Archivo de la etiqueta: raíces n-ésimas

Álgebra Superior II: Raíces de polinomios de grados 3 y 4

Introducción

Esta es la entrada final de la unidad de polinomios y del curso. En ella hablaremos acerca de las fórmulas para encontrar las raíces de polinomios de grado 3 y 4. Además, en la parte final, hablaremos de polinomios de grados más altos y cómo ellos te pueden llevar a cursos muy interesantes que puedes tomar para continuar tu formación matemática.

Existen métodos generales para encontrar las raíces de polinomios de grado 3 y 4, ya sea en \mathbb{R}[x] o en \mathbb{C}[x]. Para los polinomios de grado 3, se usa el método de Cardano. Para los polinomios de grado 4 se usa el método de Ferrari. Encontrar estas fórmulas tomó mucho tiempo. Ambas requieren de manipulaciones algebraicas muy creativas.

Raíces de polinomios de grado 3 y el método de Cardano

Tomemos un polinomio f(x) en \mathbb{R}[x] de grado 3. Si f(x) no es mónico, podemos multiplicarlo por el inverso de su coeficiente principal para obtener un polinomio con las mismas raíces. De esta forma, podemos suponer sin pérdida de generalidad que f(x) es de la forma

    \[f(x)=x^3+ax^2+bx+c.\]

Consideremos al polinomio

    \[g(x)=f\left(x-\frac{a}{3}\right).\]

Observa que r es una raíz de g(x) si y sólo si g(r)=0, si y sólo si f\left(r-\frac{a}{3}\right)=0, si y sólo si r-\frac{a}{3} es una raíz de f. De esta forma, si conocemos las raíces de g(x), podemos encontrar las de f(x), y viceversa.

Al hacer las cuentas (que quedan como tarea moral), se tiene que g(x) se simplifica a

    \begin{align*}g(x)&=f\left(x-\frac{a}{3}\right)\\&=x^3+\left(b-\frac{a^2}{3}\right)x+\left(-\frac{ba}{3}+c+\frac{2a^3}{27}\right),\end{align*}

que tiene la ventaja de ya no tener término cuadrático. En otras palabras, para encontrar las raíces de polinomio cúbico, basta con poder encontrar las de los polinomios de la forma

    \[g(x)=x^3+px+q.\]

Tomando x=u+v y haciendo las operaciones, se tiene que

    \[g(u+v)=u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q.\]

Observa que si logramos encontrar u y v que satisfagan el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}u^3+v^3&=-q\\uv&=-\frac{p}{3},\end{align*}

entonces tendríamos una raíz x=u+v.

La segunda ecuación implica u^3v^3=-\frac{p^3}{27}. Pero entonces conocemos la suma y el producto de las variables u^3 y v^3, con lo cual obtenemos que son las raíces del siguiente polinomio de grado 2 en la variable t:

    \begin{align*}(t-u^3)(t-v^3)&=t^2-(u^3+v^3)t+u^3v^3\\&=t^2+qt-\frac{p^3}{27}.\end{align*}

El discriminante de esta ecuación cuadrática es

    \[\Delta = q^2 + \frac{4p^3}{27}.\]

Si \Delta >0, esta ecuación cuadrática tiene las siguientes soluciones reales:

    \begin{align*}\sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}\\\sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.\end{align*}

Sin pérdida de generalidad, u es la primera y v la segunda. De esta forma, una raíz real para g(x) es

    \[x= \sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.\]

Hasta aquí hay algunas cosas por notar:

  • Supusimos que el discriminante \Delta es positivo.
  • Sólo hemos encontrado una de las 3 raíces de p(x) que garantiza el teorema fundamental del álgebra.

Cuando el discriminante es positivo, las otras dos soluciones son \omega x y \omega^2 x, en donde \omega es una raíz cúbica primitiva de la unidad.

Cuando la cuadrática tiene discriminante \Delta<0, tenemos que u y v son complejos, y entonces al sacar raíz cúbica podemos tener tres opciones para cada uno, algo que parecería dar un total de 9 soluciones. Sin embargo, recordando que uv=-\frac{p}{3}, tenemos que u queda totalmente determinado por v, así que de ahí se obtienen las tres soluciones.

Raíces de polinomios de grado 4 y el método de Ferrari

El método de Ferrari está explicado a detalle en el libro de Álgebra de Bravo, Rincón y Rincón. Ahí están las ideas principales para encontrar una fórmula general para encontrar las raíces de un polinomio de grado 4, es decir, de la forma

    \[p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\]

Recuerda que el libro está disponible para descarga gratuita.

Al igual que en el caso del método de Ferrari, los primeros pasos consisten en hacer simplificaciones algebraicas. Así como el método de Cardano usa la fórmula cuadrática, del mismo modo el método de Ferrari reduce el problema a encontrar soluciones a un polinomio de grado 3. Uno podría creer que este patrón se repite, y que se pueden encontrar métodos para polinomios de grado arbitrario. Esto no es así, y lo platicaremos en la siguiente sección.

Para otra derivación de la fórmula de Ferrari, compartimos el artículo «Identidades para la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas» de José Leonardo Sáenz Cetina, que apareció en el número 24 de la revista Miscelánea Matemática de la Sociedad Matemática Mexicana:

Este documento también tiene otras dos formas de resolver ecuaciones cúbicas, así que es una lectura recomendada.

Finalmente, se recomienda también echarle un ojo a la página de Wikipedia acerca de la ecuación cuártica. La entrada en inglés es mucho mejor. Sobre todo la sección referente al método de Ferrari.

Raíces de polinomios de grado 5 y más

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, todo polinomio sobre los complejos tiene al menos una raíz. De hecho, se puede mostrar que si es de grado n, entonces tiene exactamente n raíces, contando multiplicidades.

Cuando tenemos polinomios de grados 2, 3 y 4 podemos usar la fórmula cuadrática, el método de Cardano y el método de Ferrari para encontrar una fórmula para las soluciones. ¿Hay algún método que tenga fórmulas similares para polinomios de grado más grande?

La respuesta es que no. Aunque el teorema fundamental del álgebra garantice la existencia de las raíces, hay un teorema de Abel y Ruffini que muestra que no es posible encontrar una fórmula general. Al menos no una que ayude a poner las raíces de cualquier polinomio de grado cinco (o más) usando únicamente sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Esto formalmente se enuncia como que hay ecuaciones de grado 5 y más que no son solubles por radicales.

Enunciar y demostrar este teorema formalmente requiere de herramientas que quedan fuera del alcance de este curso, sin embargo, se puede estudiar en un curso avanzado de álgebra, en donde se hable de extensiones de campo y teoría de Galois.

Por otro lado, podemos dejar de lado la exactitud y preguntarnos si, dado un polinomio, podemos acercarnos a sus raíces tanto como queramos. Hoy en día eso se hace mediante métodos computacionales. Aunque la computadora sea muy buena haciendo cuentas, hay que ser particularmente cuidadoso con los errores que comete al hacer aproximaciones.

Eso es otra de las cosas que quedan fuera del alcance de este curso, y que puedes estudiar en un buen curso de métodos numéricos. Si lo que buscar es saber cómo pedirle a la computados que haga los cálculos, eso lo puedes aprender en un buen curso de programación, en donde te enseñen a usar ambientes de computación científica.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Completa las cuentas faltantes en la discusión del método de Cardano.
  • Muestra que un polinomio de grado 3 y coeficientes reales tiene exactamente cero o dos raíces complejas distintas.
  • ¿Cuántas raíces complejas distintas puede tener un polinomio de grado 4 con coeficientes reales? Encuentra un ejemplo para cada una de las respuestas.
  • Encuentra las raíces del polinomio cuártico

        \[p(x)=x^4+2x^3-12x^2-10x+4.\]

    Después, compara tu respuesta con el Ejemplo 216 del libro de Álgebra de Bravo, Rincón, Rincón.
  • Lee las entradas en Wikipedia acerca de ecuaciones cúbicas y ecuaciones cuárticas.

Álgebra Superior II: Raíces en los complejos

Introducción

En esta entrada veremos cómo resolver en \mathbb{C} la ecuación w^n=z, en donde z es un complejo y n es un entero positivo. Puedes pensar esto como que aprenderemos a obtener raíces en los complejos, pero sólo para n entero. Más adelante hablaremos de la función exponencial compleja, que nos permitirá elevar a otro tipo de exponentes.

Nuestra herramienta principal será la fórmula de De Moivre, que demostramos en una entrada anterior. Encontrar raíces n-ésimas es una herramienta más en nuestra caja para trabajar con números complejos, que hasta el momento ya incluye resolver ecuaciones cuadráticas complejas y sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Introducción a raíces en los complejos

Pensemos en un ejemplo sencillo. ¿Cuáles son los complejos w tales que w^4=1? En \mathbb{R} tenemos dos de ellos: 1 y -1. Como

    \[(-i)^4=i^4=(-1)^2=1,\]

en \mathbb{C} tenemos otras dos soluciones: i y -i. Así, hasta ahora tenemos 4 soluciones en \mathbb{C}: 1, -1, i y -i.

Para mostrar que son las únicas en este sencillo caso, podemos hacer lo siguiente. Expresamos 1 en forma polar 1=\cis(0). Expresamos en forma polar una solución w=s\cis(\alpha), con \theta en [0,2\pi). Por el teorema de De Moivre, tenemos que

    \[1=w^4=s^4\cis(4\alpha).\]

Así, la norma s de w debe satisfacer s^4=1, y además \cis(4\alpha) debe ser 1, por lo que 4\alpha debe ser un múltiplo entero de 2\pi. La norma es un real positivo, así que la única solución para s es 1. Ahora, ¿cuántos argumentos \alpha en [0,2\pi) hacen que 4\alpha sea un múltiplo entero de 2\pi?

Para determinar eso, notemos que 4\alpha está en [0,8\pi), y ahí hay exactamente cuatro múltiplos enteros de 2\pi, que son

    \[0,2\pi, 4\pi, 6\pi.\]

Esto es justo lo que limita las soluciones a que sean a lo más 4.

Podemos continuar para verificar que en efecto son las soluciones que ya encontramos. Las soluciones para \alpha en cada caso son

    \[0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}.\]

Concluimos entonces que las soluciones complejas a w^4=1 son, en forma polar,

    \begin{align*}w_1&=\cis(0)\\w_2&=\cis\left(\frac{\pi}{2}\right)\\w_3&=\cis\left(\pi\right)\\w_4&=\cis\left(\frac{3\pi}{2}\right),\end{align*}

que son exactamente 1,i,-1,-i.

El teorema de raíces en los complejos

La discusión anterior funciona en general, para cualquier entero positivo n y para cualquier complejo \mathbb{C}. Siempre tenemos exactamente n soluciones, y sabemos cómo se ven en forma polar.

Teorema. Sea z=r\cis(\theta) un número complejo no cero dado en forma polar y n un entero positivo. Existen exactamente n elementos distintos de \mathbb{C} tales que w^n = z. Están dados en forma polar por

    \[w_j=r^{1/n} \cis\left(\frac{\theta}{n} + j\frac{2\pi}{n}\right)\]

para j=0,1,2\ldots,n-1.

Demostración. Tomemos una solución w y la escribimos en forma polar w=s\cis(\alpha), con \alpha en [0,2\pi). Usando que w es solución y la fórmula de De Moivre, obtenemos que

    \[r\cis(\theta)=s^n\cis(n\alpha).\]

Como s tiene que ser real positivo, obtenemos que s=r^{1/n} (aquí estamos usando la raíz n-ésima en los reales).

El ángulo n\alpha está en el intervalo [0,2n\pi), y debe diferir en un múltiplo entero de 2\pi del ángulo \theta. Como \theta está en [0,2\pi), las únicas posibilidades para n\alpha pueden ser los n valores

    \[\theta, \theta+2\pi,\ldots, \theta+2(n-1)\pi,\]

de donde las soluciones para \alpha son

    \[\frac{\theta}{n},\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n}, \ldots, \frac{\theta}{n} + (n-1)\frac{2\pi}{n},\]

respectivamente. Como son ángulos distintos en [0,2\pi), obtenemos las posibles soluciones distintas

    \[r^{1/n} \cis\left(\frac{\theta}{n} + j\frac{2\pi}{n}\right)\quad \text{para $j=0,\ldots,n-1$}.\]

Verificar que en efecto son soluciones es sencillo, ya sea revirtiendo los pasos que hicimos, o usando directamente la fórmula de De Moivre. Esta verificación queda como tarea moral.

\square

Observa que el teorema dice que para obtener una raíz podemos empezar del complejo de norma r^{1/n} y argumento \frac{\theta}{n}, y de ahí obtener el resto de las raíces en los complejos «rotando repetidamente \frac{2\pi}{n} en el plano complejo». Esto muestra que las raíces forman los vértices de un n-ágono regular.

Nos costó un poco de trabajo mostrar que teníamos a lo más n soluciones. En realidad, cualquier ecuación polinomial de grado n, es decir, de la forma

    \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0\]

tiene a lo más n soluciones. Esto lo veremos en toda su generalidad en la última unidad, cuando hablemos de polinomios.

Ejemplos de obtener raíces en los complejos

Ejemplo. Encontremos todas las raíces séptimas del complejo 128\cis\left(\frac{14\pi}{13}\right). Para empezar, notamos que 128^{1/7}=2, de modo que todas las raíces tienen norma 2.

Una de las raíces tiene argumento \frac{14\pi}{7\cdot 13}=\frac{2\pi}{13}, y el argumento del resto difiere en múltiplos enteros de \frac{2\pi}{7}. De esta forma, las raíces son

    \begin{align*}w_1&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}\right)\\w_2&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{2\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{40\pi}{91}\right)\\w_3&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{4\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{66\pi}{91}\right)\\w_4&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{6\pi}{7})\right=2\cis\left(\frac{92\pi}{91}\right)\\w_5&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{8\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{118\pi}{91}\right)\\w_6&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{10\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{144\pi}{91}\right)\\w_7&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{12\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{170\pi}{91}\right).\end{align*}

\square

Problema. Sabemos que (2-3i)^4=-119+120i. Encuentra las otras raíces cuartas de -119+120i.

Solución. Podríamos pasar -119+120i a forma polar y usar el método anterior. Esto funciona y dará una solución. Pero veamos una solución alternativa más corta, que nos ayuda a entender mejor el teorema de raíces en los complejos.

De acuerdo con lo que probamos, las raíces varían únicamente en argumento, al que se le va sumando \frac{\pi}{2}. Es decir, si tenemos una raíz en el plano complejo, las demás se obtienen de ir rotando \frac{\pi}{2} (recuerda que esto es 90^\circ) desde el origen. Al ir rotando el punto (2,-3) en el plano complejo en este ángulo, obtenemos los puntos (-3,-2), (-2,3) y (3,2), de modo que las otras tres raíces son -3-2i, -2+3i y 3+2i.

Otra forma más de pensarlo es la siguiente. Si ya tenemos una raíz cuarta w de un complejo z, entonces todas las raíces se obtienen multplicando por 1,i,-1, -i. En efecto, por ejemplo,

    \[(iw)^4=i^4w^4=w^4=1.\]

Así, para el problema que nos interesa, las soluciones son

    \begin{align*}w_1&=2-3i\\w_2&=i(2-3i)=3+2i\\w_3&=-(2-3i)=-2+3i\\w_4&=-i(2-3i)=-3-2i,\end{align*}


lo cual coincide con lo que habíamos encontrado antes.

\square

Raíces n-ésimas de la unidad

Un caso particular importante de la teoría desarrollada en la sección anterior es cuando z es 1. Sea n un entero positivo. A un complejo w tal que w^n=1 se le conoce como una raíz n-ésima de la unidad.

Teorema (de las raíces n-ésimas de la unidad). Sea n un entero positivo. Existen exactamente n raíces n-ésimas de la unidad distintas. Si \omega es la que tiene el menor argumento positivo, entonces dichas raíces son

    \[1,\omega, \omega^2,\ldots, \omega^{n-1}.\]

La demostración se sigue fácilmente del teorema de raíces n-ésimas, y queda como tarea moral. Cualquier raíz n-ésima \omega tal que sus primeras potencias generen todas las raíces n-ésimas de la unidad se le conoce como una raíz primitiva.

Las raíces n-ésimas de la unidad tienen una interpretación geométrica bonita. Forman los vértices del n-ágono regular con n vértices, sobre la circunferencia unitaria, y donde uno de los vértices es 1.

Ejemplo. Obtengamos las raíces quintas de la unidad. Primero, obtengamos la de menor argumento positivo, que por el teorema de raíces en los complejos, es

    \[\omega = \cis\left(\frac{2\pi}{5}\right).\]

El resto de las raíces son entonces \omega^2, \omega^3, \omega^4 y 1. Las podemos encontrar en el plano complejo como vértices del siguiente pentágono regular:

Ejemplo de raíces en los complejos: raíces quintas de la unidad
Raíces quintas de la unidad

Cualquiera de \omega, \omega^2, \omega^3 y \omega^4 son raíces primitivas, pero 1 no es raíz primitiva pues sus potentcias sólo son él mismo.

\square

Las raíces n-ésimas de la unidad se utilizan en muchos contextos. Aunque se puede trabajar con ellas de forma explícita, muchas veces se utilizan sólo las propiedades algebraicas que cumplen. A continuación enunciamos algunas.

Teorema. Sea \omega una raíz primitva n-ésima de la unidad. Las raíces n-ésimas de la unidad

    \[\omega_i = \omega^i\]

para i=0,\ldots,n-1 satisfacen las siguientes propiedades:

  • Para n>1, se tiene que \omega_0+\ldots+\omega_{n-1}=0.
  • Para k=0,1,\ldots,n-1, se tiene que

        \[(\omega_k)^{-1}=\overline{\omega_k}=\omega_{n-k}.\]

  • Se tiene que \omega_0\cdot\ldots\cdot \omega_{n-1} = (-1)^{n+1}.

Demostración. Empezamos con el primer inciso. Si n>1, tenemos que 1 no es raíz primitiva, así que para el primer inciso sabemos que \omega\neq 1. Usamos la fórmula para suma de términos en una progresión geométrica:

    \begin{align*}\omega_0+\omega_1&+\ldots+\omega_{n-1}\\&= 1+\omega+\ldots+\omega^{n-1}\\&=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}\\&=\frac{1-1}{1-\omega}\\&=0.\end{align*}

Para la segunda parte, notemos que

    \[\omega_k\omega_{n-k}=\omega^k\omega^{n-k}=\omega^n=1,\]

lo cual prueba una de las igualdades. La otra igualdad se sigue del hecho general que el inverso de un complejo de norma 1 es su conjugado, cuya demostración queda como tarea moral.

La tercera parte se sigue de la propiedad anterior. Al multiplicar todas las raíces de la unidad, podemos emparejar a cada raíz con su conjugado para obtener producto 1. Las únicas excepciones es cuando emparejamos a un complejo consigo mismo, es decir, para cuando \omega_k=\overline{\omega_k}, lo cual sucede sólo cuando \omega_k es real. Las únicas posibilidades son 1 ó -1. El 1 no tiene problema pues colabora con un factor 1. Si n es impar, -1 no es raíz n-ésima, así que no contribuye al producto. Si n es par sí. Esto muestra lo que queremos pues (-1)^{n+1} es 1 si n es impar y -1 si es par.

\square

Para un entero positivo n, llamemos (U_n,\cdot) al conjunto de raíces n-ésimas de la unidad equipadas con el producto complejo.

Teorema. Para cada entero positivo n, se tiene que (U_n,\cdot) es un grupo y es isomorfo a (\mathbb{Z}_n,+).

Demostración. El producto de cualesquiera dos raíces n-ésimas es también una raíz n-ésima. Por el teorema anterior, los inversos multiplicativos de las raíces n-ésimas también son raíces n-ésimas. Esto basta para mostrar que se forma un grupo.

Para la segunda parte, notamos que ambos grupos son el grupo cíclico de n elementos. Una correspondencia entre ellos está dada por mandar [1]_n a cualquier raíz primitiva.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra las raíces cúbicas de 8-8i y dibújalas en el plano complejo.
  • Verifica que las soluciones obtenidas en el teorema de raíces n-ésimas en efecto son soluciones.
  • Muestra el teorema de las raíces n-ésimas de la unidad.
  • Prueba que si z es un complejo de norma 1, entonces su inverso es su conjugado.
  • Sea \omega una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Muestra que w^k es una raíz primitiva si y sólo si n y k son primos relativos, es decir, \MCD{n,k}=1. Sugerencia: Usa lo que sabemos de soluciones a ecuaciones diofantinas lineales.
  • Encuentra de manera explícita la parte real y la parte imaginaria de todas las raíces quintas de la unidad.
    Sugerencia: La ecuación w^5-1=0 se puede factorizar como

        \[(w-1)(w^4+w^3+w^2+w+1)\]

    y w^4+w^3+w^2+w+1 se puede factorizar como

        \[\left(w^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}w+1\right)\left(w^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}w+1\right).\]

    Usa lo que sabemos de resolver ecuaciones cuadráticas cojmplejas.

Álgebra Superior II: Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre

Introducción

En la entrada anterior hablamos de las coordenadas rectangulares y polares de un número complejo. También, definimos la forma polar de un número complejo. En esta entrada hablaremos de cómo con la forma polar de los elementos de \mathbb{C} podemos entender fácilmente su multiplicación. Además, usaremos esto para demostrar la fórmula de De Moivre, que nos dice cómo encontrar las potencias de un complejo.

Como pequeño recordatorio, la forma polar del complejo z=x+iy es z=r(\cos \theta + i \sin \theta), en donde r es la norma de z y \theta es el ángulo que hace con el eje real positivo, pensándolo como el punto (x,y). Esto queda resumido por la siguiente figura:

Complejo en forma rectangular y polar
Complejo en forma rectangular y polar

Forma polar, multiplicación y recordatorio trigonométrico

Para ver cómo la forma polar de los complejos nos ayuda a entender la multiplicación en \mathbb{C}, necesitamos recordar las siguientes fórmulas trigonométricas

    \begin{align*}\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha\\\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha.\end{align*}

Si tenemos dos números complejos en forma polar

    \begin{align*}w&=r (\cos\alpha+ i \sin \alpha)\\z&=s(\cos \beta + i \sin \beta)\end{align*}

y los multiplicamos con la definición, su producto tendría parte real

    \[rs(\cos\alpha\cos \beta - \sin \alpha\sin \beta) = rs\cos (\alpha+\beta)\]

y parte imaginaria

    \[rs(\sin \alpha \cos \beta+ \sin\beta\cos\alpha)=rs\sin (\alpha+\beta).\]

Además, como la norma es multiplicativa, tenemos que la norma de wz es rs. Con esto mostramos que la forma polar de wz es exactamente

    \[wz=(rs)(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)).\]

Esto queda resumido en el siguiente resultado

Proposición. Si tenemos dos números complejos en forma polar

    \begin{align*}w&=r \text{cis}(\alpha)\\z&=s\text{cis}(\beta),\end{align*}

entonces la forma polar del producto es

    \[wz=rs\text{cis}(\alpha\beta).\]

Otra forma de decirlo es que «al multiplicar complejos, multiplicamos normas y sumamos argumentos». Podemos también ver el resultado de forma geométrica mediante la siguiente figura, en donde marcamos con rojo y azul los factores, y con negro al producto.

Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos
Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos

Ejemplo. Vamos a encontrar la forma rectangular del producto de los complejos

    \begin{align*}w&=7\left \text{cis} \left(\frac{2\pi}{5}\right) \quad \text{y}\\z&=2\left \text{cis} \left(\frac{3\pi}{5}\right).\end{align*}

Por la proposición anterior, el producto es exactamente el complejo

    \begin{align*}14 \text{cis}\left(\frac{2+3}{5}\pi \right)=14 \text{cis} (\pi).\end{align*}

Esta es la forma polar del producto. Por un problema anterior, sabemos que \text{cis}(\pi)=-1, de modo que la forma rectangular del producto es -14.

Si tenemos un complejo no nulo en forma polar, es fácil entender a su inverso multiplicativo. Esto está dado por la siguiente proposición, cuya demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Proposición. Sea w\neq 0 un complejo con forma polar w=r\text{cis}(\theta). Su inverso multiplicativo es el complejo r^{-1}\text{cis}(-\theta).

Ejemplo. Determinemos el inverso multiplicativo del complejo

    \[w=\sqrt{3}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{7}\right).\]

Para ello, basta usar la proposición anterior, de donde

    \[w^{-1}=\frac{1}{\sqrt{3}} \text{cis}\left(-\frac{3\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}}\text{cis}\frac{11\pi}{7}.\]

Fórmula de De Moivre

La proposición para multiplicación de complejos se vuelve todavía más útil si la usamos iteradamente para hacer potencias de complejos.

Teorema (fórmula de De Moivre). Si z es un complejo de norma r y argumento \theta y n es un entero positivo, entonces z^n es el complejo de norma r^n y argumento n\theta. En otras palabras, si z=r(\cos \theta + i \sin \theta)=r\text{cis}(\theta), entonces

    \[z^n=r^n (\cos (n\theta)+i\sin (n\theta))= r^n \text{cis} (n\theta).\]

Demostración. Procedemos por inducción sobre n. El caso n=1 es inmediato. Supongamos que el resultado es cierto para n, es decir, que

    \[z^n=r^n \text{cis} (n\theta).\]

Por hipótesis inductiva, tenemos entonces que la norma de z^n es r^n, de modo que z^{n+1}=z^n z tiene norma r^nr=r^{n+1}.

También por hipótesis inductiva, z^n tiene argumento n\theta. Por cómo funciona la multiplicación compleja, el argumento de z^{n+1}=z^n z es la suma de los argumentos de z^n y z, es decir, n\theta + \theta = (n+1)\theta. Esto muestra que

    \[z^{n+1}=r^{n+1}\text{cis}((n+1)\theta),\]

y con esto acabamos el paso inductivo.

\square

Ejemplos de aplicación de fórmula de De Moivre

Ejemplo. Veremos quién es la décima potencia del complejo

    \[z=\sqrt{3}\text{cis} \left(\frac{4\pi}{5}\right).\]

Como este número ya está escrito en forma polar, podemos aplicarle directamente la fórmula de De Moivre:

    \begin{align*}z^{10}&=3^{10/2} \text{cis}\left(\frac{40\pi}{5}\right)\\&=3^5 \text{cis} (8\pi)\\&=3^5\\&=243.\end{align*}

\square

El ejemplo anterior nos dice que z^{10}=243. En otras palabras, z es una raíz 10-ésima de 243. Pero existen otras raíces 10-ésimas de 243, por ejemplo, tiene dos raíces reales \sqrt[10]{243} y -\sqrt[10]{243}. ¿Cuántas raíces tiene entonces en total? ¿Quiénes son? Esto lo veremos en la siguiente entrada.

Veamos otro ejemplo en el que se aplica la fórmula de De Moivre.

Problema. Evalúa la expresión (1+i)^{30}, expresando el resultado final en forma rectangular.

Solución. Comenzamos expresando a (1+i) en forma polar. Para ello, notamos que \Vert 1+i \Vert = \sqrt{2}, y que 1+i hace un ángulo de \frac{\pi}{4} con el eje real positivo. Por el teorema de De Moivre, tenemos que

    \begin{align*}z^{30}&=\sqrt{2}^{30}\text{cis}\left(\frac{30\pi}{4}\right)\\&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{6\pi}{4} \right) \\&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{2} \right) \\&=2^{15}(-i)\\&=-2^{15}i.\end{align*}

En la segunda igualdad usamos que \frac{30\pi}{4} y \frac{6\pi}{4} difieren en un múltiplo entero de 2\pi. En la cuarta usamos la forma polar de -i.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Muestra que para un complejo z\neq 0 escrito en forma polar z=r\text{cis}(\theta), su inverso multiplicativo tiene forma polar r^{-1}\text{cis} (-\theta).
  • Evalúa la multiplicación wz, donde w=2\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right) y z=-5\text{cis}\left(\frac{7\pi}{5}\right). Expresa la respuesta forma polar.
  • Haz la multiplicación wz, donde w=3\text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) y z=4\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right). Expresa la respuesta en forma rectangular.
  • Sea z=7\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right). Expresa z^3 en forma polar.
  • Sea z=\sqrt[3]{5} \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right). Expresa z^9 en forma rectangular.
  • Toma el complejo z=-2+2i. Evalúa la expresión

        \[1+z+\ldots+z^{29}.\]

    Sugerencia: Usa primero la fórmula de suma de términos de una sucesión geométrica, y después la fórmula de De Moivre.

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

Seminario de Resolución de Problemas: Aritmética de números complejos

Introducción

En entradas anteriores de esta sección hablamos de propiedades aritméticas de números enteros. En esta entrada veremos varias de las propiedades aritméticas de los números complejos y cómo se pueden usar para resolver problemas, incluso aquellos en los que los números complejos no están mencionados de manera explícita en el enunciado.

Distintas formas de los números complejos

La forma más común en la que pensamos en números complejos es en su forma rectangular, en donde un complejo se escribe de la forma z=a+bi, en donde a y b son números reales y pensamos a i como un número tal que i^2=-1. A a le llamamos la parte real y a b la parte imaginaria.

Podemos colocar al complejo z=a+ib en el plano cartesiano, identificándolo con el punto (a,b). De aquí, la forma polar del complejo es z=r(\cos \theta + i \sin \theta), en donde r es la norma |z|:=\sqrt{a^2+b^2} y si z\neq 0, \theta es el argumento, que es el ángulo en el sentido antihorario desde el origen entre el eje horizontal y el punto (a,b). Si z=0+i0=0, no definimos el argumento.

Forma polar y rectangular de un complejo
Forma polar y rectangular de un complejo.

Así como le hacíamos en el caso de trabajar con módulos, a veces conviene pensar que el argumento es el único ángulo en [0,2\pi) que cumple lo anterior. En otras ocasiones, conviene pensar al argumento como a veces que es la clase de todos los ángulos módulo 2\pi.

Cuando tenemos a complejos w=a+ib y z=c+id en forma rectangular, su suma w+z=(a+c) + i(b+d) corresponde geométricamente a encontrar la diagonal del paralelogramo definido por (a,b), (c,d) y el origen, pues corresponde justo al punto (a+c,b+d).

Suma de números complejos
Suma de números complejos.

Su multiplicación wz en forma rectangular es (ac-bd)+(ad+bc)i, que geométricamente no es tan claro que sea.

La forma exponencial z=re^{i\theta} es simplemente una forma de abreviar a la forma polar, pues por definición e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta. En forma exponencial, el producto es más sencillo de entender.

Ejercicio. Demuestra lo siguiente:

  • Muestra que la norma es multiplicativa, es decir, que para complejos r y s se tiene que |rs|=|r||s|.
  • Muestra que e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.

Sugerencia. Para el primer punto, haz las cuentas usando la forma rectangular. Para el segundo punto, escribe las definiciones de todos los términos en forma polar. Haz las multiplicaciones en el lado izquierdo y usa las fórmulas trigonométricas para sumas de ángulos.

Por el ejercicio anterior, si tenemos a los complejos en forma polar w=re^{i\alpha}, z=se^{i\beta}, entonces el producto es wz=rse^{i(\alpha+\beta)}, de modo que el producto corresponde al complejo con el producto de normas y suma de argumentos. En ocasiones esto nos permite plantear algunos problemas geométricos en términos de números complejos.

Producto de números complejos.
Multiplicación de números complejos.


Aplicaciones de aritmética de complejos

Veamos dos aplicaciones de la teoría anterior a problemas que no mencionan en el enunciado a los números complejos.

Problema. Sean a y b enteros. Muestra que el número (a^2+b^2)^n se puede expresar como la suma de los cuadrados de dos números enteros.

Podría ser tentador usar el binomio de Newton para elevar el binomio a la n-ésima potencia. Sugerimos que intentes esto para darte cuenta de las dificultades que presenta.

Sugerencia pre-solución. Escribe a a^2+b^2 como el cuadrado de la norma de un complejo y usa que es multiplicativa.

Solución. El número r=a^2+b^2 es la norma al cuadrado del número complejo z=a+ib. Entonces, el número r^n=(a^2+b^2)^n es la norma al cuadrado del número complejo z^n=(a+ib)^n. Pero al desarrollar (a+ib)^n obtenemos únicamente a i, potencias de a y de b, y coeficientes binomiales. De modo que z^n=(a+ib)^n=c+id con c y d enteros (aquí estamos usando notación adecuada: no es necesario saber quienes son, sólo que son enteros). Así, r^n=c^2+d^2 con c y d enteros.

\square

Veamos ahora un ejemplo de geometría. Este problema es posible resolverlo de muchas formas, pero notemos que los números complejos nos dan una forma de hacerlo de manera algebraica de manera inmediata.

Problema. En la siguiente figura hay tres cuadrados de lado 1 pegados uno tras otro. Determina la suma de los ángulos marcados con \alpha y \beta.

Problema de suma de ángulos
Determinar el valor de la suma \alpha+\beta.

Sugerencia pre-solución. El problema pide determinar una suma de ángulos, así que conviene pensar esta suma de ángulos como el ángulo del producto de dos complejos. Haz tu propia figura, pero ahora sobre el plano complejo.

Solución. El ángulo \alpha es igual al argumento del complejo 2+i y el ángulo \beta es igual al argumento del complejo 3+i. De esta forma, \alpha+\beta es igual al argumento del complejo (2+i)(3+i)=(6-1)+(2+3)i=5+5i. Este complejo cae sobre la recta \text{Re}(z)=\text{Im}(z), de modo que su argumento es \pi / 4.

\square

Este problema también se puede resolver de (numerosas) maneras geométricas, que puedes consultar en este video.

Fórmula de De Moivre

El siguiente teorema se puede demostrar por inducción sobre n.

Teorema (fórmula de De Moivre). Para cualquier entero n y ángulo \theta se tiene que

    \[(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos (n\theta) + i \sin (n\theta).\]

Dicho de otra forma, en términos de la forma exponencial, se vale usar la siguiente ley de los exponentes

    \[(e^{\theta i})^n=e^{(n\theta) i}.\]

La fórmula de De Moivre es otra herramienta que ayuda a resolver problemas de números reales enunciándolos en términos trigonométricos. El truco consiste en:

  1. Tomar una expresión real que queramos entender.
  2. Identificarla como la parte real o imaginaria de una expresión compleja.
  3. Usar la aritmética de números complejos para entender la expresión compleja.
  4. Regresar lo que entendamos a los reales.

Veamos un par de ejemplos, relacionados con funciones trigonométricas. Comenzamos con una fórma de encontrar la fórmula para el coseno de cinco veces un ángulo.

Problema. Sea \theta\in [0,2\pi). Expresa a \cos 5\theta en términos de \cos \theta.

Sugerencia pre-solución. Identifica a \cos 5\theta como la parte real de un número complejo. Inspírate en la fórmula de De Moivre. Usa binomio de Newton.

Solución. Por la fórmula de De Moivre, \cos 5\theta es la parte real del complejo (\cos \theta + i \sin \theta)^5, así que calculemos quién es exactamente este número usando binomio de Newton. Para simplificar la notación, definimos a=\cos \theta y b=\sin \theta. Tenemos que

    \begin{align*} (a+ib)^5&=a^5+5a^4(bi)+10a^3(ib)^2+10a^2(ib)^3+5a(ib)^4+(ib)^5\\&=(a^5-10a^3b^2+5ab^4) + (5a^4b-10a^2b^3+b^5) i.\end{align*}

Además, por la identidad pitagórica recordemos que a^2+b^2=1, de donde b^2=1-a^2, de modo que la parte real de la expresión anterior es

    \[a^5-10a^3(1-a^2)+5a(1-2a^2+a^4),\]

que agrupando es

    \[16a^5-20a^3+5a.\]

Recordando que a es \cos \theta, obtenemos la fórmula final

    \[\cos 5\theta = 16\cos^5 \theta - 20 \cos^3 \theta + 5\cos \theta.\]

\square

Raíces de la unidad

En muchos problemas se utilizan las raíces de la ecuación x^n=1.

Teorema. Sea n\geq 1 un entero. Las ecuación x^n=1 tiene n soluciones complejas, que en el plano complejo forman los vértices del n-ágono regular con centro en 0 y tal que uno de sus vértices es 1. Si \omega es la raíz de menor argumento positivo, entonces estas soluciones son 1,\omega, \omega^2,\ldots,\omega^{n-1}.

Raíces de la unidad en los números complejos
Raíces n-ésimas de la unidad para n=5.

A estas soluciones les llamamos las raíces n-ésimas de la unidad. Notemos que \omega^{n}=1, y que en general si escribimos a un entero m usando el algoritmo de la división como m=qn+r, entonces \omega^m=\omega^r. ¡Los productos de raíces de la unidad se comportan como los elementos de \mathbb{Z}_n bajo suma módulo n!

Proposición. Sea n\geq 2 un entero. La suma de las n raíces n-ésimas de la unidad es 0 y su producto es 1.

La proposición anterior nos permite, en ocasiones, «filtrar» ciertas expresiones algebraicas. A continuación presentamos un ejemplo, que retomamos de los primeros ejemplos que vimos, cuando estábamos aprendiendo la heurística de encontrar un patrón.

Problema. Determina el valor de la suma

    \[\binom{100}{0}+\binom{100}{3}+\binom{100}{6}+\ldots+\binom{100}{99}.\]

Sugerencia pre-solución. Si no recuerdas lo que debería salir, vuelve a experimentar con los primeros valores, para cuando en vez de usar 100 se usan números más chiquitos. Para entender mejor el patron, generaliza el problema, y en vez de sólo tener múltiplos de 3 abajo, explora también qué sucede cuando tienes los números que dejan residuo 0, 1 o 2 módulo 3.

Ya que recuerdes la fórmula que queremos, considera una raíz cúbica \omega de la unidad distinta de 1. Calcula (1+1)^{100}, (1+\omega)^{100} y (1+\omega^2)^{100} usando el binomio de Newton y aprovechando que toda potencia de \omega es 1, \omega u \omega^2 para simplificar la notación.

Solución. Sea \omega una raíz cúbica de la unidad distinta de 1. Tenemos que \omega^3=1 y que 1+\omega+\omega^2=0. De este modo, podemos usar \omega y el binomio de Newton para calcular las siguientes expresiones

    \begin{align*}(1+1)^{100}&=\binom{100}{0}+\binom{100}{1}+\binom{100}{2}+ \binom{100}{3}+ \ldots\\(1+\omega)^{100}&= \binom{100}{0}+\binom{100}{1}\omega+\binom{100}{2}\omega^2+\binom{100}{3}+\ldots\\(1+\omega^2)^{100}&= \binom{100}{0}+\binom{100}{1}\omega^2+\binom{100}{2}\omega+ \binom{100}{3}+\ldots \end{align*}

¿Qué sucede al sumar las tres expresiones? En el lado derecho, cada vez que m es un múltiplo de 3, tenemos 3\binom{100}{m}, y cada vez que m no es un múltiplo de 3, tenemos

    \[(1+\omega+\omega^2)\binom{100}{m}=0.\]

¡Se filtran exactamente los coeficientes binomiales con parte inferior múltiplo de 3! Así, tres veces la suma que buscamos es igual a

    \[2^{100}+(1+\omega)^{100}+(1+\omega^2)^{100}.\]

Esta ya es una expresión suficientemente cerrada, pero podemos simplificar todavía más:

    \begin{align*}(1+\omega)^{100}&=(-\omega^2)^{100}=\omega^{200}=\omega^2\\(1+\omega^2)^{100}&=(-\omega)^{100}=\omega\\(1+\omega)^{100}+(1+\omega^2)^{100}&=\omega^2+\omega=-1.\end{align*}

Así, la expresión que queremos es \frac{2^{100}-1}{3}.

\square

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.5 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.