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Álgebra Lineal I: Aplicaciones del teorema espectral, bases ortogonales y más propiedades de transformaciones lineales

Introducción

Hoy es la última clase del curso. Ha sido un semestre difícil para todas y todos. El quedarnos en casa, obligados a buscar alternativas digitales que sean de fácil acceso para la mayoría de las personas, aprender a realizar toda nuestra rutina diaria en un mismo espacio; sin dudarlo, un semestre lleno de retos que de una u otra manera, haciendo prueba y error, hemos aprendido a sobrellevar.

El día de hoy terminaremos con el tema de teoría espectral. Veremos algunos problemas donde usaremos las técnicas de búsqueda de eigenvalores y eigenvectores, así como aplicaciones de uno de los teoremas más importante: el Teorema Espectral.

Matrices simétricas, matrices diagonalizables

En entradas anteriores hemos discutido sobre qué condiciones me garantizan que una matriz A es diagonalizable. No volveremos a repetir cuál es la definición de matriz diagonalizable ya que en múltiples ocasiones lo hicimos.

Sabemos que una matriz simétrica en M_n(\mathbb{R}) siempre es diagonalizable, gracias al teorema espectral, pero el siguiente problema nos ilustra que si cambiamos de campo F, no tenemos la garantía de que las matrices simétricas en M_n(F) también lo sean.

Problema. Demuestra que la matriz simétrica con coeficientes complejos

A=\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}

no es diagonalizable.

Solución. Por la primera proposición de la clase «Eigenvalores y eigenvectores de transformaciones y matrices», si A fuese diagonalizable, es decir, que existe una matriz invertible P y una diagonal D tal que A=P^{-1}DP, entonces A y D tienen los mismos eigenvalores. Entonces, encontremos los eigenvalores de A: buscamos \lambda \in \mathbb{C} tal que \text{det}(\lambda I-A)=0,

    \begin{align*}\text{det}(\lambda I-A)&=\begin{vmatrix} \lambda -1 & -i \\ i & \lambda +1 \end{vmatrix} \\&=(\lambda-1)(\lambda+1)-i^2=\lambda^2 -1+1 \\&=\lambda^2=0.\end{align*}

Por lo tanto, el eigenvalor con multiplicidad 2 de A (y también el eigenvalor de D) es \lambda =0. Si D es de la forma

D=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix},

es fácil ver (y calcular) que sus eigenvalores son a y b, pero por lo anterior, podemos concluir que a=b=0, y por lo tanto D es la matriz cero. Si fuese así, A=P^{-1}DP=0, contradiciendo la definición de A.

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Problema. Sea A una matriz simétrica con entradas reales y supongamos que A^k=I para algún entero positivo k. Prueba que A^2=I.

Solución. Dado que A es simétrica y con entradas reales, todos sus eigenvalores son reales. Más aún son k-raíces de la unidad, entonces deben ser \pm 1. Esto implica que todos los eigenvalores de A^2 son iguales a 1. Dado que A^2 también es simétrica, es diagonalizable y, dado que sus eigenvalores son iguales a 1, por lo tanto A^2=I.

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Más propiedades de transformaciones lineales y bases ortogonales

En otras clases como Cálculo, Análisis, hablamos de funciones continuas, discontinuas, acotadas, divergentes; mientras que en este curso nos hemos enfocado únicamente en la propiedad de linealidad de las transformaciones. Si bien no es interés de este curso, podemos adelantar que, bajo ciertas condiciones del espacio V, podemos tener una equivalencia entre continuidad y acotamiento de una transformación.

Decimos que la norma de una transformación está definida como

\norm{T}=\sup_{x\in V\setminus{0}} \frac{\norm{T(x)}}{\norm{x}}.

Por ende, decimos que una transformación es acotada si su norma es acotada, \norm{T}<\infty.

Problema. Sea V un espacio euclideano y sea T una transformación lineal simétrica en V. Sean \lambda_1,\ldots,\lambda_n los eigenvalores de T. Prueba que

\sup_{x\in V\setminus{0}} \frac{\norm{T(x)}}{\norm{x}} =\max_{1\leq i\leq n} |\lambda_i|.

Solución. Renumerando a los eigenvalores, podemos decir que \max_i |\lambda_i|=|\lambda_n|. Sea e_1,\ldots,e_n una base ortonormal de V tal que T(e_i)=\lambda_i e_i para todo i. Si x\in V\setminus {0}, podemos escribirlo como x=x_1e_1+\ldots+x_n e_n para algunos reales x_i. Entonces, por linealidad de T,

T(x)=\sum_{i=1}^n \lambda_i x_ie_i.

Dado que |\lambda_i|\leq |\lambda_n| para toda i, tenemos que

\frac{\norm{T(x)}}{\norm{x}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2}}\leq |\lambda_n|,

por lo tanto

    \begin{align*} \max_{1\leq i\leq n} |\lambda_i|&=|\lambda_n|=\frac{\norm{T(e_n)}}{\norm{e_n}}\\&\leq \sup_{x\in V\setminus{0}} \frac{\norm{T(x)}}{\norm{x}}\\ &\leq |\lambda_n|= \max_{1\leq i\leq n} |\lambda_i|. \end{align*}

Obteniendo lo que queremos.

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Para finalizar, no olvidemos que una matriz es diagonalizable si y sólo si el espacio tiene una base de eigenvectores, y que está íntimamente relacionado con el teorema espectral.

Problema. Encuentra una base ortogonal consistente con los eigenvectores de la matriz

A=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} -2 & 6 & -3 \\ 6 & 3 & 2 \\ -3 & 2 & 6 \end{pmatrix}.

Solución. Para encontrar los eigenvectores, primero encontrar los eigenvalores y, después, para cada eigenvalor, encontrar el/los eigenvectores correspondientes.

Calculemos:

    \begin{align*}0&=\text{det}(\lambda I-A)=\begin{vmatrix} \lambda+2/7 & -6/7 & 3/7 \\ -6/7 & \lambda-3/7 & -2/7 \\ 3/7 & -2/7 & \lambda-6/7 \end{vmatrix} \\&= \lambda^3-\lambda^2-\lambda+1 \\&= (\lambda -1)(\lambda^2 -1),\end{align*}

entonces los eigenvalores de A son 1,-1, (\lambda=1 tiene multiplicidad 2).

Ahora, hay que encontrar los vectores v=(x,y,z) tal que Av=\lambda v, para todo eigenvalor \lambda.

Si \lambda=-1,

(\lambda I-A)v=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} -5 & -6 & 3 \\ -6 & -10 & -2 \\ 3 & -2 & -13 \end{pmatrix}v=0,

reduciendo, obtenemos que v=(3\alpha, -2\alpha, \alpha) para todo \alpha\in \mathbb{R}.

Si \lambda=1, resolviendo de la misma manera (\lambda I-A)v=(I-A)v=0, tenemos que v=(\beta,\gamma,-3\beta+2\gamma) para todo \beta,\gamma. Entonces el conjunto de eigenvectores es

B=\{ v_1=(3,-2,1), \quad v_2=(1,0,-3), \quad v_3=(0,1,2) \}.

Es fácil ver que el conjunto B es linealmente independiente, más aún \text{dim}(\mathbb{R}^3)=3=|B|, por lo tanto, B es la base consistente con los eigenvectores de A.

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Agradecemos su esfuerzo por llegar hasta el final a pesar de todas las adversidades. Esperamos pronto volver a ser sus profesores/ayudantes. Mucha suerte en la última parcial, es el último esfuerzo. Pero también les deseamos mucho éxito en su proyecto de vida. ¡Gracias!

Álgebra Lineal I: Problemas de desigualdades vectoriales

Introducción

En esta entrada practicaremos las dos desigualdades vectoriales que hemos visto anteriormente: la desigualdad de Cauchy – Schwarz y con la desigualdad de Minkowski. Veremos que de ellas se obtiene información valiosa sobre los espacios con producto interior.

Como ya se menciono en otras entradas del blog, estos espacios son muy importantes más allá del álgebra lineal, pues también aparecen en otros áreas como el análisis matemático, variable compleja, probabilidad, etc. Así mismo, los espacios vectoriales con producto interior tienen muchas aplicaciones en el mundo real. Por esta razón es muy importante aprender a detectar cuándo podemos usar desigualdades vectoriales.

Problemas de desigualdades vectoriales

Comencemos con algunos problemas de desigualdades vectoriales que usan la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Problema 1. Demuestra que si f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} es una función continua, entonces

    \[\left(\int_a ^b f(t)dt\right)^2 \leq (b-a)\int_a ^b f(t)^2 dt.\]

Demostración. Sea V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}) el espacio de las funciones continuas de [a,b] en los reales.

Veamos que \langle \cdot , \cdot \rangle: V\times V \longrightarrow \mathbb{R} definido por

    \[\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) \, dt\]

es una forma bilineal simétrica.

Sea f\in V fija. Veamos que g\mapsto \langle f,g \rangle es lineal.

Sean g,h \in V y k\in F, entonces

    \begin{align*}\langle  f,g+hk \rangle &= \int_a ^b f(t)(g(t)+kh(t))dt\\&=\int_a ^b (f(t)g(t)+kf(t)h(t)) dt\\&=\int_a ^b f(t)g(t)dt +k \int_a ^b f(t)h(t)dt\\&=\langle f,g \rangle + k \langle f,h \rangle .\end{align*}

Análogamente se ve que si g\in V fija, entonces f\mapsto \langle f,g \rangle es lineal.

Luego,

    \begin{align*}\langle f,g \rangle &= \int_a ^b f(t)g(t)\, dt\\&= \int_a ^b g(t)f(t)\, dt\\&= \langle g,f \rangle.\end{align*}


Por lo tanto \langle \cdot, \cdot \rangle es una forma bilineal simétrica.

Ahora observemos que \langle \cdot  ,\cdot \rangle es positiva.

    \[\langle f,f \rangle = \int_a ^b f(t)^2 dt \geq 0\]

pues f^2 (t)\geq 0. Aunque no lo necesitaremos, mostremos además que que \langle \cdot, \cdot \rangle es positiva definida. Si f tiene algún valor c en el interior de [a,b] en la que f(c)\neq 0, como es continua, hay un \epsilon>0 tal que en todo el intervalo (c-\epsilon,c+\epsilon) se cumple que |f| es mayor que |f(c)|/2, de modo que

    \begin{align*}\langle f, f \rangle &= \int_a^b f^2(t)\, dt\\&\geq \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f^2(t)\, dt\\&\geq \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}\frac{f(c)^2}{4} \, dt\\&=\frac{\epsilon f(c)^2}{2}>0.\end{align*}

Así, para que \langle f, f \rangle sea 0, es necesario que f sea 0 en todo el intervalo (a,b) y por continuidad, que sea cero en todo [a,b].

Sea q la forma cuadrática asociada a \langle \cdot, \cdot \rangle.
En vista de todo lo anterior, podemos aplicar la desigualdad de Cauchy -Schwarz tomando g la función constante 1, es decir, tal que g(x)=1 para todo x en [a,b], la cual claramente es continua.

Entonces,

    \[\langle f,g \rangle &\leq q(f)q(g),\]

que substituyendo las definiciones es

    \begin{align*}\left( \int_a ^b f(t)\, dt\right)^2 &\leq \left(\int_a ^b f(t)^2 \, dt\right)\left(\int_a ^b 1^2\, dt\right)\\&= (b-a)\int_a ^b f(t)^2 \, dt\end{align*}

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Problema 2. a) Sean x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}. Demuestra que

    \[(x_1^2+\dots +x_n^2)\left(\frac{1}{x_1^2} + \dots + \frac{1}{x_n^2}\right) \geq n^2.\]


b) Demuestra que si f:[a,b]\longrightarrow (0,\infty) es una función continua, entonces

    \[\left ( \int_a^b f(t)dt \right) \left (\int_a^b \frac{1}{f(t)}dt \right) \geq (b-a)^2\]

Demostración. a) Considera \mathbb{R}^n con el producto interior usual. Sean a,b\in\mathbb{R}^n dados por

    \begin{align*}a&=(x_1,\dots,x_n)\\b&=\left( \frac{1}{x_1},\dots, \frac{1}{x_n}\right ).\end{align*}

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que \lvert \langle a,b \rangle \rvert \leq \norm{a} \norm{b}. Se tiene que

    \begin{align*}\langle a,b \rangle &= (x_1,\ldots,x_n)\cdot \left(\frac{1}{x_1},\ldots,\frac{1}{x_n}\right)\\&=1+1+\ldots+1\\&=n,\end{align*}

de modo que

    \begin{align*}|n|&\leq \norm{a} \norm{b}\\&=\sqrt{(x_1^2+\dots +x_n^2)}\sqrt{\left(\frac{1}{x_1^2}+\dots + \frac{1}{x_n^2}\right )}.\end{align*}

Si elevamos al cuadrado ambos extremos de esta igualdad, obtenemos la desigualdad deseada.

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b) En el problema 1 de esta entrada vimos que

    \[\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) dt\]

es un producto interior para el espacio de funciones continuas en [a,b], y el espacio de este problema es un subespacio del de funciones continuas, así que también define un producto interior aquí.

Para la función f dada, definamos \phi (t)=\sqrt{f(t)} y \psi (t)=\frac{1}{\sqrt{f(t)}}.
Notemos que \phi y \psi son continuas, y además como \forall t\in [a,b] se tiene f(t)\in(0,\infty), también tenemos que \psi (t), \phi (t)\in (0,\infty).

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

    \[\langle \phi, \psi \rangle^2 \leq \langle \phi , \phi \rangle \langle \psi , \psi \rangle.\]

Entonces

    \[\left(\int_a^b \phi (t) \psi (t) dt\right)^2 \leq \left(\int_a^b \phi(t)^2 dt \right)\left( \int_a^b\psi (t)^2 dt \right).\]

Luego, substituyendo los valores de \phi y \psi:

    \[\left( \int_a^b \sqrt{f(t)}\cdot \frac{1}{\sqrt{f(t)}}dt\right )^2 \leq \left(\int_a^b f(t) dt \right)\left ( \int_a^b\frac{1}{f(t)}dt \right).\]

Finalmente, haciendo la integral a la izquierda:

    \[(b-a)^2\leq \left(\int_a^b f(t) dt \right)\left (\int_a^b \frac{1}{f(t)}dt \right).\]

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Hay algunos problemas de desigualdades en los reales que necesitan que usemos herramientas de desigualdades vectoriales.

Problema 3. Sean x,y,z números mayores que 1, tales que \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}=2. Muestre que

    \[\sqrt{x+y+x} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}.\]


Demostración. Considera \mathbb{R}^3 con el producto interior usual y u,v\in \mathbb{R}^3 con

    \begin{align*}u&=\left(\sqrt{\frac{x-1}{x}}, \sqrt{\frac{y-1}{y}},\sqrt{\frac{z-1}{z}}\right),\\v&=(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}).\end{align*}

Aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a u y v:

    \begin{align*}\sqrt{x-1} +& \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}\\&\leq \sqrt{\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}}\sqrt{x+y+z}\\&=\sqrt{(1+1+1)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\sqrt{x+y+z}\\&=\sqrt{3-2} \cdot \sqrt{x+y+z}\\&=\sqrt{x+y+z}.\end{align*}

Por lo tanto,

    \[\sqrt{x+y+x} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}.\]

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Problema 4. Sea f:[a,b]\longrightarrow (0,\infty) una función continua.
Demuestre que

    \[\int_a^b f(t)dt \leq \left ( (b-a)\int_a^b f(t)^2dt\right)^\frac{1}{2}.\]

Demostración. Ya vimos que

    \[\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)dt\]

es un producto interior para el espacio de funciones continuas.
Considera g la función constante 1.

Aplicando la desigualdad de Minkowski se tiene que

    \[\sqrt{\langle f+g,f+g \rangle}\leq \sqrt{\langle f,f \rangle} + \sqrt{\langle g,g \rangle}\]

Tenemos entonces que:

    \[\left ( \int_a^b (f(t)+1)^2 dt \right)^\frac{1}{2} \leq \left( \int_a^b f(t)^2 dt \right)^\frac{1}{2} + \left ( \int_a^b dt\right )^\frac{1}{2}.\]

Desarrollando el cuadrado en el lado izquierdo,

    \[\left (\int_a^b f(t)^2 dt +2\int_a^b f(t)dt +(b-a) \right )^\frac{1}{2} \leq \left(\int_a^bf(t)^2dt \right)^\frac{1}{2} + (b-a)^\frac{1}{2}\]

Luego, elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado

    \[\int_a^b f(t)^2 dt + 2\int_a^b f(t) dt +(b-a)\]


    \[\leq \int_a^b f(t)^2 dt +2\sqrt{b-a}\left( \int_a^b f(t)^2 dt\right)^\frac{1}{2} +(b-a)\]

Finalmente, cancelando términos igual en ambos lados, obtenemos la desigualdad deseada

    \[\int_a^b f(t) dt \leq \left((b-a) \int_a^b f(t)^2 dt\right)^\frac{1}{2}.\]

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Tarea Moral

  • Resuelve el problema 2.b usando la desigualdad de Minkowski.