consiste en fijar reales a_1,\ldots,a_n, b y determinar los valores de las variables x_1,\ldots,x_n tales que

    \[a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=b.\]

Si a_1,\ldots,a_n no son todos cero, los puntos (x_1,\ldots,x_n) en \mathbb{R}^n que son solución a la ecuación definen un hiperplano en \mathbb{R}^n.

Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n variables consiste en fijar, para i en \{1,\ldots,m\} y j en \{1,\ldots,n\} a reales a_{ij} y b_i, y determinar los valores de las variables x_1,\ldots,x_n que simultáneamente satisfacen todas las m ecuaciones

    \[\begin{cases}a_{11}x_1+ a_{12}x_2+\ldots + a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n = b_2\\\quad \quad \vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n = b_m.\end{cases}\]

Este sistema de ecuaciones se puede reescribir en términos matriciales de manera muy sencilla. Si A es la matriz de m\times n de entradas [a_{ij}], X es el vector de variables (x_1,\ldots,x_n) y b es el vector de reales b_1,\ldots,b_m, entonces el sistema de ecuaciones anterior se reescribe simplemente como

    \[AX=b.\]

Sistemas de ecuaciones lineales con mucha simetría

En algunos sistemas de ecuaciones hay mucha simetría, y no es necesario introducir técnicas avanzadas de álgebra lineal para resolverlos. Veamos el siguiente ejemplo.

Problema. Resuelve el sistema de ecuaciones

    \[\begin{cases}7a+2b+2c+2d+2e= -2020\\2a+7b+2c+2d+2e=-1010\\2a+2b+7c+2d+2e=0\\2a+2b+2c+7d+2e=1010\\2a+2b+2c+2d+7e=2020.\end{cases}\]

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás, suponiendo que el sistema tiene una solución. A partir de ahí, puedes usar las cinco ecuaciones y combinarlas con sumas o restas para obtener información.

Solución. Al sumar las cinco ecuaciones, obtenemos que

    \[15(a+b+c+d+e)=0,\]

de donde 2(a+b+c+d+e)=0. Restando esta igualdad a cada una de las ecuaciones del sistema original, obtenemos que

    \[\begin{cases}5a= -2020\\5b=-1010\\5c=0\\5d=1010\\5e=2020.\end{cases}\]

De aquí, si el sistema tiene alguna solución, debe suceder que

    \begin{align*}a&=\frac{-2020}{5}=-404\\b&=\frac{-2020}{5}=-202\\c&=\frac{-2020}{5}= 0\\d&=\frac{-2020}{5}=202\\e&=\frac{-2020}{5}=404.\end{align*}

Como estamos trabajando hacia atrás, esta es sólo una condición necesaria para la solución. Sin embargo, una verificación sencilla muestra que también es una condición suficiente.

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Sistemas de ecuaciones de n x n y regla de Cramer

Si tenemos un sistema de n variables y n incógnitas, entonces es de la forma

    \[AX=b\]

con una matriz A cuadrada de n\times n. Dos resultados importantes para sistemas de este tipo son el teorema de existencia y unicidad, y las fórmulas de Cramer.

Teorema (existencia y unicidad de soluciones). Si A es una matriz cuadrada invertible de n\times n y b es un vector de n entradas, entonces el sistema lineal de ecuaciones

    \[AX=b\]

tiene una solución única y está dada por X=A^{-1}b.

El teorema anterior requiere saber determinar si una matriz es invertible o no. Hay varias formas de hacer esto:

  • Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante no es cero. Más adelante hablaremos de varias técnicas para evaluar determinantes.
  • Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si al aplicar reducción gaussiana, se llega a la identidad.
  • También ,para mostrar que una matriz es invertible, se puede mostrar que cumple alguna de las equivalencias de invertibilidad.

Problema. Demuestra que el sistema lineal de ecuaciones

    \[\begin{cases}147a+85b+210c+483d+133e= 7\\91a+245b+226c+273d+154e=77\\-119a+903b+217c+220d+168e=777\\189a+154b-210c-203d-108e=7777\\229a+224b+266c-133d+98e=77777.\end{cases}\]

tiene una solución única.

Sugerencia pre-solución. Reduce el problema a mostrar que cierta matriz es invertible. Para ello, usa alguno de los métodos mencionados. Luego, para simplificar mucho el problema, necesitarás un argumento de aritmética modular. Para elegir en qué módulo trabajar, busca un patrón en las entradas de la matriz.

Solución. Primero, notemos que el problema es equivalente a demostrar que la matriz

    \[A=\begin{pmatrix}147 & 85 & 210 & 483 & 133\\91 & 245 & 226 & 273 & 154\\-119 & 903 & 217 & 220 & 168\\189 & 154 & -210 & -203 & -108 \\229 & 224 & 266 & -133 & 98\end{pmatrix}\]

es invertible. Mostraremos que su determinante no es 0. Pero no calcularemos todo el determinante, pues esto es complicado.

Notemos que como A es una matriz de entradas enteras, entonces su determinante (que es suma de productos de entradas), también es entero. Además, como trabajar en aritmética modular respeta sumas y productos, para encontrar el residuo de \det(A) al dividirse entre 7 se puede primero reducir las entradas de A módulo 7, y luego hacer la cuenta de determinante.

Al reducir las entradas módulo 7, tenemos la matriz

    \[B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0&0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0&0 & 0 & 0 & 4 \\5& 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.\]

El determinante de la matriz B es -(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)=-120. Así,

    \begin{align*}\det(A) & \equiv \det(B)\\&=-120\\&\equiv 6 \pmod 7.\end{align*}

Concluimos que \det(A) es un entero que no es divisible entre 7, por lo cual no puede ser cero. Así, A es invertible.

\square

Por supuesto, en cualquier otro módulo podemos hacer la equivalencia y simplificar las cuentas. Pero 7 es particularmente útil para el problema anterior pues se simplifican casi todas las entradas, y además funciona para dar un residuo no cero.

Ahora veremos otra herramienta importante para resolver problemas de ecuaciones lineales: las fórmulas de Cramer.

Teorema (fórmulas de Cramer). Sea A una matriz invertible de n\times n con entradas reales y b=(b_1,\ldots,b_n) un vector de reales. Entonces el sistema lineal de ecuaciones AX=b tiene una única solución X=(x_1,\ldots,x_n) dada por

    \[x_i=\frac{\det A_i}{\det A},\]

en donde A_i es la matriz obtenida al reemplazar la i-ésima columna de A por el vector columna b.

En realidad este método no es tan útil en términos prácticos, pues requiere que se evalúen muchos determinantes, y esto no suele ser sencillo. Sin embargo, las fórmulas de Cramer tienen varias consecuencias teóricas importantes.

Problema. Muestra que una matriz invertible A de n\times n con entradas enteras cumple que su inversa también tiene entradas enteras si y sólo si el determinante de la matriz es 1 ó -1.

Sugerencia pre-solución. Para uno de los lados necesitarás las fórmulas de Cramer, y para el otro necesitarás que el determinante es multiplicativo.

Solución. El determinante de una matriz con entradas enteras es un número entero. Si la inversa de A tiene entradas enteras, entonces su determinante es un entero. Usando que el determinante es multiplicativo, tendríamos que

    \[\det(A)\cdot \det(A^{-1}) = \det (I) = 1.\]

La única forma en la que dos enteros tengan producto 1 es si ambos son 1 o si ambos son -1. Esto muestra una de las implicaciones.

Ahora, supongamos que A tiene determinante \pm 1. Si tenemos una matriz B de columnas C_1,\ldots,C_n, entonces para j en \{1,\ldots,n\} la j-ésima columna de AB es AC_j. De este modo, si D_1,\ldots, D_n son las columnas de A^{-1}, se debe cumplir para cada j en \{1,\ldots,n\} que

    \[AD_j= e_j,\]

en donde e_j es el j-ésimo elemento de la base canónica. Para cada j fija, esto es un sistema de ecuaciones.

Por las fórmulas de Cramer, la i-ésima entrada de C_j, que es la entrada x_{ij} de la matriz A^{-1}, está dada por

    \[x_{ij}=\frac{\det(A_{ij})}{\det(A)}=\pm \det(A_{ij}),\]

donde A_{ij} es la matriz obtenida de colocar al vector e_j en la i-ésima columna de A.

La matriz A_{ij} tiene entradas enteras, así que x_{ij}=\pm \det(A_{ij}) es un número entero. Así, A^{-1} es una matriz de entradas enteras.

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Sistemas de ecuaciones de m x n y teorema de Rouché-Capelli

Hasta aquí, sólo hemos hablando de sistemas de ecuaciones que tienen matrices cuadradas asociadas. También, sólo hemos hablado de los casos en los que no hay solución, o bien en los que cuando la hay es única. Los sistemas de ecuaciones lineales en general tienen comportamientos más interesantes. El siguiente resultado caracteriza de manera elegante todo lo que puede pasar.

Teorema (Rouché-Capelli). Sea A una matriz de m\times n con entradas reales, (b_1,\ldots,b_m) un vector de reales y (x_1,\ldots,x_n) un vector de incógnitas. Supongamos que A tiene rango r. Entonces:

  • El sistema AX=b tiene al menos una solución X_0 si y sólo si el rango de la matriz de m\times (n+1) obtenida de colocar el vector b como columna al final de la matriz A también tiene rango r.
  • El conjunto solución del sistema AX=(0,0,\ldots,0) es un subespacio vectorial \mathcal{S} de \mathbb{R}^n de dimensión n-r.
  • Toda solución al sistema AX=b se obtiene de sumar X_0 y un elemento de \mathcal{S}.

Problema. Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales y de grado a lo más 3 tales que p(2)=3 y p(3)=2.

Sugerencia pre-solución. Usa notación efectiva, eligiendo variables para cada uno de los coeficientes de p(x). Luego, enuncia cada hipótesis como una ecuación.

Solución. Tomemos p(x)=ax^3+bx^2+cx+d. La hipótesis implica que

    \[\begin{cases}8a+4b+2c+d=p(2)= 3\\27a+9b+3c+d=p(3)=2.\end{cases}\]

El rango de la matriz

    \[\begin{pmatrix} 8 & 4 & 2 & 1\\ 27 & 9 & 3 & 1\end{pmatrix}\]

es a lo más 2, pues tiene 2 renglones. Pero es al menos 2, pues los dos vectores columna (2,3) y (1,1) son linealmente independientes. Exactamente el mismo argumento muestra que la matriz aumentada

    \[\begin{pmatrix} 8 & 4 & 2 & 1 & 3\\ 27 & 9 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}\]

es de rango 2. Por el primer punto del teorema de Rouché-Capelli, este sistema tiene solución.

Para encontrar esta solución de manera práctica, fijamos reales a y b y notamos que ahora

    \[\begin{cases}2c+d= 3-8a-4b\\3c+d=2-27a-9b\end{cases}\]

es un sistema en 2 variables, y como

    \[\det\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 1\end{pmatrix}=-1,\]

tiene una única solución para c y d. Al hacer las cuentas, o usar fórmulas de Cramer, obtenemos que

    \begin{align*}c&=-1-19a-5b\\d&=5+30a+6b.\end{align*}

Así, concluimos que los polinomios p(x) solución consisten de elegir cualesquiera reales a y b y tomar

    \[p(x)=ax^3+bx^2-(1+19a+5b)x+(5+20a+6b).\]

\square

Por supuesto, para usar este teorema es necesario conocer el rango de la matriz A. En el problema tuvimos la suerte de que eso es sencillo. Hablaremos más adelante de varias técnicas para encontrar el rango de matrices.

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de sistemas de ecuaciones lineales en el Capítulo 3 y en la Sección 7.6 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Álgebra Lineal I: Problemas de determinantes y ecuaciones lineales

Introducción

En esta entrada, realizaremos problemas que nos ayudarán a repasar el tema visto el pasado lunes, sobre soluciones de sistemas lineales, Teorema de Rouché-Capelli y la regla de Cramer.

Problemas de ecuaciones lineales

Una de las maneras más usuales para demostrar que un conjunto de vectores es linealmente independientes es probar que tomamos una combinación lineal de éstos tal que es igual a 0, sólo es posible si todos los coeficientes son igual a cero. Pero como ya lo hemos visto anteriormente en diversos problemas, algunas veces ésto nos genera un sistema de ecuaciones que puede ser difícil y/o tardado resolver.

Por ello, otra manera de demostrar independencia lineal es ilustrada con el siguiente problema.

Problema. Considera los vectores

v_1=(1,x,0,1), \quad v_2=(0,1,2,1), \quad v_3=(1,1,1,1)

en \mathbb{R}^4. Prueba que para cualquier elección de x\in\mathbb{R}, los vectores v_1,v_2,v_3 son linealmente independientes.

Solución. Sea A la matriz cuyas columnas son v_1,v_2,v_3, es decir,

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Sabemos que v_1,v_2,v_3 son linealmente independiente si y sólo si \text{dim(span}(v_1,v_2,v_3))=3, ya que \text{rank}(A)=3, y eso es equivalente (por la clase del lunes) a demostrar que A tiene una submatriz de 3\times 3 invertible.

Notemos que si borramos el segundo renglón, obtenemos la submatriz cuyo determinante es

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-1,

lo que implica que es invertible, y por lo tanto v_1,v_2, v_3 son vectores linealmente independientes.

\square

En este curso, los ejemplos usualmente utilizan espacios vectoriales sobre \mathbb{R} o sobre \mathbb{C}. Como \mathbb{R}\subset \mathbb{C}, es natural preguntarnos si los resultados obtenidos en los problemas trabajados en \mathbb{R} se cumplen en \mathbb{C}. En este caso particular, si las soluciones de una matriz en M_{m,n}(\mathbb{R}) son soluciones de la misma matriz pero vista como elemento en M_{m,n}(\mathbb{C}). El siguiente teorema nos da el resultado a esta pregunta.

Teorema. Sea A\in M_{m,n}(F) y sea F_1 un campo contenido en F. Consideremos el sistema lineal AX=0. Si el sistema tiene una solución no trivial en F_1^n, entonces tiene una solución no trivial en F^n.

Demostración. Dado que el sistema tiene una solución no trivial en F_1^n, r:=\text{rank}(A) < n vista como elemento en M_{m,n}(F_1). Por el primer teorema visto en la clase del lunes, el rango es el tamaño de la submatriz cuadrada más grande que sea invertible, y eso es independiente si se ve a A como elemento de M_{m,n}(F_1) o de M_{m,n}(F). Y por el teorema de Rouché-Capelli, el conjunto de soluciones al sistema es un subespacio de F^n de dimensión n-r>0. Por lo tanto, el sistema AX=0 tiene una solución no trivial en F^n.

\square

A continuación, se mostrarán dos ejemplos de la búsqueda de soluciones a sistemas lineales donde usaremos todas las técnicas aprendidas a lo largo de esta semana.

Problema. Sea S_a el siguiente sistema lineal:

\begin{matrix} x-2y+z=1 \\ 3x+2y-2z=2 \\ 2x-y+az=3 \end{matrix}.

Encuentra los valores de a para los cuales el sistema no tiene solución, tiene exactamente una solución y tiene un número infinito de soluciones.

Solución. El sistema lo podemos escribir como AX=b donde

A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & a \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad b=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Notemos que

\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & a \end{vmatrix}=8a-1,

entonces si a\neq 1/8, A es invertible, y por lo tanto \text{rank}(A)=3, mientras que si a=1/8, A no es invertible y \text{rank}(A)=2 ya que la submatriz es invertible

\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=8.

Además, si la matriz (A,b) es igual a

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & a & 3 \end{pmatrix},

quitando la tercera columna, obtenemos una submatriz invertible (ejercicio). Por lo tanto, \text{rank}(A,b)=3.

Aplicando el Teorema de Rouché-Capelli, para a=1/8, el sistema AX=b no tiene soluciones. También podemos concluir que como \text{rank}(A)=3 para todo a\neq 1/8, el sistema tiene exactamente una solución. (Y AX=b nunca tiene infinitas soluciones).

\square

Problema. Sean a,b,c números reales dados. Resuelve el sistema lineal

\begin{matrix} (b+c)x+by+cz=1 \\ ax+ (a+c)y+cz=1 \\ ax+by+(a+b)z=1 \end{matrix}.

Solución. La matriz del sistema es

A=\begin{pmatrix} b+c & b & c \\ a & a+c & c \\ a & b & a+b \end{pmatrix}.

No es difícil ver que \text{det}(A)=4abc. Si abc\neq 0, usando la regla de Cramer, la única solución al sistema está dada por

x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & a+c & c \\ 1 & b & a+b \end{vmatrix}}{4abc}, \quad y=\frac{\begin{vmatrix} b+c & 1 & c \\ a & 1 & c \\ a & 1 & a+b \end{vmatrix}}{4abc}

y=\frac{\begin{vmatrix} b+c & b & 1 \\ a & a+c & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix}}{4abc},

resolviendo los determinantes obtenemos que

x=\frac{a^2 -(b-c)^2}{4abc}, \quad y=\frac{b^2 -(a-c)^2}{4abc}, \quad z=\frac{c^2-(a-b)^2}{4abc}.

Ahora, si abc=0, entonces A no es invertible (\text{rank}(A)<3). El sistema es consistente si y sólo si \text{rank}(A)=\text{rank}(A,b).

Sin pérdida de generalidad, decimos que a=0 (pues abc=0). Esto reduce el sistema a

\begin{matrix} (b+c)x+by+cz=1 \\ c(y+z)=1 \\ b(y+z)=1 \end{matrix}.

El sistema es consistente si b=c y distintos de cero. En este caso, tenemos que b(2x+y+z)=1 y b(y+z)=1, implicando x=0, y+z=1/b. De manera similar, obtenemos las posibles soluciones si b=0 o si c=0.

Resumiendo:

  • Si abc\neq 0, el sistema tiene una solución única dada por la regla de Cramer.
  • Si tenemos alguno de los siguientes tres casos: caso 1) a=0 y b=c \neq 0; caso 2) b=0 y a=c\neq 0; caso 3) c=0 y a=b\neq 0, tenemos infinitas soluciones descritas como, para todo w\in \mathbb{R}: caso 1) (0,w,1/b-w); caso 2) (w,0,1/a-w); caso 3) (w,1/a-w,0).
  • Si no se cumplen ninguno de las cuatro condiciones anteriores para a,b,c, el sistema no es consistente.

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Álgebra Superior II: Problemas de ecuaciones lineales y cambios de coordenadas en los complejos

Introducción

En las entradas anteriores platicamos de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales complejos, y de como pasar de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Ahora veremos un método más para resolver problemas de ecuaciones lineales en los complejos en tres variables. Además, haremos problemas de práctica de estos temas.

La regla de Kramer para tres variables

Cuando platicamos de resolver problemas de ecuaciones lineales complejas en dos variables, vimos que si el determinante no era 0, entonces podíamos dar la solución de manera explícita. A esto se le conoce como la regla de Kramer. Veremos ahora cuál es la versión de esta regla para tres variables. A continuación enunciamos el método, y más abajo, en el video, se explica un poco más a detalle.

Proposición. Consideremos el siguiente sistema lineal de ecuaciones complejas en variables x, y y z.

    \begin{align*}ax+by+cz&=j\\dx+ey+fz&=k\\gx+hy+iz&=l.\end{align*}

Supongamos que el determinante \Delta=\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} no es 0. Entonces, el sistema tiene una única solución, dada por

    \begin{align*}x&=\frac{\begin{vmatrix} j & b & c\\ k & e & f\\ l & h & i \end{vmatrix}}{\Delta},\\y&=\frac{\begin{vmatrix} a & j & c\\ d & k & f\\ g & l & i \end{vmatrix}}{\Delta},\\z&=\frac{\begin{vmatrix} a & b & j\\ d & e & k\\ g & h & l \end{vmatrix}}{\Delta}.\end{align*}

No veremos la demostración de esta técnica, pues es uno de los temas que estudiarás en álgebra lineal con más generalidad. Sin embargo, veremos algunos ejemplos de cómo se aplica.

Problemas de ecuaciones lineales

Para comenzar, resolveremos un sistema de ecuaciones de dos variables.

Problema. Resuelve en \mathbb{C} el siguiente sistema de ecuaciones:

    \begin{align*}iz+2w&=3+4i\\2z-iw&=6-3i.\end{align*}

Pasemos ahora a un ejemplo con tres variables. El el ejemplo 328 del libro Álgebra Superior de Bravo, Rincón, Rincón.

Problema. Resuelve en \mathbb{C} el siguiente sistema de ecuaciones.

    \begin{align*}z_1+z_2+z_3&=6+4i\\iz_1+(1+i)z_2+(1-i)z_3&=7+4i\\z_i+iz_2-z_3&=2i.\end{align*}

El problema está resuelto en los siguientes dos videos.

Problemas de cambio de coordenadas

Finalmente, veremos algunos problemas de cambio entre coordenadas polares y coordenadas rectangulares. Recordemos que la figura clave para cambiar entre coordenadas es la siguiente:

Cambios entre coordenadas polares y rectangulares
Cambio entre coordenadas polares y rectangulares

Problema. Calcula las coordenadas rectangulares del complejo cuyas coordenadas polares son r=\sqrt{2} y s=45^\circ, y del complejo cuyas coordenadas polares son r=3 y s=90^\circ.

Problema. Expresa 7+7i y 4+2i en coordenadas polares.

Álgebra Superior II: Sistemas de ecuaciones lineales complejos

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a hablar acerca de resolver en los complejos ecuaciones de distintos tipos. Además, profundizamos en cómo resolver las ecuaciones cuadráticas complejas. En esta entrada platicaremos acerca de los sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Resolveremos con detalle el caso de dos variables y dos ecuaciones. Después, hablaremos un poco acerca de sistemas de ecuaciones con más variables. Un estudio cuidadoso de los sistemas de ecuaciones lineales con más variables se hace en los cursos de álgebra lineal. Un muy buen texto para aprender estos temas es el libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas

Si a,b son elementos de \mathbb{C} y a\neq 0, la ecuación lineal

    \[ax=b\]

tiene una única solución, dada por x=\frac{b}{a}, la cual está bien definida pues todo complejo distinto de 0 tiene inverso multiplicativo.

Si tenemos números complejos a,b,c,d,e,f, el sistema de ecuaciones lineales en los complejos

    \begin{align*}ax+by &= c\\dx+ey&=f\end{align*}

puede comportarse de tres formas distintas:

  • Su solución existe y es única
  • Tiene una infinidad de soluciones
  • No tiene solución

Si tiene al menos soluciones distintas, tenemos entonces que tiene una infinidad. Cuando la solución del sistema es única, el sistema se puede resolver por los métodos básicos con los que se resuelve un sistema en \mathbb{R}:

  • Por substitución: de la primera ecuación se despeja la variable x y su valor se pone en la segunda ecuación. De ahí, obtenemos una ecuación en y. Se despeja y para obtener su valor y con ello se obtiene el valor de x
  • Igualando coeficientes: multiplicamos la primer ecuación por d y la segunda por -a. Al sumar ambas ecuaciones resultantes, queda una ecuación lineal en y.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema

    \begin{align*}2x+iy&= 3+4i\\ix+5y&= 9 - 4i.\end{align*}

Solución. Para empezar, multiplicamos la segunda ecuación por 2i, de donde obtenemos el sistema

    \begin{align*}2x+iy&= 3+4i\\-2x+10iy&=8+18i.\end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos que 11iy=11+22i. Multiplicando por -\frac{i}{11} de ambos lados, obtenemos

    \[y=2-i.\]

Substituyendo en la segunda ecuación, notamos que

    \[2x=3+4i-i(2-i)=2+2i,\]

de donde x=1+i. De aquí, la única solución puede ser x=1+i y y=2-i, que se puede verificar que en efecto satisfacen la ecuación.

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Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema

    \begin{align*}(3+2i)x+iy&= 3+3i\\(-4+6i)x-2y&= -6 + 6i.\end{align*}

Solución. Multiplicando la primer ecuación por 2i obtenemos que es equivalente a la ecuación

    \[(-4i+6i)x-2y=-6+6i,\]

es decir, ambas ecuaciones difieren sólo por un factor 2i, así que son la misma. Si elegimos cualquier valor de y, podemos encontrar un valor de x que cumpla con la ecuación. Por ejemplo, tomando y=1, de la ecuación obtenemos que x=1. Así, esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, dadas por elegir un y y definir x=\frac{3+3i-iy}{3+2i}.

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Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema

    \begin{align*}(1+2i)x+(-2+i)y&= 3+6i\\3x+3iy&= 8.\end{align*}

Solución. Supongamos que existe alguna solución para x y y. Multipliquemos la primer ecuación por 3 y la segunda por 1+2i. Obtendríamos que

    \begin{align*}(3+6i)x+(-6+3i)y&= 9+18i\\(3+6i)x+(-6+3i)&= 8+16i.\end{align*}

De aquí, 9+18i=8+16i, lo cual es una contradicción. Así, esta ecuación no tiene soluciones.

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Método del determinante

Un método más general para resolver sistemas de ecuaciones lineales complajos con dos incógnitas, que nos dice todo lo que puede suceder, es el siguiente. De hecho, exactamente el mismo teorema funciona para \mathbb{R}.

Teorema. Sean a,b,c,d,e,f en \mathbb{C}. Para el sistema

    \begin{align*}ax+by &= c\\dx+ey&=f\end{align*}

definimos a su determinante como el complejo ae-bd. Entonces:

  • Si el determinante no es 0, entonces el sistema tiene una solución única para x y y dada por

        \begin{align*}x&=\frac{ce-bf}{ae-bd}\\y&=\frac{af-cd}{ae-bd}.\end{align*}

  • Si el determinante es 0, entonces el sistema no tiene solución, o tiene una infinidad.

Demostración. Cuando el determinante no es 0, resolvemos el sistema por igualación de coeficientes. Multiplicando la primer ecuación por -d, la segunda por a y sumando, obtenemos que

    \[(ae-bd)y=af-cd.\]

Como el determinante no es cero,

    \[y=\frac{af-cd}{ae-bd}.\]

Así mismo, multiplicando la primer ecuación por e, la segunda por -b y sumando, obtenemos de manera análoga que

    \[x=\frac{ce-bf}{ae-bd}.\]

Así, si existe una solución, debe tener estos valores. Se puede verificar de manera sencilla que estos valores cumplen, y se queda como tarea moral.

Cuando el determinante es 0, tenemos que ae=bd. Si a=b=e=d=0, para que exista una solución se necesita forzosamente c=f=0, y de hecho en este caso cualquier pareja x,y funciona. Si en este caso alguno de c o f no es 0, el sistema no tiene solución.

Así, continuando el análisis podemos suponer sin pérdida de generalidad que a\neq 0. De este modo, e=\frac{bd}{a}, de modo que la segunda ecuación es equivalente a

    \[dx+\frac{bd}{a}y=f,\]

que es adx+bdy=af.

Si d=0, tendríamos de la ecuación anterior af=0 y del determinante ae=bd=0. Como a\neq 0, se necesita que e=f=0, de modo que en realidad sólo tenemos una ecuación, la primera. Como a\neq 0, podemos elegir cualquier valor de y y de ahí despejar el valor de x, obteniendo una infinidad de soluciones.

Si d\neq 0, entonces la ecuación adx+bdy=af es equivalente a la ecuación ax+by=\frac{af}{d}. La primer ecuación y esta implican que si hay solución, entonces \frac{af}{d}=c. De ser así ,sólo tenemos una ecuación, pero repetida. Por el mismo argumento de arriba, hay una infinidad de soluciones.

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Sistemas de ecuaciones lineales complejos con más incógnitas

Los sistemas lineales complejos con más incógnitas se pueden resolver con las mismas técnicas que aquellos en los reales. En cursos como álgebra lineal verás cómo resolver en sistema lineal en general y cómo saber cómo se ven todas sus soluciones. Sin embargo, puedes aprovechar lo que ya sabes del álgebra de los complejos para resolver distintos sistemas lineales.

Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}3a+(2+i)b+(1+2i)c&=1+i\\3b+(2+i)c&=2+2i\\3c&=3+3i.\end{align*}

Solución. Resolvemos el sistema por substitución. Nos conviene empezar con la tercer ecuación, que tiene únicamente una variable. De ella obtenemos que c=1+i. Substituyendo en la segunda ecuación, obtenemos que

    \[3b+(2+i)(1+i)=2+2i,\]

de donde

    \[3b+1+3i=2+2i,\]

así que

    \[3b=1-i,\]

así que

    \[b=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\]

Con los valores de b y c podemos substituir en la primer ecuación. Notando que

    \begin{align*}(2+i)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)=1-\frac{1}{3}i\\(1+2i)(1+i)=-1+3i\\(1+i)-\left(1-\frac{1}{3}i\right)-(-1+3i)=1-\frac{5}{3}i,\end{align*}

obtenemos que

    \[a=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i.\]

En resumen,

    \begin{align*}a&=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i\\b&=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\\c&=1+i\end{align*}

es la única posible solución, y se puede mostrar que en efecto satisface las tres ecuaciones.

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Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}(1+5i)a+b+c+d+e&=2\\a+(1+5i)b+c+d+e&=2\\a+b+(1+5i)c+d+e&=2\\a+b+c+(1+5i)d+e&=2\\a+b+c+d+(1+5i)e&=2.\end{align*}

Solución. Sumando todas las ecuaciones, tenemos que

    \[(5+5i)(a+b+c+d+e)=10,\]

de donde obtenemos que

    \begin{align*}a+b+c+d+e&=\frac{2}{1+i}\\&=1-i.\end{align*}

De la primera ecuación, obtenemos que

    \begin{align*}2&=(a+b+c+d+e)+5ia\\&=1-i+5ia,\end{align*}

por lo que

    \[a=\frac{1+i}{5i}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}i.\]

Por simetría, el resto de las variables también tiene este valor, de modo que

    \[a=b=c=d=e= \frac{1}{5}-\frac{1}{5}i\]

es la única solución.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que las soluciones de los ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos de dos variables en efecto son soluciones.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

        \begin{align*}2x+(1+i)y &= 4\\ (5-i)x+(3+2i)y=0\end{align*}

  • En el teorema del método del determinante, cuando el determinante no es cero, encontramos una solución. Verifica que en efecto satisface el sistema original.
  • Verifica que las soluciones de los ejemplos en varias variables en efecto satisfacen el sistema original.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

        \begin{align*} x+(1+i)y &= 4\\ y+(2+i)z &= 5\\ z + (3+i)x &= 6\end{align*}

Álgebra Superior II: Ejercicios de conjugados complejos

Aquí van los videos de hoy, en donde vemos ejemplos resueltos de conjugación compleja. Expliqué con un poco más de detalle el ejemplo 132 del libro de Bravo, Rincón y Rincón. Resolví el ejercicio 325 completo, así como otros 3 ejercicios de conjugados complejos del libro Álgebra Superior II de Antonio Lascurain. Más adelante les pondré en foto para los que no tengan facilidad para ver los videos de YouTube.

Ejemplos y ejercicios de conjugados complejos del Bravo, Rincón, Rincón

Primero, resolvemos el ejemplo 132 del libro:

Problema. Calcular z si iz+(2-i)\overline{z}=10+6i.

Ejemplo 132 detallado

Inciso 1 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve (1+i)z+(1-i)\overline{z}=4.

Inciso 1 del ejercicio 325

Inciso 2 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve z\overline{z}+3(z+\overline{z})=7

Inciso 2 del ejercicio 325

Inciso 3 del ejercicio 325. Nota importante de este ejercicio: Alrededor del 7:09 me equivoqué en un signo, el término 6d de la parte imaginaria debería ser negativo. Eso puede que cambie el resultado final, pero esa es la idea de la resolución del problema.

Problema. Resuelve el sistema

    \begin{align*}iz+(1+i)&=3+i\\ (1+i)\overline{z}-(6+i)\overline{w}&=4\end{align*}

Ejercicios del libro de Lascurain

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro de Álgebra Superior II de Antonio Lascurain.

Problema. Realiza la siguiente operación de números complejos:

    \[\overline{\left(\frac{2-4i}{5-5i}\right)}\]

.

Una división con conjugados complejos

Problema. Encuentra las parejas u,v de números complejos para las cuales sucede que u \overline{\overline{v}u}=v.

Problema 1 de conjugación compleja

Problema. Encuentra las parejas u,v de números complejos para las cuales sucede que v+iu=-\overline{v}+i\overline{u}.

Problema 2 de conjugación compleja