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Álgebra Superior II: Problemas de operaciones con polinomios

Introducción

En una entrada anterior ya construimos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Para hacer esto, tomamos las sucesiones que consisten casi de puros ceros, y les pusimos operaciones de suma y producto. Ahora repasaremos esto resolviendo algunos problemas de operaciones con polinomios.

Problema de suma de polinomios

Comenzamos con un ejemplo de suma de polinomios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón y Rincón.

Ejercicio 399. Haz la suma de los siguientes polinomios:

    \begin{align*}p(x)&=(-85,0,-37,-35, 97, 50, \overline{0})\\q(x)&=(56,49,0,57,\overline{0}).\end{align*}

En el video se hace la suma de dos formas distintas. Primero, se hace la suma directamente de la definición, es decir, sumando los polinomios entrada a entrada como sucesiones. Después, se hace la suma en la notación de x y potencias, que tal vez conozcas mejor.

Es importante entender que la notación de sucesiones sirve para establecer los fundamentos de los polinomios, pero no es práctica para hacer operaciones con polinomios concretas. Dependiendo del tipo de problema que se quiere resolver, a veces hay que usar una notación u otra.

Suma de polinomios

Problemas de producto de polinomios

A continuación se resuelven dos ejercicios de producto de polinomios.

Ejercicio. Multiplicar los polinomios (2,0,3,\overline{0}) y (0,1,\overline{0}).

En el video se hace la multiplicación usando directamente la definición, paso a paso. Sin embargo, los pasos para realizar la multiplicación se pueden realizar en una tabla, como la que usamos en entradas anteriores. Después del video ponemos la tabla correspondiente a la multiplicación.

Para hacer la multiplicación con una tabla, ponemos a las entradas del primer polinomio en la primer fila de una tabla, y a las del segundo polinomio en la primer columna de la tabla. Luego, hacemos las multiplicaciones «en cada casilla» como sigue:

\bm{2}\bm{0}\bm{3}
\bm{0}000
\bm{1}203

De aquí, se puede leer el producto «por diagonales». La primer diagonal es 0, la segunda 2+0=2, la tercera 0+0=0 y la cuarta 3. Concluimos que el polinomio es

    \[(0,2,0,3,\overline{0}).\]

Veamos un ejemplo más, usando la notación de x y sus potencias.

Ejercicio. Encuentra el producto de polinomios (1+3x)(1-2x+3x^2).

Problema de división de polinomios

Finalmente, hacemos un ejemplo de división de polinomios. La técnica que se hace en el video es la de «dividir con casita», que es una forma visual de representar el algoritmo de la división para polinomios. Hablaremos un poco más adelante de este algoritmo, y de por qué siempre nos da un residuo cero o de grado menor.

Cuando se hace la «división con casita», hay que recordar dejar los espacios correspondientes a los términos que tengan coeficiente 0.

Ejercicio. Divide el polinomio x^5+x^3+3x entre el polinomio x^2-x+1.

División de polinomios

Álgebra Superior II: Problemas de exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Introducción

En entradas anteriores, vimos la construcción de los números complejos, sus operaciones y varias de sus características algebraicas. Conociendo ya las funciones exponencial y logaritmo, así como las funciones trigonométricas seno y coseno, vamos a iniciar con un breve análisis geométrico de la función exponencial. Posteriormente pasaremos a hacer unos ejercicios simples de operar dichas funciones en números complejos concretos.

Geometría de la exponencial compleja

Para empezar, estudiamos qué le hace la función exponencial al plano complejo de manera geométrica. Para hacer esto, tomamos varias rectas en el plano complejo para entender en qué se transforman tras aplicarles la función exponencial.

A grandes rasgos, cuando tomamos una recta vertical, la imagen de esta le da la vuelta al origen repetidamente. Cuando tomamos una recta horizontal, su imagen es un rayo que emana del origen (sin tocarlo).

En este video se explican estas ideas de manera visual.

Calcular una exponencial compleja

Lo siguiente que haremos es resolver un ejercicio de calcular la exponencial de un número complejo. Recuerda que, por definición, se tiene que

    \[e^{x+iy}=e^x\text{cis}(y).\]

Ejercicio. Expresa e^{4+\frac{\pi}{6}i} en la forma x+iy.

Problema de logaritmo complejo

Recuerda que el logaritmo complejo funciona como inverso de la función exponencial. Para que esto sea cierto, tenemos que restringir la exponencial a una franja del plano complejo.

Por definición, tenemos que

    \[L(z)=\ln \norm{z} + \text{arg}(z)i.\]

Para que la definición funcione bien, es necesario que tomemos el argumento en el intervalo (-\pi,\pi].

Resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula L\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right).

Problema de trigonometría compleja

Por último, haremos un ejercicio de calcular una función trigonométrica compleja. Sólo necesitaremos la definición de la función coseno, pero por conveniencia, a continuación recordamos tanto la definición de seno, como la de coseno.

    \begin{align*}\cos(z)=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2},\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2}.\end{align*}

Con esto en mente, resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} i\right).

Más tarde les subo fotos por si alguien tiene dificultades para ver los videos.

Álgebra Superior II: Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas

Introducción

En una entrada anterior, vimos cómo se comporta la multiplicación en forma polar y cómo podemos aprovechar esto para hacer potencias. Concretamente, el teorema de De Moivre es muy útil para elevar complejos a potencias sin tener que hacer gran cantidad de productos.

Los primeros dos videos son ejercicios que ejemplifican lo anterior. Después, usamos lo que aprendimos en la entrada de raíces n-ésimas para resolver dos problemas más.

Al final, compartimos un enlace en el que puedes practicar más con operaciones de números complejos.

Problemas de fórmula de De Moivre

Para empezar, vemos dos problemas de exponenciación completa. El primero es una aplicación directa de la fórmula de De Moivre.

Problema. Usa el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada

    \[\left(\sqrt{3}(\cos 25^\circ + i \sin 25^\circ\right)^6.\]

En algunos problemas es posible que sea necesario primero obtener la forma polar de un complejo antes de poder usar la fórmula de De Moivre. El segundo problema es un ejemplo de esto.

Problema. Encuentra el valor de (\sqrt{3}-i)^{12}.

Problemas de raíces n-ésimas

Si ahora, en vez de querer elevar a cierta potencia, queremos obtener raíces n-ésimas, con el uso de un poderoso teorema que dedujimos a partir de la fórmula de De Moivre, sabemos que son exactamente n raíces, y podemos calcularlas explícitamente. A continuación, vemos dos ejercicios que ejemplifican lo anterior.

Problema. Obtén las raíces cúbicas del complejo 3+4i.

Problema. Obtén las raíces quintas del complejo 16\sqrt{2}(-1+i).

Fotos de los ejercicios de hoy

Finalmente, les dejo fotos de lo resuelto en los videos, para quienes tengan dificultades para ver los videos. En la tercera foto no están tan desarrolladas las cuentas como en el video.

Problemas de fórmula de De Moivre, 1
Problemas de fórmula de De Moivre y de raíces
Problemas de raíces n-ésimas.

Más material de De Moivre y raíces

Puedes practicar más acerca de exponenciación y raíces complejas con los videos y ejercicios del tema en Khan Academy.

Álgebra Superior II: Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre

Introducción

En la entrada anterior hablamos de las coordenadas rectangulares y polares de un número complejo. También, definimos la forma polar de un número complejo. En esta entrada hablaremos de cómo con la forma polar de los elementos de \mathbb{C} podemos entender fácilmente su multiplicación. Además, usaremos esto para demostrar la fórmula de De Moivre, que nos dice cómo encontrar las potencias de un complejo.

Como pequeño recordatorio, la forma polar del complejo z=x+iy es z=r(\cos \theta + i \sin \theta), en donde r es la norma de z y \theta es el ángulo que hace con el eje real positivo, pensándolo como el punto (x,y). Esto queda resumido por la siguiente figura:

Complejo en forma rectangular y polar
Complejo en forma rectangular y polar

Forma polar, multiplicación y recordatorio trigonométrico

Para ver cómo la forma polar de los complejos nos ayuda a entender la multiplicación en \mathbb{C}, necesitamos recordar las siguientes fórmulas trigonométricas

    \begin{align*}\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha\\\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha.\end{align*}

Si tenemos dos números complejos en forma polar

    \begin{align*}w&=r (\cos\alpha+ i \sin \alpha)\\z&=s(\cos \beta + i \sin \beta)\end{align*}

y los multiplicamos con la definición, su producto tendría parte real

    \[rs(\cos\alpha\cos \beta - \sin \alpha\sin \beta) = rs\cos (\alpha+\beta)\]

y parte imaginaria

    \[rs(\sin \alpha \cos \beta+ \sin\beta\cos\alpha)=rs\sin (\alpha+\beta).\]

Además, como la norma es multiplicativa, tenemos que la norma de wz es rs. Con esto mostramos que la forma polar de wz es exactamente

    \[wz=(rs)(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)).\]

Esto queda resumido en el siguiente resultado

Proposición. Si tenemos dos números complejos en forma polar

    \begin{align*}w&=r \text{cis}(\alpha)\\z&=s\text{cis}(\beta),\end{align*}

entonces la forma polar del producto es

    \[wz=rs\text{cis}(\alpha\beta).\]

Otra forma de decirlo es que «al multiplicar complejos, multiplicamos normas y sumamos argumentos». Podemos también ver el resultado de forma geométrica mediante la siguiente figura, en donde marcamos con rojo y azul los factores, y con negro al producto.

Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos
Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos

Ejemplo. Vamos a encontrar la forma rectangular del producto de los complejos

    \begin{align*}w&=7\left \text{cis} \left(\frac{2\pi}{5}\right) \quad \text{y}\\z&=2\left \text{cis} \left(\frac{3\pi}{5}\right).\end{align*}

Por la proposición anterior, el producto es exactamente el complejo

    \begin{align*}14 \text{cis}\left(\frac{2+3}{5}\pi \right)=14 \text{cis} (\pi).\end{align*}

Esta es la forma polar del producto. Por un problema anterior, sabemos que \text{cis}(\pi)=-1, de modo que la forma rectangular del producto es -14.

Si tenemos un complejo no nulo en forma polar, es fácil entender a su inverso multiplicativo. Esto está dado por la siguiente proposición, cuya demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Proposición. Sea w\neq 0 un complejo con forma polar w=r\text{cis}(\theta). Su inverso multiplicativo es el complejo r^{-1}\text{cis}(-\theta).

Ejemplo. Determinemos el inverso multiplicativo del complejo

    \[w=\sqrt{3}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{7}\right).\]

Para ello, basta usar la proposición anterior, de donde

    \[w^{-1}=\frac{1}{\sqrt{3}} \text{cis}\left(-\frac{3\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}}\text{cis}\frac{11\pi}{7}.\]

Fórmula de De Moivre

La proposición para multiplicación de complejos se vuelve todavía más útil si la usamos iteradamente para hacer potencias de complejos.

Teorema (fórmula de De Moivre). Si z es un complejo de norma r y argumento \theta y n es un entero positivo, entonces z^n es el complejo de norma r^n y argumento n\theta. En otras palabras, si z=r(\cos \theta + i \sin \theta)=r\text{cis}(\theta), entonces

    \[z^n=r^n (\cos (n\theta)+i\sin (n\theta))= r^n \text{cis} (n\theta).\]

Demostración. Procedemos por inducción sobre n. El caso n=1 es inmediato. Supongamos que el resultado es cierto para n, es decir, que

    \[z^n=r^n \text{cis} (n\theta).\]

Por hipótesis inductiva, tenemos entonces que la norma de z^n es r^n, de modo que z^{n+1}=z^n z tiene norma r^nr=r^{n+1}.

También por hipótesis inductiva, z^n tiene argumento n\theta. Por cómo funciona la multiplicación compleja, el argumento de z^{n+1}=z^n z es la suma de los argumentos de z^n y z, es decir, n\theta + \theta = (n+1)\theta. Esto muestra que

    \[z^{n+1}=r^{n+1}\text{cis}((n+1)\theta),\]

y con esto acabamos el paso inductivo.

\square

Ejemplos de aplicación de fórmula de De Moivre

Ejemplo. Veremos quién es la décima potencia del complejo

    \[z=\sqrt{3}\text{cis} \left(\frac{4\pi}{5}\right).\]

Como este número ya está escrito en forma polar, podemos aplicarle directamente la fórmula de De Moivre:

    \begin{align*}z^{10}&=3^{10/2} \text{cis}\left(\frac{40\pi}{5}\right)\\&=3^5 \text{cis} (8\pi)\\&=3^5\\&=243.\end{align*}

\square

El ejemplo anterior nos dice que z^{10}=243. En otras palabras, z es una raíz 10-ésima de 243. Pero existen otras raíces 10-ésimas de 243, por ejemplo, tiene dos raíces reales \sqrt[10]{243} y -\sqrt[10]{243}. ¿Cuántas raíces tiene entonces en total? ¿Quiénes son? Esto lo veremos en la siguiente entrada.

Veamos otro ejemplo en el que se aplica la fórmula de De Moivre.

Problema. Evalúa la expresión (1+i)^{30}, expresando el resultado final en forma rectangular.

Solución. Comenzamos expresando a (1+i) en forma polar. Para ello, notamos que \Vert 1+i \Vert = \sqrt{2}, y que 1+i hace un ángulo de \frac{\pi}{4} con el eje real positivo. Por el teorema de De Moivre, tenemos que

    \begin{align*}z^{30}&=\sqrt{2}^{30}\text{cis}\left(\frac{30\pi}{4}\right)\\&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{6\pi}{4} \right) \\&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{2} \right) \\&=2^{15}(-i)\\&=-2^{15}i.\end{align*}

En la segunda igualdad usamos que \frac{30\pi}{4} y \frac{6\pi}{4} difieren en un múltiplo entero de 2\pi. En la cuarta usamos la forma polar de -i.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Muestra que para un complejo z\neq 0 escrito en forma polar z=r\text{cis}(\theta), su inverso multiplicativo tiene forma polar r^{-1}\text{cis} (-\theta).
  • Evalúa la multiplicación wz, donde w=2\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right) y z=-5\text{cis}\left(\frac{7\pi}{5}\right). Expresa la respuesta forma polar.
  • Haz la multiplicación wz, donde w=3\text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) y z=4\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right). Expresa la respuesta en forma rectangular.
  • Sea z=7\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right). Expresa z^3 en forma polar.
  • Sea z=\sqrt[3]{5} \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right). Expresa z^9 en forma rectangular.
  • Toma el complejo z=-2+2i. Evalúa la expresión

        \[1+z+\ldots+z^{29}.\]

    Sugerencia: Usa primero la fórmula de suma de términos de una sucesión geométrica, y después la fórmula de De Moivre.

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

Álgebra Superior II: Problemas de ecuaciones lineales y cambios de coordenadas en los complejos

Introducción

En las entradas anteriores platicamos de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales complejos, y de como pasar de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Ahora veremos un método más para resolver problemas de ecuaciones lineales en los complejos en tres variables. Además, haremos problemas de práctica de estos temas.

La regla de Kramer para tres variables

Cuando platicamos de resolver problemas de ecuaciones lineales complejas en dos variables, vimos que si el determinante no era 0, entonces podíamos dar la solución de manera explícita. A esto se le conoce como la regla de Kramer. Veremos ahora cuál es la versión de esta regla para tres variables. A continuación enunciamos el método, y más abajo, en el video, se explica un poco más a detalle.

Proposición. Consideremos el siguiente sistema lineal de ecuaciones complejas en variables x, y y z.

    \begin{align*}ax+by+cz&=j\\dx+ey+fz&=k\\gx+hy+iz&=l.\end{align*}

Supongamos que el determinante \Delta=\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} no es 0. Entonces, el sistema tiene una única solución, dada por

    \begin{align*}x&=\frac{\begin{vmatrix} j & b & c\\ k & e & f\\ l & h & i \end{vmatrix}}{\Delta},\\y&=\frac{\begin{vmatrix} a & j & c\\ d & k & f\\ g & l & i \end{vmatrix}}{\Delta},\\z&=\frac{\begin{vmatrix} a & b & j\\ d & e & k\\ g & h & l \end{vmatrix}}{\Delta}.\end{align*}

No veremos la demostración de esta técnica, pues es uno de los temas que estudiarás en álgebra lineal con más generalidad. Sin embargo, veremos algunos ejemplos de cómo se aplica.

Problemas de ecuaciones lineales

Para comenzar, resolveremos un sistema de ecuaciones de dos variables.

Problema. Resuelve en \mathbb{C} el siguiente sistema de ecuaciones:

    \begin{align*}iz+2w&=3+4i\\2z-iw&=6-3i.\end{align*}

Pasemos ahora a un ejemplo con tres variables. El el ejemplo 328 del libro Álgebra Superior de Bravo, Rincón, Rincón.

Problema. Resuelve en \mathbb{C} el siguiente sistema de ecuaciones.

    \begin{align*}z_1+z_2+z_3&=6+4i\\iz_1+(1+i)z_2+(1-i)z_3&=7+4i\\z_i+iz_2-z_3&=2i.\end{align*}

El problema está resuelto en los siguientes dos videos.

Problemas de cambio de coordenadas

Finalmente, veremos algunos problemas de cambio entre coordenadas polares y coordenadas rectangulares. Recordemos que la figura clave para cambiar entre coordenadas es la siguiente:

Cambios entre coordenadas polares y rectangulares
Cambio entre coordenadas polares y rectangulares

Problema. Calcula las coordenadas rectangulares del complejo cuyas coordenadas polares son r=\sqrt{2} y s=45^\circ, y del complejo cuyas coordenadas polares son r=3 y s=90^\circ.

Problema. Expresa 7+7i y 4+2i en coordenadas polares.